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高等数学
第二章 一元函数微分学及其应用
微分的定义
最后更新:
2023-10-01 11:28
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微分的定义
我们先来试着计算这样的两组数: $\Delta y=\sin (1+\Delta x)-\sin 1, \quad \Delta x=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,$ $\mathrm{d} y=\left.(\sin x)^{\prime}\right|_{x=1} \cdot \Delta x, \Delta x=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001$. 通过计算可以发现什么规律呢? (1)计算 $\mathrm{d} y$ 比计算 $\Delta y$ 容易得多; (2) 当 $\Delta x$ 越来越小时, $\mathrm{d} y$ 和 $\Delta y$ 越接近. 所以,有些时候,我们可以用 $\mathrm{d} y$ 来近似替代 $\Delta y$ ,因为它极容易计算, 误差又小. 在理论研究和实际应用中,常常会遇到这样的问题: 当自变量 $x$ 有微小变化 $\Delta x$ 时,求函数 $y=f(x)$ 的微小改变量 $$ \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) $$ 这个问题初看起来似平只要做减法运算就可以了,然而,对于较复杂的函 数 $f(x)$ ,差值 $f(x+\Delta x)-f(x)$ 却是一个更复杂的表达式,不易求出其值. 一个想 法是: 我们设法将 $\Delta y$ 示成 $\Delta x$ 的线性函数,即线性化,从而把复杂问题化为简单 问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型. 例1 一块正方形金属薄片因受温度变化的影响,其边长由 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ ,问: 此薄片的面积改变了多少? 解 设此薄片的边长为 $x_0$ ,面积为 $A$ ,则 $A=x_0^2$ ,薄片受温度变化的影响,当自 变量 $x$ 从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ 取得增量 $\Delta x$ 时,面积的改变量可以看成是因变量 $A$ 取得相 应的增量 $\Delta A$ ,即 $$ \Delta A=\left(x_0+\Delta x\right)^2-x_0^2=2 x_0 \Delta x+(\Delta x)^2 . $$ ![图片](/uploads/2022-12/image_20221227b89c0aa.png) 从上式可以看出, $\triangle A$ 由两部分组成:第一部 分 $2 x_0 \Delta x$ 是 $\Delta x$ 的线性函数,即图2-12中灰色的两个 矩形面积之和,而第二部分 $(\Delta x)^2$ 在图中是黑色的 小正方形面积. 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时,第二部分 $(\Delta x)^2$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小,即 $(\Delta x)^2=o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)$. 由此 可见,如果边长改变很微小,即 $|\Delta x|$ 很小时,面积 的改变量 $\triangle A$ 可近似地用第一部分来代替. 抛开上述例子的实际背景,即得到微分的定义. 定义 设函数 $f(x)$ 在某区间 $I$ 内有定义, $x_0 , x_0+\Delta x \in I$ 如果函数的增 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ 可表示成 $$ \Delta y=A \Delta x+o(\Delta x) $$ 其中 $A$ 为不依赖于 $\Delta x$ 的常数,而 $o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小,那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处是可微的,而 $A \Delta x$ 叫作函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量 增量 $\Delta x$ 的微分,记作 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}$ , 即 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}=A \Delta x$. 定理 函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导. 证明 设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微,则有 $\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)$. 当 $\Delta x \neq 0$ 时, $\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$ ,因此 $$ \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right]=A, $$ 即 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导. 定理 函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导. 反之,若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导,则有 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在。因此 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\alpha$ , 其中 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \alpha=0$ ,即 $$ \Delta y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \cdot \Delta x+\alpha \cdot \Delta x . $$ 由 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\alpha \Delta x}{\Delta x}=0$ ,知 $\alpha \Delta x=o(\Delta x)$ ,即 $\Delta y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \cdot \Delta x+o(\Delta x)$ , 即 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微. 由上述证明可知,若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微,其微分 $$ \left.\mathrm{d} y\right|_{x x x_0}=A \Delta x=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x . $$ 例2 设 $y=x^2$ ,求 (1) $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}$ (2 ) $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=1}$ 及 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0.01}$. 解 (1) $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_0}=\left.\left(x^2\right)^{\prime}\right|_{x=x_0} \Delta x=\left.(2 x)\right|_{x=x_0} \Delta x=2 x_0 \Delta x$ (2) $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=1}=2 \Delta x,\left.\quad \mathrm{~d} y\right|_{x=0.1}=0.02 \Delta x$. 例 3 求函数 $y=x^3$ 在 $x=1$ 时, $\Delta x$ 分别等于 $0.01$ 和 $0.0001$ 时的增量与微分. 解 当 $x=1$ ,时 $\Delta x=0.01$ , $$ \begin{aligned} & \Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=(1.01)^3-1^3=1.030301-1=0.030301 ; \\ & \left.\mathrm{d} y\right|_{x=1}=\left.3 x^2 \Delta x\right|_{x=1, \Delta x=0.01}=3 \times 0.01=0.03 ; \end{aligned} $$ 当 $x=1, \Delta x=0.0001$ 时, $$ \begin{aligned} & \Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=(1.0001)^3-1^3=1.000300030001-1=0.000300030001 \\ & \left.\mathrm{~d} y\right|_{x=1}=\left.3 x^2 \Delta x\right|_{x=1, \Delta x=0.0001}=3 \times 0.0001=0.0003 \end{aligned} $$ 通过计算可以发现, 当 $\Delta x=0.01$ 时, $\Delta y-d y=0.0003$ ;当 $\Delta x=0.0001$ 时, $\Delta y-\mathrm{d} y=0.000000030001$. 这时,用 $\mathrm{d} y$ 的值近似替代 $\Delta y$ 的值,误差是 非常小的.
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