最后更新: 2024-10-12 07:30 ● 参与者查看: 603 次纠错分享参与项目词条搜索

弧微分与曲率

## 弧微分的概念
工程技术与生产实践中常常要考虑曲线的弯曲程度， 如公路、铁路的弯道、机床与土木建筑中的轴或梁在荷载作用下产生的弯曲变形. 在设计时对它们的弯曲程度都有一定的限制，因此要讨论如何定量地描述曲线的弯曲程度. 这就引出了曲率的概念.
在介绍曲率之前，需要先引进弧微分的概念.

若函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内具有一阶连续导数，其图形为一条处处有切线的曲线，且切线随切点的移动而连续转动，通常这样的曲线必为光滑曲线. 在曲线  $y=f(x)(x \in(a, b))$ 上取固定点 $M_0\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 作为度量弧长的基点，并规定:
(1) 以 增大的方向作为曲线的正向；
(2) 对曲线上任意点 $M(x, f(x))$ 有向线段
$\overparen{M_0 M}$ 的长度为 $s=|s| \operatorname{sgn}\left(x-x_0\right)$ 称为弧 $s$
由此可知弧 $s$ 是 $x$ 的函数： $s=s(x)$ 且它是
单调增加的 (见图2-65)

![图片](/uploads/2022-12/image_202212281f2cd2d.png)

现在考虑 $\lim _{\Delta x \rightarrow \infty} \frac{\Delta s}{\Delta x} \quad \Delta s=\overparen{M_0 M^{\prime}}-\overparen{M_0 M}=\overparen{M M^{\prime}}$
由 $\left(\frac{\Delta s}{\Delta x}\right)^2=\left(\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\Delta x}\right)^2=\left(\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right)^2\left(\frac{\overline{M M^{\prime}}}{\Delta x}\right)^2=\left(\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right)^2 \cdot \frac{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2}=\left(\frac{M^{\prime}}{\overline{M M^{\prime}}}\right)^2\left[1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2\right]$
得 $\frac{\Delta s}{\Delta x}=\pm \sqrt{\left(\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right)^2\left[1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2\right]}=\pm\left|\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right| \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}$.
由于当 $\Delta x \to 0 \quad M^{\prime} \rightarrow M \quad \lim _{M^{\prime} \rightarrow M}\left|\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right|=1, \lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x^{\prime}}\right)^2=y^{\prime 2}$
注意到 $s=s(x)$ 单调增加 即 $y^{\prime} \geq 0$ ，因此 $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta x}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$

由此可得弧微分公式为

$$ 
\boxed{
\mathrm{d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x ...(1)
}
$$

### 参数方程与极坐标的弧微分
同理，可以推出，若曲线由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ ，给出，则有

$$ \boxed{\mathrm{d} s=\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t ...(2)} 
$$

若曲线方程为极坐标形式 $r=r(\theta)$ ，则有

$$ \boxed{\mathrm{d} s=\sqrt{r^2(\theta)+r^{\prime 2}(\theta)} \mathrm{d} \theta ...(3)}
$$

## 曲率
现在研究如何描述曲线弧的弯曲程度.
从几何直观上容易看出，直线不弯曲，抛物线在顶点处弯曲最厉害，当抛物线上的点越远离顶点，弯曲程度越低（见图2-66）圆上各点的弯曲程度是相同的（见图2-67）半径越小，弯曲越厉害.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212284e2ba78.png)

如图2-68所示，在曲线 $L$ 上点从 $M_1$ 移动到 $M_2$ 时，切线转过的角度（简称转 角) $\Delta \alpha$ 很小，但点从 $M_1$ 移动到 $M_2$ 时，切线转过的角度 (转角) $\Delta \alpha^{\prime}$ 很大. 但是单 用转角来衡量曲线的弯曲程度是不完全的. 如图2-69所示，当点从 $M$ 沿 $L_1$ 移动到 $M^{\prime}$ 时 (弧长为 $\Delta s$ ) 与点从 $N$ 沿 $L_1$ 移动到 $N^{\prime}$ 时 (弧长为 $\Delta s$ ) 它们有相同的转角，但 显 然 $\overparen{M M}$ '比 $\overparen{N N}$ 的弯曲程度要小. 从图中也可看出，弯曲程度既与转角有关 （成正比）也与经过的弧长 $\Delta \alpha$ 有关（成反比）.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228d261484.png)

