利用柱面坐标计算三重积分

日期: 2023-01-01 10:21 查看: 83 次

设 $M(x, y, z)$ 为空间内一点， $M$ 在 $x O y$ 面上的投影为点 $P$ ，点 $P$ 用极坐标为 表示为 $(r, \theta)$ ，则这样的三个数 $r, \theta, z$ 就叫做点 $M$ 的柱面坐标，规定 $r, \theta, z$ 的变化 范围为:

$$
0 \leq r<+\infty, \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi, \quad-\infty<z<+\infty,
$$

$r=$ 常数，即表示以 $z$ 轴为轴的圆柱面；
$\theta=$ 常数，即表示过 $z$ 轴为轴的半平面；
$z=$ 常数，即表示与 $x O y$ 面平行的平面.
直角坐标系与柱面坐标系的关系为 $x=r \cos \theta ， y=r \sin \theta ， z=z$
这样三重积分从直角坐标系变化到柱面坐标系的公式为

$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{d} z
$$

若设 $\Omega=\left\{(r, \theta, z) \mid z_1(r, \theta) \leq z \leq z_2(r, \theta), r_1(\theta) \leq r \leq r_2(\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta\right\}$ ，
将柱面坐标系下的三重积分化为三次积分，就有

$$
\iiint_{\Omega}^{-} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\int_\alpha^\beta \mathrm{d} \theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r \mathrm{~d} r \int_{z_1(r, \theta)}^{z_2(r, \bar{\theta})} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \mathrm{d} z .
$$

例 6 计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由球面 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 及旋转抛 物面 $x^2+y^2=3 z$ 所围.
解 由 $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=4 \\ x^2+y^2=3 z\end{array}\right.$ ，得 $z=1$ ，故 $x^2+y^2=3$ ，令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$, 则 $D_{r \theta}=\{(r, \theta) \mid 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq \sqrt{3}\}$ ，
利用柱面坐标系得球面和抛物面方程为 $z=\sqrt{4-r^2}, r^2=3 z$ ，故

$$
\Omega=\left\{(r, \theta, z) \mid \frac{r^2}{3} \leq z \leq \sqrt{4-r^2},(r, \theta) \in D_{r \theta}\right\},
$$

则 $I=\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^{\sqrt{3}} r \mathrm{~d} r \int_{\frac{r^2}{3}}^{\sqrt{4 r^2}} z \mathrm{~d} z=2 \pi \int_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{2}\left(4-r^2-\frac{r^4}{9}\right) r \mathrm{~d} r=\frac{13}{4} \pi$.

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