不定积分的性质

不定积分的性质

性质1 (积分与求导的关系) 设函数 $f(x)$ 及 $f^{\prime }(x)$ 的原函数存在, 则
(1) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\int f(x)\mathrm{d}x]=f(x)$;
(2) $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$.
由此可见, 求导运算与不定积分的运算(简称积分运算, 以记号 $\int$ 表示)是“互逆”的.

性质2 设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 的原函数存在, 则

其中 $\alpha ,\beta$ 为不全为零常数.
利用上述性质及基本积分公式表, 可以求出一些简单函数的不定积分.

例1 求不定积分: (1) $\int (x^4+3^x+\frac{2}{x}+2\sin x-3\cos x)\mathrm{d}x$
解

注 上式中的五个不定积分常数合并为一个任意常数 $C$.

例2 求不定积分:$\int (1+\sqrt{x}{)}^4\mathrm{d}$;
因为 $(1+\sqrt{x}{)}^2=1+2\sqrt{x}+x$, 故

注 其中 $\int 1\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}x$.

例3 求不定积分: $\int \frac{(x-1{)}^3}{x^2}dx$;
先将 $(x-1{)}^3$ 展开, 然后利用公式.

例4 求不定积分:
$\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^4}}\mathrm{d}x$;
解：

例5 求不定积分:
$\int \frac{1+x+x^2}{x(1+x^2)}\mathrm{d}x$;
将分子重新组合后, 分解被积表达式.

例6 求不定积分: $\int \frac{x^4}{1+x^2}\mathrm{d}x$;
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式

例7 求不定积分:
$\int 2^x{e}^{x}dx$;

例8 求不定积分:
$\int \frac{2^x-3^x}{5^x}\mathrm{d}x$;

例9 求不定积分:
$\int {\tan }^{2}xdx$
利用三角函数关系式 ${\sec }^{2}x={\tan }^{2}x+1$.

例10求不定积分: $\int {\sin }^2\frac{x}{2}\mathrm{d}x$;
利用半角公式 ${\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$.

例11求不定积分: $\int \frac{1}{{\sin }^2\frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}}\mathrm{d}x$;
利用正弦函数的二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

例12 求不定积分:
$\int \frac{\cos 2x}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}dx$
利用余弦函数的二倍角公式 $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$.

例13 已知 $F^{\prime }(x)=\frac{1+x}{1+\sqrt[3]{x}},F(0)=1$. 求满足条件的函数 $F(x)$.
解 由立方和公式可知, $1+x=1+(\sqrt[3]{x}{)}^3=(1+\sqrt[3]{x})(1-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2})$. 根据题设条件, 有

又 $F(0)=1$, 得 $C=1$. 所以