**定义** 设曲线 $C: y=f(x)$ 是光滑的，在 $C$ 上任取 一点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ 作为度量弧长的基点. 设曲线 $C$ 上点 $M(x, y)$ 对应弧 $S$ ，点 $M$ 处曲线的切线倾斜角为 $\alpha$. 点 $M^{\prime}(x+\Delta x, y+\Delta y)$ 是 $C$ 上邻近 $M$ 的另一个点，对应 弧 $s+\Delta s$ ，点 $M^{\prime}$ 处曲线的倾斜角为 $\alpha+\Delta \alpha$ (见图2-70) 当动点由点 $M$ 沿 $C$ 移动到点 $M$ '时，切线转过的角度 为 $|\Delta \alpha|$ 比值 $\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|$ 称为弧段 $\overparen{M M^{\prime}}$ 的平均曲率，记作 $\bar{K}$ ， 即曲率的定义为单位弧段上切线转角的大小

$$
\bar{K}=\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right| ...(4),  
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228f33f4fc.png)
当 $M^{\prime} \rightarrow M$ 时， $\Delta s \rightarrow 0$ 将平均曲率取极限（若极限存在），称该极限值为曲线 $C$ 在点 $M$ 处的曲率, 记作 $K$.

$$
K=\lim _{M^{\prime} \rightarrow M} \bar{K}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|
$$

在 $\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \alpha}{\Delta s}=\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} s}$ 存在的条件下， $K$ 可以表示为

$$
K=\left|\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{ds}}\right|
$$

### 曲率计算公式
下面根据公式(4)推导曲率计算公式。
在公式（1）里已经推导出$dS$,下面推导$d \alpha$，怎么求$\alpha$, 这里用到斜率。斜率就是其切线在这一点与水平线夹角的正切值, $\tan \alpha =y'$  ,即 $\tan \alpha = \frac{dy}{dx}$,对其微分

$$
d \tan \alpha=\frac{d \tan \alpha}{d \alpha} d \alpha=\sec ^2 \alpha d \alpha=\left(1+\tan ^2 \alpha\right) d \alpha=\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right] d \alpha .
$$

这样一来就有: $d \alpha=\frac{ d \tan \alpha}{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2}=\frac{ d \frac{d y}{d x}}{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2} ...(5) $.

将(5)和(1)代数曲率计算公式(4)即可得到
#### 曲率公式
$$
\boxed{
k=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}
}
$$

>记忆技巧：先看顶上，一个儿子 (二阶导数) 把自己关在楼上房子 (绝对值看成房门) 里（理解成常年不出门在家啃老的阿宅)
在看底下，一家 (1+) 父母 (一阶导数) 两人 (平方)，干了一辈子活，只盖了一层半的房子（二分之三次方)。

#### 曲率半径
定义曲率半径为曲率的导数，即
$R=\frac{1}{k}(k \neq 0)$.

**典型例题**

`例` 求直线上各点的曲率.
解 直线上各点处切线的倾斜角 0 是常量， $\Delta \alpha=0$ 因此

$$
K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|=0
$$

这与我们直观认识到的 “直线没有弯曲" 一致.

`例` 求半径为 $R$ 的圆上任意一点处的曲率.
解 在圆周上任意两点 $M 、 M^{\prime}$ '处圆的切线所夹角 $\Delta \alpha$ 等于中心角 $M A M^{\prime}$ (见图2-71），且 $\angle M A M^{\prime}=\frac{\Delta s}{R}$ ，因此 $\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}=\frac{\frac{\Delta s}{R}}{\Delta s}=\frac{1}{R}$ ，即 $K=\frac{1}{R}$
这表明圆上各点处的曲率都等于半径 $R$ 的倒 数 $\frac{1}{R}$ 这与我们直观认识到的 “圆的弯曲程度处处 一样（且弯曲程度与半径成反比）"一致.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221228ce3d17f.png)

`例` 计算等边双曲线 $x y=1$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率.
解 由 $y=\frac{1}{x}$, 得

$$
y^{\prime}=-\frac{1}{x^2}, \quad y^{\prime \prime}=\frac{2}{x^3} .
$$

因此,

$$
\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=-1,\left.\quad y^{\prime \prime}\right|_{x=1}=2
$$

