二重积分的概念

日期: 2022-12-31 13:12 查看: 73 次

定义 设 $f(x, y)$ 是平面闭区域 $D$ 上的有界函数，将 $D$ 任意分割成 $n$ 小块: $\Delta D_1, \Delta D_2, \cdots \Delta D_n$ ，记第 $i$ 块的面积为 $\Delta \sigma_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，在第 $i$ 块上任取一点 $\left(x_i, y_i\right)$ (见图 7-4)，
图 7-4
作 $\sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i$ ，取 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n} \operatorname{diam}\left\{\Delta \sigma_i\right\}$ ，即
$\lambda$ 是各 $\Delta D_i$ 的直径中的最大值. 当 $\lambda \rightarrow 0$ 时，如果
$\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i$ 总是存在，则极限值称为函数
$f(x, y)$ 在平面闭区域 $D$ 上的二重积分，
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记为

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i .
$$

其中 $D$ 称为积分区域， $f(x, y)$ 称为被积函数， $\mathrm{d} \sigma$ 称为面积微元， $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 称 为被积表达式， $\sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i\right) \Delta \sigma_i$ 称为积分和.
如果二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 存在，也称函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上可积. 由二重 积分的定义可知，在区域 $D$ 上可积的函数 $f(x, y)$ 一定是 $D$ 上的有界函数. 反过 来，什么样的函数一定是可积的呢? 我们不加证明给出下面的定理.
定理 1 在区域 $D$ 上的连续函数一定是 $D$ 上的可积函数.
很容易知道，当 $f(x, y) \geq 0$ 时，曲顶柱体的体积 $V=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ；当 $f(x, y)<0$ 时，对应的二重积分是负值，故曲顶柱体的体积 $V=-\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$.
例 1 用二重积分表示上半球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 1, z \geq 0$ 的体积，并写出积分区域.
解 首先上半球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 1$ 与 $x O y$ 面的交线

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2+z^2=1 \\
z=0
\end{array},\right.
$$

即为区域 $D$ 的边界曲线: $\quad x^2+y^2=1$.
上半球面所对应的方程为

$$
z=\sqrt{1-x^2-y^2} .
$$

故上半球面可以看成是以 $D$ 为底的，以 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 为顶的曲顶柱体的体 积 (见图 7-5)，
故 $V=\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2} \mathrm{~d} \sigma$ ，
其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$.
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