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对坐标的曲面积分的概念和性质
日期:
2023-01-01 14:08
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流向曲面一侧的流量：设稳定流动 (流速与时间无关的不可压缩流体(假定 密度为 1)的速度场由 $$ v(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k $$ 给出， $\Sigma$ 为速度场中的一片有向曲面，函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 都在 $\Sigma$ 上连续，求在单位时间内流向 $\Sigma$ 指定侧的流体的质量，即流量 $\Phi$ : 如果假设流向平面上面积为 $A$ 的一个 区域， $v$ 是常向量， $n$ 为平面的单位法向量 (见图 7-73 (a))，  如果假设流向平面上面积为 $A$ 的一个区域， $v$ 是常向量， $n$ 为平面的单位法 向量(图 7-73 (a))，则在单位时间内，流过这闭区域的流体组成一个底面积为 $A$ ，斜高为 $|v|$ 的柱体(图 7-73 (b) )，  若 $v$ 与 $n$ 的夹角小于 $90^{\circ}$ ，即 $(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{n})=\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，这斜柱体的体积为 $A \times|\boldsymbol{v}| \cos \theta=A \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}$ ， 这也就是通过闭区域流向 $\boldsymbol{n}$ 所指一侧的流量； 若 $\boldsymbol{v}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 的夹角大于 $90^{\circ}$ ，即 $(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{n})=\theta>\frac{\pi}{2}$ 时， $A \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}<0$ ，但此时我们仍称 $A \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}$ 为通 过闭区域流向 $\boldsymbol{n}$ 所指一侧的流量，他表示流体通过闭区域实际上是流向 $-\boldsymbol{n}$ 所指的一侧， 且流向这一侧的流量为 $-A \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}$ ， 当 $(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{n})=\theta=\frac{\pi}{2}$ 时，显然，流体通过闭区域流向 $\boldsymbol{n}$ 所指一侧的流量为零，即 $A \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}=0$. 因此，不论 $(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{n})$ 为何值，流体通过闭区域流向所指一侧的流量都等于 $A \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}$. 现在考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速 $v$ 也不是常向量，但是连 续的向量函数，因此，所求流量不能按上述方法计算. 但是，过去引入各类积分 概念的例子的方法，还是可以解决现在的问题. 将光滑曲面 $\Sigma$ 任意分成 $r$ 个小块曲面 $\Delta S_i$ $(i=1,2, \cdots, n)$ （记号 $\Delta S_i$ 也代表其面积)，只要 $\Delta S_i$ 的直径很小，就可以用 $\Delta S_i$ 上任一点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 处的流速 (见图 7-74) $$ \begin{aligned} v_i= & v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)=P\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) i \\ & +Q\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) j+R\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) k \end{aligned} $$ 来代替 $\Delta S_i$ 上其它各点处的流速，  以点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 处曲面 $\Sigma$ 的单位法向量 $\boldsymbol{n}_i=\cos \alpha_i i+\cos \beta_i j+\cos \gamma_i k$ 来代替 $\Delta S_i$ 上其它各点处的单位法向量，从而得到通过 $\Delta S_i$ 流向指定侧的流量: $$ \Phi \approx \sum_{i=1}^n \boldsymbol{v}_i \cdot \boldsymbol{n}_i \Delta S_i=\sum_{i=1}^n\left[P\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cos \alpha_i+Q\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cos \beta_i+R\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cos \gamma_i\right] \Delta S_i $$ 由 $\cos \alpha_i \cdot \Delta S_i=\left(\Delta S_i\right)_{y z}, \cos \beta_i \cdot \Delta S_i=\left(\Delta S_i\right)_{z x}, \cos \gamma_i \cdot \Delta S_i=\left(\Delta S_i\right)_{x y}$, 故 $$ \Phi \approx \sum_{i=1}^n\left[P\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)\left(\Delta S_i\right)_{y z}+Q\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)\left(\Delta S_i\right)_{z x}+R\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)\right]\left(\Delta S_i\right)_{x y} \text {, } $$ 令 $\lambda=\max _{1 \leq 1 \leq n}\left\{\Delta S_i\right.$ 的直径 $\}$ ，则 $$ \Phi=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n\left[P\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)\left(\Delta S_i\right)_{y z}+Q\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)\left(\Delta S_i\right)_{z x}+R\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)\right]\left(\Delta S_i\right)_{x y} $$ 定义 2 设 $\Sigma$ 为光滑(或分片光滑)的有向曲面，函数 $R(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上有界， 将 $\Sigma$ 任意地分成 $n$ 片小曲面 $\Delta S_i(i=1,2, \cdots, n) （ \Delta S_i$ 也表示该小曲面的面积)， $\Delta S_i$ 在 $x O y$ 坐标面的投影分别是 $\left(\Delta S_i\right)_{x y} ， \lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta S_i\right.