把它们代人公式 $(7-3)$, 便得曲线 $x y=1$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率为

$$
K=\frac{2}{\left[1+(-1)^2\right]^{3 / 2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
$$

`例`抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 上哪一点处的曲率最大?
解 由 $y=a x^2+b x+c$, 得

$$
y^{\prime}=2 a x+b, \quad y^{\prime \prime}=2 a
$$

代人公式 $(7-3)$ ，得

$$
K=\frac{|2 a|}{\left[1+(2 a x+b)^2\right]^{3 / 2}}
$$

### 曲率近似计算
因为 $K$ 的分子是常数 $|2 a|$, 所以只要分母最小, $K$ 就最大. 容易看出, 当 $2 a x+b=0$, 即 $x=-\frac{b}{2 a}$ 时, $K$ 的分母最小, 因而 $K$ 有最大值 $|2 a|$. 而 $x=-\frac{b}{2 a}$ 所对应的点为抛物线的顶点. 因此, 抛物线在顶点处的曲率最大.
在有些实际问题中, $\left|y^{\prime}\right|$ 同 1 比较起来是很小的(有的工程技术书上把这种关系记成 $\left|y^{\prime}\right|<1$ ), 可以忽略不计. 这时, 由

$$
1+y^{\prime 2} \approx 1
$$

而有曲率的近似计算公式

$$
\boxed{
K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{3 / 2}} \approx\left|y^{\prime \prime}\right| }
$$

这就是说, 当 $\left|y^{\prime}\right| \ll 1$ 时, 曲率 $K$ 近似于 $\left|y^{\prime \prime}\right|$. 经过这样简化之后, 对一些复杂问题的计算和讨论就方便多了。

## 参数曲率的计算方法
设曲线 $y=f(x)$ 其中 $f(x)$ 具二阶导数，由导数的几何意义知 $y^{\prime}=\tan \alpha$ ，显 然 $\alpha=\alpha(x)$ ，由 $y^{\prime}=\tan \alpha$ 两边求导得

$$
y^{\prime \prime}=\sec ^2 \alpha \cdot \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x}=\left(1+\tan ^2 \alpha\right) \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x}=\left(1+y^{\prime 2}\right) \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} s} \cdot \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} x}
$$

又 $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} x}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ ， 因此 $\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} s}=\frac{y^{\prime \prime}}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，这样 $K=\left|\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{ds}}\right|=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

特别地，当 $\left|y^{\prime}\right| \ll 1$ 时 $K \approx\left|y^{\prime \prime}\right|$.

当曲线方程由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)^{\prime}\end{array}\right.$ ，给出时，由 $y^{\prime}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}$

$$
y^{\prime \prime}=\frac{\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime 3}(t)} $$

得到 
$$ \boxed{
K=\frac{\left|\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)\right|}{\left[\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)\right]^{\frac{3}{2}}}
}
$$

这是参数方程曲率计算公式。

典型例题

`例`抛物线 $y=x^2+2 x$ 上哪一点处的曲率最大?
解 由 $y^{\prime}=2 x+2 ， y^{\prime \prime}=2$ ，得 $K=\frac{2}{\left[1+(2 x+2)^2\right]^{\frac{3}{2}}}$. 显然，当 $x=-1$ 时， $K_{\text {max }}=2$ ， 此时， $(-1,-1)$ ，为抛物线的顶点，可知抛物线的顶点处曲率最大.

`例` 求正弦曲线 $y=\sin x$ 在区间 $[0, \pi]$ 上各点处的曲率.
解 由 $y^{\prime}=\cos x ， y^{\prime \prime}=-\sin x$ ，得 $K=\frac{|\sin x|}{\left(1+\cos ^2 x\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sin x}{\left(1+\cos ^2 x\right)^{\frac{3}{2}}}, 0 \leq x \leq \pi$
在 $x=0$ 及 $x=\pi$ 处， $K=0$ ，即在点 $(0,0)$ 及点 $(\pi, 0)$ 的附近，正弦曲线接近直 线. 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处 $\cos x=, 0$ 分母最小且分子 $\sin x=1$ 取最大值.
所以曲率取最大值 1 ，也就是正弦曲线在点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 处弯曲最厉害.

