三重积分的概念

日期: 2023-01-01 09:55 查看: 121 次

和二重积分一样，我们仍然从具体的实例引出三重积分的概念 我们来看空间物体的质量:
假设物体在空间占有有界闭区域为 $\Omega$ ，
若物体是均质的，即密度 $\rho$ 是常量，则质量 $M=\rho V$ ，
其中 $V$ 是 $\Omega$ 的体积. 若物体是非均质的，密度 $\rho$ 是变量，

不妨设 $\rho=\rho(x, y, z) ，(x, y, z) \in \Omega ， \rho(x, y, z)$ 是连续函数，任 取若干个曲面网，将区域 $\Omega$ 分成 $n$ 个小区域 $\Delta v_i(i=1,2, \cdots, n)\left(\Delta v_i\right.$ 既 表示第 $i$ 个小区域，也表示其体积)，并记 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta v_i\right.$ 的直径 $\}$ ， 在 $\Delta v_i$ 内任取一点 $\left(x_i, y_i, z_i\right)$ ，以该点的密度 $\rho\left(x_i, y_i, z_i\right)$ 近似表 示该小区域上每一点的密度，则 $\Delta v_i$ 的质量为 $\Delta m_i \approx \rho\left(x_i, y_i, z_i\right) \Delta v_i$ ， 因此当 $\lambda \rightarrow 0$ 时就有

$$
M=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \Delta m_i=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \rho\left(x_i, y_i, z_i\right) \Delta v_i .
$$

定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分.
定义 设函数 $f(x, y, z)$ 在空间的有界闭区域 $\Omega$ 上有界，将 $\Omega$ 任意地分成 $n$ 个 小区域 $\Delta v_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，其中既 $\Delta v_i$ 表示第 $i$ 个小区域，也表示它的体积. 任取 $\left(x_i, y_i, z_i\right) \in \Delta v_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，记 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta v_i\right.$ 的直径 $\}$ ，若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i, z_i\right) \Delta v_i$ 存 在，则称函数 $f(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上可积, 此极限称为函数 $f(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上的三重积分， 记作 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v$ ， 即

$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i, z_i\right) \Delta v_i .
$$

其中 $\mathrm{d} v$ 为体积元素.
注 二重积分定义中的其他一些术语，如被积函数、积分区域都可以相应地 沿用到三重积分上.
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分 $\Omega$ ，那么，除了包括 $\Omega$ 的边界点的一些不规则的小闭区域外，得到的小闭区域 $\Delta v_i$ 为长方体. 设长方体的 小闭区域 $\Delta v_i$ 的边长为 $\Delta x_i, \Delta y_i, \Delta z_i$ ，则 $\Delta v_i=\Delta x_i \Delta y_i \Delta z_i$. 因此，在直角坐标系中，有 时也把体积元素 $\mathrm{d} v$ 记为 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，而把三重积分记为 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 其中 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 称为直角坐标系下的体积元素.
当函数 $f(x, y, z)$ 在空间的有界闭区域 $\Omega$ 上连续，(1) 式右端的和的极限必定 存在，即 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 存在. 以后我们总是假定函数在闭区域 $\Omega$ 上连续. 此外三重 积分的性质也与二重积分的类似，这里就不重复了.
如果 $\rho(x, y, z)$ 表示占据空间闭区域 $\Omega$ 的物体在点 $(x, y, z)$ 的密度，且 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续，那么该物体的质量为

$$
M=\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v
$$

另外，由三重积分的定义不难看出闭区域 $\Omega$ 的体积为

$$
V=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v
$$

这里 $\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v$ 是被积函数 $f(x, y, z) \equiv 1$ 时三重积分 $\iiint_{\Omega} 1 \mathrm{~d} v$ 的常用简便记号.
计算三重积分的基本方法是把三重积分化成三次积分进行计算，现在给出计 算三重积分的常用方法.

1. 利用直角坐标计算三重积分
   我们先考虑有如下几何特征的闭区域 $\Omega$ : 平行于 $z$ 轴且穿过 $\Omega$ 内部的直线 与 $\Omega$ 的边界曲面 $S$ 相交不多于两点，若多于两点，则需将 $\Omega$ 分成若干部分，使每 一部分都满足相交不多于两点的要求. 把这种闭区域 $\Omega$ 投影到 $x O y$ 面上去，得到 一个平面闭区域 $D_{x y}$. 以 $D_{x y}$ 的边界为准线作母线平行于 $z$ 轴的柱面. 这柱面与曲 面 $S$ 的交线就从 $S$ 中分出上下两部分曲面来，他们的方程分别为

$$
S_1: z=z_1(x, y), \quad S_2: z=z_2(x, y)
$$

假定 $z_1(x, y), z_2(x, y)$ 都是 $D_{x y}$ 上的连续函数，且不妨设 $z_1(x, y) \leq z_2(x, y)$.
这时候，对于 $D_{x y}$ 内的任一点 $(x, y)$ ，
过该点且平行于 $z$ 轴的直线必然通过曲面
$S_1$ 穿入的内部，然后又通过曲面 $S_2$ 而穿
出的内部，穿入、穿出的点的坚坐标分别
是 $z_1(x, y), z_2(x, y)$ (见图 7-33) .
这样积分区域可以表示为

$$
\Omega=\left\{(x, y, z) \mid z_1 \leq z(x, y) \leq z_2,(x, y) \in D_{x y}\right\}

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