$ 的直径 $\}$ ，任取 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \in \Delta S_i$ $(i=1,2, \cdots, n)$ ，若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n R\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)\left(\Delta S_i\right)_{x y}$ 存在，则称此极限为 $R(x, y, z)$ 在有向 曲面 $\Sigma$ 上对坐标 $x 、 y$ 的曲面积分或第二类曲面积分，记作 $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，即 $$ \iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n R\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)\left(\Delta S_i\right)_{x y} $$ 其中 $R(x, y, z)$ 称为被积函数， $\Sigma$ 称为有向积分曲面. 类似地，可以定义函数 $P(x, y, z)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上对坐标 $y, z$ 的曲面积分 $\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ 为 $$ \iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i, S_i\right)\left(\Delta S_i\right)_{y z} ; $$ 定义函数 $Q(x, y, z)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上对坐标的曲面积分 $\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x$ 为 $$ \iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n Q\left(\xi_i, \eta_i, \varsigma_i\right)\left(\Delta S_i\right)_{z x} $$ 以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分. 如果 $\Sigma$ 是分片光滑有向曲面，那么我们规定函数在 $\Sigma$ 上对坐标的曲面积分等 于函数在光滑的各片曲面上对坐标的曲面积分之和. 如果 $\Sigma$ 是闭的有向曲面，那么在 $\Sigma$ 上对坐标的曲面积分的记号中，积分号 $\iint$ 通常会换为 $f \int$. 可以证明，若函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上连续，则 函数在 $\Sigma$ 上的对坐标的曲面积分 $\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z ， \iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x$ 和 $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{dxd} y$ 存在. 以后我们总是假定被积函数在 $\Sigma$ 上连续. 在应用中出现较多的是 $$ \iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 这种合并起来的形式. 为简单记，上式记为 $$ \iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . $$ 如果令 $A(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$ ， $$ \mathrm{dS}=\mathrm{d} y \mathrm{~d} z i+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y j+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y k, $$ 那么上式就可以写成简便的向量形式： $\iint_{\Sigma} A(x, y, z) \cdot \mathrm{dS}$ 其中 $\mathrm{dS}$ 称为有向曲面面积元素. 根据对坐标的曲面积分的定义，存在条件及以上记法，上面讨论的流体密 度为 1 ，流速单位时间内流过曲面 $\sum$ 指定侧的流量为 $$ \begin{aligned} \Phi & =\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ & =\iint_{\Sigma} A(x, y, z) \cdot \mathbf{d S} ; \end{aligned} $$ 对坐标的曲面积分也具有线性性、区域可加性，例如，若被积函数在对应光 滑曲面上连续，则 $$ \iint_{\Sigma}\left[\alpha R_1(x, y, z)+\beta R_2(x, y, z)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\alpha \iint_{\Sigma} R_1(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\beta \iint_{\Sigma} R_2(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y ； $$ 设 $\Sigma=\Sigma_1+\Sigma_2$ ，则 $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma_1} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{\Sigma_2} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ； 特别地，若用 $-\Sigma$ 表示双侧曲面 $\Sigma$ 与指定的一侧相反的一侧，则 $$ \iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{-\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y . $$ 因此，关于对坐标的曲面积分，我们必须注意积分曲面的侧. 对坐标的曲面积分也是化为二重积分来计算的.具体方法如下: 定理 2 设光滑有向曲面 $\Sigma$ 由方程 $z=z(x, y)$ 给出， $\Sigma$ 在 $x O y$ 面上的投影区域 为 $D_{x y}$ ，函数 $z=z(x, y)$ 在 $D_{x y}$ 上具有连续偏导数，且函数 $R(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续， 则有 $$ \iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pm \iint_{D_y} R(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y ， $$ 当曲面 $\sum$ 取上侧，即 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦中 $\cos \gamma>0$ 时，等式的右端取正号， 即 $$ \iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_y} R(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \text {; } $$
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