`例`求椭圆 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=b \sin t\end{array}\right.$ 在点 $(0, b)$ 处的曲率.
解 点 $(0, b)$ 对应的参数 $t=\frac{\pi}{2}$, 由于 $\phi^{\prime}(t)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=-a \sin t, \phi^{\prime \prime}(t)=-a \cos t$,

$$
\psi^{\prime}(t)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=b \cos t, \psi^{\prime \prime}(t)=-b \sin t
$$

故将 $t=\pi/2$ 带入得 $\quad \phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=-a, \quad \phi^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, \psi^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=0, \psi^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-b$,
由曲率公式，有 $K=\left.\frac{\left|\phi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\phi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)\right|}{\left[\phi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)\right]^{\frac{3}{2}}}\right|_{t=\frac{\pi}{2}}=\frac{b}{a^2}$

## 曲率圆与曲率半径
设曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x, y)$ 处的曲率为 $K$ $(K \neq 0)$ ， 在点 $M$ 处的曲线的法线上凹的一侧 取点 $D$ 使 $|D M|=\frac{1}{K}=\rho$ ，以 $D$ 为圆心、 $\rho$ 为半径 作圆，称这个圆为曲线在点 $M$ 处的曲率圆，曲率 圆的圆心 $D$ 叫作曲线在点 $M$ 处的曲率中心，曲 率圆的半径 $\rho$ 叫作曲线在点 $M$ 处的曲率半径 (见图2-72).

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122896783f5.png)

由上述定义可知:
(1) 曲率圆与曲线在点 $M$ 处有相同的切线与曲率，且在点 $M$ 的邻近有相同的凹 向，因此，往往可用曲率圆在点 $M$ 附近的一段弧来近似代替曲线弧，而使问题得 到简化.
(2) $\rho=\frac{1}{K^{\prime}}, K=\frac{1}{\rho}$

`例` 求曲线 $y=\tan x$ 在点 $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ 处的曲率与曲率半径.
解 $y^{\prime}=\sec ^2 x, y^{\prime \prime}=2 \sec ^2 x \tan x=\frac{2 \sin x}{\cos ^3 x}$,
曲率 $K$ 及曲率半径 $\rho$ 分别为

$$
K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}, R=\frac{1}{K}=\frac{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left|y^{\prime \prime}\right|} .
$$

由 $\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{1}{4}} 及=\left.2 \quad y^{\prime \prime}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}=4$, 得点 $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ 处的曲率与曲率半径分别为 $K=\frac{4 \sqrt{5}}{25}, \rho=\frac{5 \sqrt{5}}{4}$.

`例` 设一工件上的椭圆孔形 $\overparen{C B D}$ 为椭圆 $\frac{x^2}{40^2}+\frac{y^2}{50^2}=1$ 上的一段弧 (见图2-73) 若用砂轮磨削其内表面，问: 砂轮的直径最大可选为多少?
解 求弧 $\overparen{C B D}$ 在 $B$ 点处的曲率. 弧 $\overparen{C B D}$ 的方程为

$$
\begin{aligned}
& y=-50 \sqrt{1-\frac{x^2}{40^2}}=-\frac{5}{4} \sqrt{1600-x^2} \\
& y^{\prime}=\frac{5}{4} \cdot \frac{x}{\sqrt{1600-x^2}} \quad y^{\prime \prime}=\frac{2000}{\left(1600-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}
\end{aligned}
$$

在点 $x=0$ 处， $y^{\prime} = 0 \quad y^{\prime \prime}=\frac{1}{32}$ 代入曲率公式得 $B$ 点处的曲率 $K=\frac{1}{32}$ 曲率半径 $\rho=32$ 所以砂轮的直径不得超过64个单位
![图片](/uploads/2022-12/image_2022122843555b7.png)

## 曲率的物理应用

曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。平坦对不同的几何体有不同的意义。
本文考虑基本的情况，欧几里得空间中的曲线和曲面的曲率。一般意义下的曲率，请参照曲率张量。

在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。

按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。

在物理中，曲率通常通过法向加速度（向心加速度）来求，具体请参见法向加速度。

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