最后更新: 2024-10-12 07:30 查看: 787 次反馈同步训练

弧微分与曲率

## 弧微分的概念
工程技术与生产实践中常常要考虑曲线的弯曲程度， 如公路、铁路的弯道、机床与土木建筑中的轴或梁在荷载作用下产生的弯曲变形. 在设计时对它们的弯曲程度都有一定的限制，因此要讨论如何定量地描述曲线的弯曲程度. 这就引出了曲率的概念.
在介绍曲率之前，需要先引进弧微分的概念.

若函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内具有一阶连续导数，其图形为一条处处有切线的曲线，且切线随切点的移动而连续转动，通常这样的曲线必为光滑曲线. 在曲线  $y=f(x)(x \in(a, b))$ 上取固定点 $M_0\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 作为度量弧长的基点，并规定:
(1) 以 增大的方向作为曲线的正向；
(2) 对曲线上任意点 $M(x, f(x))$ 有向线段
$\overparen{M_0 M}$ 的长度为 $s=|s| \operatorname{sgn}\left(x-x_0\right)$ 称为弧 $s$
由此可知弧 $s$ 是 $x$ 的函数： $s=s(x)$ 且它是
单调增加的 (见图2-65)

![图片](/uploads/2022-12/image_202212281f2cd2d.png)

现在考虑 $\lim _{\Delta x \rightarrow \infty} \frac{\Delta s}{\Delta x} \quad \Delta s=\overparen{M_0 M^{\prime}}-\overparen{M_0 M}=\overparen{M M^{\prime}}$
由 $\left(\frac{\Delta s}{\Delta x}\right)^2=\left(\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\Delta x}\right)^2=\left(\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right)^2\left(\frac{\overline{M M^{\prime}}}{\Delta x}\right)^2=\left(\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right)^2 \cdot \frac{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2}=\left(\frac{M^{\prime}}{\overline{M M^{\prime}}}\right)^2\left[1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2\right]$
得 $\frac{\Delta s}{\Delta x}=\pm \sqrt{\left(\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right)^2\left[1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2\right]}=\pm\left|\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right| \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}$.
由于当 $\Delta x \to 0 \quad M^{\prime} \rightarrow M \quad \lim _{M^{\prime} \rightarrow M}\left|\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right|=1, \lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x^{\prime}}\right)^2=y^{\prime 2}$
注意到 $s=s(x)$ 单调增加 即 $y^{\prime} \geq 0$ ，因此 $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta x}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$

由此可得弧微分公式为

$$ 
\boxed{
\mathrm{d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x ...(1)
}
$$

### 参数方程与极坐标的弧微分
同理，可以推出，若曲线由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ ，给出，则有

$$ \boxed{\mathrm{d} s=\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t ...(2)} 
$$

若曲线方程为极坐标形式 $r=r(\theta)$ ，则有

$$ \boxed{\mathrm{d} s=\sqrt{r^2(\theta)+r^{\prime 2}(\theta)} \mathrm{d} \theta ...(3)}
$$

## 曲率
现在研究如何描述曲线弧的弯曲程度.
从几何直观上容易看出，直线不弯曲，抛物线在顶点处弯曲最厉害，当抛物线上的点越远离顶点，弯曲程度越低（见图2-66）圆上各点的弯曲程度是相同的（见图2-67）半径越小，弯曲越厉害.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212284e2ba78.png)

如图2-68所示，在曲线 $L$ 上点从 $M_1$ 移动到 $M_2$ 时，切线转过的角度（简称转 角) $\Delta \alpha$ 很小，但点从 $M_1$ 移动到 $M_2$ 时，切线转过的角度 (转角) $\Delta \alpha^{\prime}$ 很大. 但是单 用转角来衡量曲线的弯曲程度是不完全的. 如图2-69所示，当点从 $M$ 沿 $L_1$ 移动到 $M^{\prime}$ 时 (弧长为 $\Delta s$ ) 与点从 $N$ 沿 $L_1$ 移动到 $N^{\prime}$ 时 (弧长为 $\Delta s$ ) 它们有相同的转角，但 显 然 $\overparen{M M}$ '比 $\overparen{N N}$ 的弯曲程度要小. 从图中也可看出，弯曲程度既与转角有关 （成正比）也与经过的弧长 $\Delta \alpha$ 有关（成反比）.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228d261484.png)

