最后更新: 2025-03-29 21:48 查看: 653 次反馈刷题

导数与微分到底有什么区别？

## 导数与微分的区别
 
 学习过微积分的同学大多会遇到一个问题，那就是，导数和微分到底有什么区别？为什么有时候说函数**可导**，有时候说函数**可微**？

几乎所有老师都会跟大家强调，在**一元函数里**，可导和可微是一回事，是等价的。这就提出了一个问题：对于两个等价的概念，为什么所有教材都会重复讲两遍？

事实上，把两个等价概念重复讲两遍，可能有两个原因。一是这两个概念虽然等价，但表达了不同的内涵；二是在以后的推广中，两个概念可能会产生区别，特别是在二元函数里，可微和可导没有必然的联系。

## 导数
如下图所示, 取曲线 $y=f(x)$ 上点 $P$ 附近的另一点 $Q$, 通过这两点画一条直线, 这直线叫做过曲线上 $P$ 点的割线, 让 $Q$ 点沿曲线向点 $P$ 移动, 这条割线将达到极限位置, 此极限位置与 $Q$ 点从哪一侧趋向于 $P$ 是无关的, 我们称这个割线的极限位置为过曲线上 $P$ 点的切线.

> **导数的本质是曲线的切线。**

![图片](/uploads/2024-09/8cb060.jpg)

## 微分
我们在中学就学过一次函数$y=k x+b$ ，一次函数是一条直线，并且有一个非常好的性质，那就是自变量变化变化 $\Delta x ， y$ 就变化 $k \Delta x$ 。可以这样说：最好研究的函数是幂函数就是以一次函数。

一次函数简单而优美的性质令分析学家着迷不已，可惜的是，一次函数太少了。分析学家处理的函数几乎都不是一次函数，而是像 $f(x)=2 \sin \left(x^2\right)+\cos (3 x)$ 这种难以画出图像的函数。

但是，分析学家意识到，初等函数都是比较光滑的。这意味着，尽管在整个区间上，函数是极度扭曲的，但如果将区间缩小，函数的扭曲程度就会降低。进而，分析学家认为，对于一个函数，如果锚定一个点 $x_0$ ，在其比较小的邻域内，可以用一次函数逼近这个函数。用数学语言写就是：

$$
f(x)=f\left(x_0\right)+A \Delta x+\alpha(\Delta x)
$$

或者：

$$
f(x)-f\left(x_0\right)=A \Delta x+\alpha(\Delta x)
$$

其中 $\alpha(\Delta x)$ 是**误差函数**，注意在加上误差函数后，上式是严格成立的。
不过这似乎没有什么意义：误差函数本质上就是一次函数 $f\left(x_0\right)+A \Delta x$ 与 $f(x)$ 的差，要求误差函数，仍然需要知道 $f(x)$ ，这陷入了逻辑循环。

![图片](/uploads/2025-03/36e626.jpg)

分析学家意识到，用线性函数代替函数这件事本身就是不可行的，现在要做的仅仅是在小邻域内逼近函数。因此我们不需要知道误差函数的具体情况，我们只需要让误差函数在充分接近 $x_0$ 时，显得无足轻重即可。再观察这个式子，我们发现它由两部分构成：那就是前一部分的线性函数和后一部分的误差。所谓误差无足轻重是指，在 $x$ 充分接近 $x_0$ 时，误差值与估计值之比 $\frac{\alpha(\Delta x)}{A \Delta x}$ 充分小。

这样的思想似乎很好理解。以[微分定义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=297) 里的引例解释：一块正方形金属薄片因受温度变化的影响，其边长由 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ ，问: 此薄片的面积改变了多少?， 可得到变化为：

$$
\Delta A=\left(x_0+\Delta x\right)^2-x_0^2=2 x_0 \Delta x+(\Delta x)^2 .
$$

假设铁皮膨胀率为1%，
**情况1：** 假设铁皮是100m，原面积是
$S_1=100*100=10000 m^2$
使用线性替换后，忽略部分的面积为面积是 $1*1=1 m^2$。

**情况2：** 假设铁皮是1m，原面积是
$S_1=1*1=1 m^2$
使用线性替换后，忽略部分的面积为面积是 $0.01*0.01=0.00001 m^2$。
可以看到忽略的部分可以省略不计。
 
![图片](/uploads/2022-12/image_20221227b89c0aa.png)

不过两者的区别在于，现实的工程技术中，有一个相对误差阈值 ，满足这个条件就可以了（比如上面的 0.01 )。但是在数学理论中，如何确定这个阈值呢? 我们尝试将这个要求翻译成数学语言，所谓 "在 $x$ 充分接近 $x_0$ 时，误差值与估计值之比 $\frac{\alpha(\Delta x)}{A \Delta x}$ 充分小。"，不正是说：

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{\alpha(\Delta x)}{A \Delta x}=0
$$

**换句话说，只需要误差 $\alpha(\Delta x)$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，我们就可以在 $x_0$ 附近比较有效的逼近原函数了。这正是函数可微的定义:**

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域上有定义，若对于任意 $x \in U\left(x_0\right)$ ，都成立 $f(x)-f\left(x_0\right)=A \Delta x+\alpha(\triangleleft x)$ ，其中 $A$ 是只与点 $x_0$ 有关的常数（线性逼近函数的斜率）， $\alpha(\Delta x)$ 是较 $\Delta x$ 高阶的无穷小，则称函数在该点可微。其中 $A \Delta x$ 叫做线性主部（主要部分，因为误差很小），记 $d y=A \Delta x$ ，称为 $y$ 的微分。

我们再来说说函数可微的内涵。事实上， $f(x)-f\left(x_0\right)=A \Delta x+\alpha(\triangleleft x)$ 可以对任何函数成立，因为有误差函数保证其精确性。但是如果误差函数太大，这样的逼近是没有意义的。因此，我们限制误差函数只能为一个高阶无穷小量，这就保证了在点附近用线性函数逼近原函数的有效性，或者说这才是有意义的逼近。由此可见，"**误差函数为高阶无穷小量" 是逼近的精髓**，如若不然，逼近的意义不大。

>由于可导和可微是等价的，我们也可以这样理解：取微分是画了一条线性函数，这线性函数能在点附近较好逼近函数；取导数是给出了这条线性函数的斜率。一个是画出直线，一个是给出斜率，读者应该好好体会两者内涵的不同。

这便是导数与微分的内涵的不同。

## 多元函数的微分与导数

> 在一元函数里，我们使用切线替代了曲线增量，在二元函数里，我们使用切面替代曲面的增量。 ，详见[全微分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=383)

**在$y=f(x)$如果切线可以替代曲线增量，我们称为一阶可微。
在$z=f(x,y)$如果切面可以替代曲面增量，我们称为曲面可微。**

在多元函数中，可微比可导强得多。我们沿用上面的说法，可微是指在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 附近，可以画出一个平面来逼近函数 ${ }^{+}$，其误差函数应当是距离 $r$ 的高阶无穷小。

容易想到，若二元函数在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微，这说明函数在任何方向都可导。如若不然，函数在某个方向不可导，则作为一元函数，函数在这个方向不可微，进而函数在这个点是不可微的。这就说明了，可微可以推出可导。

但坐标轴方向上的偏导数存在，不一定表示函数可微。这是因为偏导数仅仅刻画了坐标轴方向的变化状态，而没有给出其他方向的变化状态的任何信息。并且，即使任何方向偏导数存在，函数也不一定可微。

这说明，在多元函数中，可微比可导强得多。
至此，我们从内涵和推广两个方面谈了微分和导数的区别，希望读者好好体会，祝好。

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