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两类曲线积分的关系
日期:
2023-01-01 13:30
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例 13 计算 $\int_{\Gamma} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+(x+y-1) \mathrm{d} z, \Gamma$ 为点 $A(2,3,4)$ 到点 $B(1,1,1)$ 的空间有向 线段. 解 直线 $A B$ 的方程为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$, 改写为参数方程为 $$ x=t+1, y=2 t+1, z=3 t+1(0 \leq t \leq 1) \text {, } $$ $t=1$ 对应着起点 $A ， t=0$ 对应着终点 $B$, 于是 $$ \begin{aligned} \int_{\Gamma} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+(x+y-1) \mathrm{d} z & =\int_1^0[(t+1)+2(2 t+1)+3(3 t+1)] \mathrm{d} t \\ & =\int_1^0(14 t+6) \mathrm{d} t=-13 . \end{aligned} $$ 例 14 求质点在力 $F(x, y)=x^2 i-x y j$ 的作用下沿着曲线 $L$ $$ x=\cos t, y=\sin t $$ 从点 $A(1,0)$ 移动到点 $B(0,1)$ 时所作的功. 解 注意到对于 $L$ 的方向, 参数 $t$ 从 0 变到 $\frac{\pi}{2}$ (图 7-58)， 所以 $$ \begin{gathered} W=\int_{\overline{A B}} x^2 \mathrm{~d} x-x y \mathrm{~d} y=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 t \mathrm{~d} \cos t-\cos t \sin t \mathrm{~d} \sin t \\ \left.=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(-2 \cos ^2 t \sin t\right) \mathrm{d} t=2\left[\frac{\cos ^3 t}{3}\right]\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{3} . \end{gathered} $$  虽然上面讨论的两类积分有着不同的背景及不同的特征，但在一定的条件下 他们之间是有联系的. 现在我们来揭示平面情形中这两类曲线积分之间的联系. 设平面有向曲线弧 $L=A B:\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}, t: \alpha \rightarrow \beta\right.$, 其中 $\alpha$ 对应起点 $A ， \beta$ 对 应起点 $B$ ，不妨设 $\alpha<\beta$ （若 $\alpha>\beta$ ，可令 $s=-t ， A 、 B$ 对应 $s=-\alpha ， s=-\beta$ ， 就有 $(-\alpha)<(-\beta)$ ， 将下面的讨论对 $s$ 进行即可)， 并设 $\varphi(t) 、 \psi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具 有一阶连续导数，且 $\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t) \neq 0 ， P(x, y) 、 Q(x, y)$ 在 $L$ 上连续， 则 $\int_L P(x, y)+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_\alpha^\beta\left[P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi^{\prime}(t)+Q(\varphi(t), \psi(t)) \psi^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t ；$ 已知 $\tau=\left(\varphi^{\prime}(t), \psi^{\prime}(t)\right)$ 是曲线弧 $L$ 在点 $M(\varphi(t), \psi(t))$ 处的一个切向量，它的 指向与参数 $t$ 的增长方向一致，当 $\alpha<\beta$ 时，这个指向就是有向曲线弧 $L=A B$ 的 方向，以后，我们称这种指向与有向曲线弧的方向一致的切向量为有向曲线弧的 切向量. 于是，有向曲线弧 $L=A B$ 的切向量为 $\tau=\left(\varphi^{\prime}(t), \psi^{\prime}(t)\right)$ ， 其方向余弦为 $$ \cos \alpha=\frac{\varphi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}}, \quad \cos \beta=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}} $$ 对弧长的曲线积分为 $$ \begin{aligned} & \int_L(P \cos \alpha+Q \cos \beta) \mathrm{d} s \\ = & \int_\alpha^\beta\left[P(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\varphi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}}+Q(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\psi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}}\right] \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t \\ = & \int_\alpha^\beta\left[P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi^{\prime}(t)+Q(\varphi(t), \psi(t)) \psi^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t, \end{aligned} $$ 故 $\quad \int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_L(P \cos \alpha+Q \cos \beta) \mathrm{d} s$ ， 其中 $\alpha(x, y) 、 \beta(x, y)$ 为有向曲线弧 $L$ 在点 $(x, y)$ 处的切向量的方向角. 两类曲线积分的关系也可用向量的形势表达，比如空间的情形可写成: $$ \int_L A \cdot \mathrm{d} r=\int_L A \cdot \tau \mathrm{d} s \text { ，或 } \int_L A \cdot \mathrm{d} r=\int_L A_\tau \mathrm{d} s \text { ， } $$ 其中 $\boldsymbol{A}=(P, Q, R) ， \tau=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为有向曲线弧 $L$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位 切向量， $\mathrm{d} r=\tau \mathrm{d} s=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z)$ 称为有向曲线元. $A_r$ 为向量 $A$ 在向量 $\tau$ 上的投影. 类似地，在空间有 $$ \int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_{\Gamma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} s \text { ， } $$ 其中 $\alpha(x, y, z) 、 \beta(x, y, z) 、 \gamma(x, y, z)$ 为空间有向曲线弧 $\Gamma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的切向量 的方向角. 例 15 设 $L$ 为从点 $(0,0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 到 $(1,1)$ 的曲线弧，化第二类曲 线积分 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 为第一类曲线积分. 解 $L: x^2+y^2=2 x$ ，两边关于 $x$ 求导： $2 x+2 y y^{\prime}=2$ ， 即 $$ y^{\prime}=\frac{1-x}{y}, \quad \mathrm{~d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{1+\left(\frac{1-x}{y}\right)^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{y} \mathrm{~d} x $$ 故 $\cos \alpha=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} s}=y=\sqrt{2 x-x^2} ， \sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^2 \alpha}=\sqrt{1-y^2}=1-x$ ，因此 因此 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_L\left[P(x, y) \sqrt{2 x-x^2}+Q(x, y)(1-x)\right] \mathrm{d} s$.
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