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不定积分的性质

## 不定积分的性质
**性质1** (积分与求导的关系) 设函数 $f(x)$ 及 $f^{\prime}(x)$ 的原函数存在, 则
(1) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int f(x) \mathrm{d} x\right]=f(x)$;
(2) $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)+C$.
由此可见, 求导运算与不定积分的运算(简称积分运算, 以记号 $\int$ 表示)是“互逆”的.

**性质2** 设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 的原函数存在, 则

$$
\int[\alpha f(x)+\beta g(x)] \mathrm{d} x=\alpha \int f(x) \mathrm{d} x+\beta \int g(x) \mathrm{d} x,
$$

其中 $\alpha, \beta$ 为不全为零常数.
利用上述性质及基本积分公式表, 可以求出一些简单函数的不定积分.

`例` 求不定积分: (1) $\int\left(x^4+3^x+\frac{2}{x}+2 \sin x-3 \cos x\right) \mathrm{d} x$
解

$$
\begin{aligned}
& \int\left(x^4+3^x+\frac{2}{x}+2 \sin x-3 \cos x\right) \mathrm{d} x \\
= & \int x^4 \mathrm{~d} x+\int 3^x \mathrm{~d} x+2 \int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x+2 \int \sin x \mathrm{~d} x-3 \int \cos x \mathrm{~d} x \\
= & \frac{1}{5} x^5+\frac{1}{\ln 3} \cdot 3^x+2 \ln |x|-2 \cos x-3 \sin x+C
\end{aligned}
$$

注 上式中的五个不定积分常数合并为一个任意常数 $C$.

`例` 求不定积分:$\int(1+\sqrt{x})^4 \mathrm{~d}$;
因为 $(1+\sqrt{x})^2=1+2 \sqrt{x}+x$, 故

$$
\begin{aligned}
\int(1+\sqrt{x})^2 \mathrm{~d} x & =\int(1+2 \sqrt{x}+x) \mathrm{d} x \\
& =\int \mathrm{d} x+2 \int x^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} x+\int x \mathrm{~d} x \\
& =x+\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2} x^2+C .
\end{aligned}
$$

注 其中 $\int 1 \mathrm{~d} x=\int \mathrm{d} x$.

`例` 求不定积分: $\int \frac{(x-1)^3}{x^2} d x$;
先将 $(x-1)^3$ 展开, 然后利用公式.

$$
\begin{aligned}
\int \frac{(x-1)^3}{x^2} \mathrm{~d} x & =\int \frac{x^3-3 x^2+3 x-1}{x^2} \mathrm{~d} x=\int\left(x-3+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}\right) \mathrm{d} x \\
& =\frac{x^2}{2}-3 x+3 \ln |x|+\frac{1}{x}+C .
\end{aligned}
$$

`例` 求不定积分:
 $\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^4}} \mathrm{~d} x$;
解：
$$
\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-4 x^4}} \mathrm{~d} x=\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2} \sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x=\arcsin x+C .
$$

`例` 求不定积分:
 $\int \frac{1+x+x^2}{x\left(1+x^2\right)} \mathrm{d} x$;
将分子重新组合后, 分解被积表达式.

$$
\begin{aligned}
\int \frac{1+x+x^2}{x\left(1+x^2\right)} \mathrm{d} x & =\int \frac{x+\left(1+x^2\right)}{x\left(1+x^2\right)} \mathrm{d} x=\int\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x \\
& =\arctan x+\ln |x|+C .
\end{aligned}
$$

`例` 求不定积分: $\int \frac{x^4}{1+x^2} \mathrm{~d} x$;
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式

$$
\begin{aligned}
\int \frac{x^4}{1+x^2} \mathrm{~d} x & =\int \frac{x^4-1+1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\int \frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)+1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\int\left(x^2-1+\frac{1}{1+x^2}\right) \mathrm{d} x \\
& =\frac{x^3}{3}-x+\arctan x+C .
\end{aligned}
$$

`例` 求不定积分:
 $\int 2^x e^x d x$;

$$
\int 2^x \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\int(2 \mathrm{e})^x \mathrm{~d} x=\frac{(2 \mathrm{e})^x}{\ln (2 \mathrm{e})}+C=\frac{2^x \mathrm{e}^x}{1+\ln 2}+C
$$

`例` 求不定积分:
$\int \frac{2^x-3^x}{5^x} \mathrm{~d} x$;

$$
\text { (8) } \begin{aligned}
\int \frac{2^x-3^x}{5^x} \mathrm{~d} x & =\int\left(\left(\frac{2}{5}\right)^x-\left(\frac{3}{5}\right)^x\right) \mathrm{d} x \\
& =\frac{1}{\ln 2-\ln 5}\left(\frac{2}{5}\right)^x-\frac{1}{\ln 3-\ln 5}\left(\frac{3}{5}\right)^x+C .
\end{aligned}
$$

`例` 求不定积分:
 $\int \tan ^2 x d x$
利用三角函数关系式 $\sec ^2 x=\tan ^2 x+1$.

$$
\int \tan ^2 x \mathrm{~d} x=\int\left(\sec ^2 x-1\right) \mathbf{d} x=\tan x-x+C .
$$

`例`求不定积分: $\int \sin ^2 \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$;
利用半角公式 $\sin ^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$.

$$
\int \sin ^2 \frac{x}{2} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{2}(1-\cos x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}(x+\sin x)+C .
$$

`例`求不定积分:  $\int \frac{1}{\sin ^2 \frac{x}{2} \cos ^2 \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x$;
利用正弦函数的二倍角公式 $\sin 2 x=2 \sin x \cos x$.

$$
\int \frac{1}{\sin ^2 \frac{x}{2} \cos ^2 \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x=\int \frac{4}{\sin ^2 x} \mathrm{~d} x=4 \int \csc ^2 x \mathrm{~d} x=-4 \cot x+C
$$

`例` 求不定积分:
$\int \frac{\cos 2 x}{\cos ^2 x \sin ^2 x} d x$
利用余弦函数的二倍角公式 $\cos 2 x=\cos ^2 x-\sin ^2 x$.

$$
\begin{aligned}
\int \frac{\cos 2 x}{\cos ^2 x \sin ^2 x} \mathrm{~d} x & =\int \frac{\cos ^2 x-\sin ^2 x}{\cos ^2 x \sin ^2 x} \mathrm{~d} x=\int\left(\csc ^2 x-\sec ^2 x\right) \mathrm{d} x \\
& =-\cot x-\tan x+C .
\end{aligned}
$$

`例` 已知 $F^{\prime}(x)=\frac{1+x}{1+\sqrt[3]{x}}, F(0)=1$. 求满足条件的函数 $F(x)$.
解 由立方和公式可知, $1+x=1+(\sqrt[3]{x})^3=(1+\sqrt[3]{x})\left(1-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}\right)$. 根据题设条件, 有

$$
\begin{aligned}
F(x)=\int F^{\prime}(x) \mathrm{d} x & =\int \frac{1+x}{1+\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x=\int\left(1-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}\right) \mathrm{d} x \\
& =\int 1 \mathrm{~d} x-\int \sqrt[3]{x} \mathrm{~d} x+\int \sqrt[3]{x^2} \mathrm{~d} x=x-\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}+\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}+C .
\end{aligned}
$$

又 $F(0)=1$, 得 $C=1$. 所以

$$
F(x)=x-\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}+\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}+1

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