对面积的曲面积分（第一类曲面积分）

日期: 2023-01-01 13:46 查看: 81 次

到目前为止，我们讨论了以下类型的积分:
定积分: $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ ，
重积分: 二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 和三重积分 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ ，
曲线积分：对弧长的曲线积分 $\int_L f(x, y) \mathrm{d} s$ ； $\int_{\Gamma} f(x, y, z) \mathrm{d} s$ ，
对坐标的曲线积分 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ ，

$$
\int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z .
$$

在本节中，我们将对积分概念再做一种推广，即推广到积分范围是 一片曲面的情形.这样推广的积分称为曲面积分.
同第一类曲线积分一样，由曲线状构件的质量问题导出对弧长曲线积分的定
义，可由曲面状构件的质量问题导出对面积曲面积分的定义.
设有一曲面状构件 $\Sigma$ ，其面积为 $S$ ，面密度为连续函数 $\rho=\rho(x, y, z)$ ， $(x, y, z) \in \Sigma$.
若 $\rho$ 是常数 (均匀质体)，则 $M=\rho S$ ；若 $\rho=\rho(x, y, z)$ (非均匀质体)，则 可将曲面 $\Sigma$ 任意地分成 $n$ 个小曲面 $\Delta S_i(i=1,2, \cdots, n) ， \Delta S_i$ 也为该曲面的面积， $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta S_i\right.$ 的直径 $\}$ ，任取 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \in \Delta S_i ， \Delta S_i$ 的质量为 $\Delta m_i \approx \rho\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i$ ， $(i=1,2, \cdots, n)$ 从而曲面状构件的质量为

$$
m=\sum_{i=1}^n \Delta m_i \approx \sum_{i=1}^n \rho\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i,
$$

当分点无限加密即 $\lambda \rightarrow 0$ 时，此和式极限就是该曲面状构件的质量，即

$$
m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \rho\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta s_i .
$$

同样抽去其具体意义，就得到第一类曲面积分的定义.

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