**定义** 设曲线 $C: y=f(x)$ 是光滑的，在 $C$ 上任取 一点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ 作为度量弧长的基点. 设曲线 $C$ 上点 $M(x, y)$ 对应弧 $S$ ，点 $M$ 处曲线的切线倾斜角为 $\alpha$. 点 $M^{\prime}(x+\Delta x, y+\Delta y)$ 是 $C$ 上邻近 $M$ 的另一个点，对应 弧 $s+\Delta s$ ，点 $M^{\prime}$ 处曲线的倾斜角为 $\alpha+\Delta \alpha$ (见图2-70) 当动点由点 $M$ 沿 $C$ 移动到点 $M$ '时，切线转过的角度 为 $|\Delta \alpha|$ 比值 $\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|$ 称为弧段 $\overparen{M M^{\prime}}$ 的平均曲率，记作 $\bar{K}$ ， 即曲率的定义为单位弧段上切线转角的大小

$$
\bar{K}=\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right| ...(4),  
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228f33f4fc.png)
当 $M^{\prime} \rightarrow M$ 时， $\Delta s \rightarrow 0$ 将平均曲率取极限（若极限存在），称该极限值为曲线 $C$ 在点 $M$ 处的曲率, 记作 $K$.

$$
K=\lim _{M^{\prime} \rightarrow M} \bar{K}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|
$$

在 $\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \alpha}{\Delta s}=\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} s}$ 存在的条件下， $K$ 可以表示为

$$
K=\left|\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{ds}}\right|
$$

### 曲率计算公式
下面根据公式(4)推导曲率计算公式。
在公式（1）里已经推导出$dS$,下面推导$d \alpha$，怎么求$\alpha$, 这里用到斜率。斜率就是其切线在这一点与水平线夹角的正切值, $\tan \alpha =y'$  ,即 $\tan \alpha = \frac{dy}{dx}$,对其微分

$$
d \tan \alpha=\frac{d \tan \alpha}{d \alpha} d \alpha=\sec ^2 \alpha d \alpha=\left(1+\tan ^2 \alpha\right) d \alpha=\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right] d \alpha .
$$

这样一来就有: $d \alpha=\frac{ d \tan \alpha}{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2}=\frac{ d \frac{d y}{d x}}{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2} ...(5) $.

将(5)和(1)代数曲率计算公式(4)即可得到
#### 曲率公式
$$
\boxed{
k=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}
}
$$

>记忆技巧：先看顶上，一个儿子 (二阶导数) 把自己关在楼上房子 (绝对值看成房门) 里（理解成常年不出门在家啃老的阿宅)
在看底下，一家 (1+) 父母 (一阶导数) 两人 (平方)，干了一辈子活，只盖了一层半的房子（二分之三次方)。

#### 曲率半径
定义曲率半径为曲率的导数，即
$R=\frac{1}{k}(k \neq 0)$.

**典型例题**

`例` 求直线上各点的曲率.
解 直线上各点处切线的倾斜角 0 是常量， $\Delta \alpha=0$ 因此

$$
K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|=0
$$

这与我们直观认识到的 “直线没有弯曲" 一致.

`例` 求半径为 $R$ 的圆上任意一点处的曲率.
解 在圆周上任意两点 $M 、 M^{\prime}$ '处圆的切线所夹角 $\Delta \alpha$ 等于中心角 $M A M^{\prime}$ (见图2-71），且 $\angle M A M^{\prime}=\frac{\Delta s}{R}$ ，因此 $\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}=\frac{\frac{\Delta s}{R}}{\Delta s}=\frac{1}{R}$ ，即 $K=\frac{1}{R}$
这表明圆上各点处的曲率都等于半径 $R$ 的倒 数 $\frac{1}{R}$ 这与我们直观认识到的 “圆的弯曲程度处处 一样（且弯曲程度与半径成反比）"一致.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221228ce3d17f.png)

`例` 计算等边双曲线 $x y=1$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率.
解 由 $y=\frac{1}{x}$, 得

$$
y^{\prime}=-\frac{1}{x^2}, \quad y^{\prime \prime}=\frac{2}{x^3} .
$$

因此,

$$
\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=-1,\left.\quad y^{\prime \prime}\right|_{x=1}=2
$$

把它们代人公式 $(7-3)$, 便得曲线 $x y=1$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率为

$$
K=\frac{2}{\left[1+(-1)^2\right]^{3 / 2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
$$

`例`抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 上哪一点处的曲率最大?
解 由 $y=a x^2+b x+c$, 得

$$
y^{\prime}=2 a x+b, \quad y^{\prime \prime}=2 a
$$

代人公式 $(7-3)$ ，得

$$
K=\frac{|2 a|}{\left[1+(2 a x+b)^2\right]^{3 / 2}}
$$

### 曲率近似计算
因为 $K$ 的分子是常数 $|2 a|$, 所以只要分母最小, $K$ 就最大. 容易看出, 当 $2 a x+b=0$, 即 $x=-\frac{b}{2 a}$ 时, $K$ 的分母最小, 因而 $K$ 有最大值 $|2 a|$. 而 $x=-\frac{b}{2 a}$ 所对应的点为抛物线的顶点. 因此, 抛物线在顶点处的曲率最大.
在有些实际问题中, $\left|y^{\prime}\right|$ 同 1 比较起来是很小的(有的工程技术书上把这种关系记成 $\left|y^{\prime}\right|<1$ ), 可以忽略不计. 这时, 由

$$
1+y^{\prime 2} \approx 1
$$

而有曲率的近似

其他版本
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