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高斯公式
日期:
2023-01-01 17:29
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格林公式表达出平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的 关系,而高斯公式表达出空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分的关 系. 1、高斯公式及其应用 定理 3 设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的曲面 $\Sigma$ 围成,函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z)$ 、 $R(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数,则 $$ \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v=\int_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} S $$ 其中 $\Sigma$ 取外侧, $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 为 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的法向量 $n$ 的方向余弦. 证 如图 7-96,设 $\Sigma_1: z=z_1(x, y) ,(x, y) \in D_{x y}$ ,取下侧; 设 $\Sigma_2: z=z_2(x, y)$ $(x, y) \in D_{x y}$ , 取上侧, $\Sigma_3$ : 以 $D_{x y}$ 的边界曲线为准线而母线平行于 $z$ 轴的柱面的 一部分,取外侧. 一方面,由三重积分计算法,有 $$ \begin{aligned} & \iiint_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} v=\iint_{D_{y y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} z \\ & =\iiint_{D_{x y}}\left[R\left(x, y, z_2(x, y)\right)-R\left(x, y, z_1(x, y)\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \end{aligned} $$  另一方面,由第二类曲面积分公式,有 $\iint_{\Sigma} R \mathrm{dxd} y=\left(\iint_{\Sigma_1}+\iint_{\Sigma_2}+\iint_{\Sigma_3}\right) R \mathrm{dxdy}$ $$ \begin{aligned} & =-\iint_{D_{y y}} R\left(x, y, z_1(x, y)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{N y}} R\left(x, y, z_2(x, y)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+0 \\ & \left.=\iint_{D_{w y}} R\left(x, y, z_2(x, y)\right)-R\left(x, y, z_1(x, y)\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \end{aligned} $$ 故得到 $\iint_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ;同理可得, $\iiint_{\Omega} \frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x , \iiint_{\Omega} \frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ , 因此 $\quad \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$. 在上面的证明中,我们有这样的条件假设,即穿过 $\Omega$ 内部且平行于坐标轴 的直线与 $\Omega$ 的边界曲面 $\Sigma$ 的交点恰好是两点,如果 $\Omega$ 不满足这样的条件,则可引 进若干个辅助曲面,将 $\Omega$ 分成有限个区域,使得每个区域满足这样的条件,并 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时其 和为零,就不难证明上述高斯公式仍然正确. 例 10 计算曲面积分 $$ I=\iint_{\Sigma}(x-y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-x z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y , $$ 其中 $\Sigma$ 是由三个坐标面及平行于坐标面的平面 $x=a 、 y=a 、 z=a(a>0)$ 所围成 的正方体的外表面. 解 令 $P(x, y, z)=(x-y z), Q(x, y, z)=(y-x z), R(x, y, z)=(z-x y)$, 则 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=3$ ,由高斯公式,得 $$ I=\iiint_{\Omega}^{-} 3 \mathrm{~d} v=3 \iiint_{\Omega}^{-} \mathrm{d} v=3 a^3 . $$ 例 11 计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$, 其中 $\Sigma$ 为柱面 $x^2+y^2=1$ 及 平面 $z=0, z=3$ 所围成的空间闭区域 $\Omega$ 的整个边界曲面的外侧 (见图 7-97). 解 $P=(y-z) x, Q=0, R=x-y, \frac{\partial P}{\partial x}=y-z, \frac{\partial Q}{\partial y}=0, \frac{\partial R}{\partial z}=0$, 利用高斯公式,得 $$ \begin{aligned} & \iint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\ & =\iiint_{\Omega}(y-z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega}(r \sin \theta-z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{d} z \\ & =\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1 \mathrm{~d} r \int_0^3(r \sin \theta-z) r \mathrm{~d} z=-\frac{9 \pi}{2} . \end{aligned} $$  例 12 求 $\iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ,其中 $\Sigma: z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ , 取上侧. 解 取 $\Sigma_1: z=0\left(x^2+y^2 \leq a^2\right)$ 的下侧, $\Sigma$ 及 $\Sigma_1$ 所围区域为 $\Omega , \Omega$ 在 $x O y$ 面 上的投影区域为 $D: x^2+y^2 \leq a^2$ , $$ \begin{aligned} & \iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ &= \iint_{\Sigma+\Sigma_1}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y- \\ & \iint_{\Sigma_1}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ &=\left.\iiint_{\Omega} 2(x-z) \overline{\mathrm{d} v-(-)} \bar{\int} \int_D(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)=-2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{zd} v+\iint_D \overline{\mathrm{d}} \overline{\mathrm{d}} \mathrm{d} \mathrm{d} y \end{aligned} $$ 例 12 求 $\iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ,其中 $\Sigma: z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ , 取上侧. 解 取 $\Sigma_1: z=0\left(x^2+y^2 \leq a^2\right)$ 的下侧, $\Sigma$ 及 $\Sigma_1$ 所围区域为 $\Omega , \Omega$ 在 $x O y$ 面 上的投影区域为 $D: x^2+y^2 \leq a^2$ , $$ \begin{gathered} \iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v+\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\ =-2 \int_0^a z \mathrm{~d} z \iint_{D=} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\pi a^2=-2 \int_0^a \pi\left(a^2-z^2\right) z \mathrm{~d} z+\pi a^2=-\frac{\pi}{2} a^4+\pi a^2=\frac{\pi a^2}{2}\left(2-a^2\right) . \end{gathered} $$ 例 13 计算 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ , 其中 $\Sigma: z=\sqrt{x^2+y^2}$ $(0 \leq z \leq h)$ 取下侧, $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 为 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的法向量 $n$ 的方向余弦 解 引入平面 $\Sigma_1: z=h\left(x^2+y^2 \leq h^2\right)$ ,取上侧. $$ \begin{aligned} I & =\iint_{\Sigma}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S \\ & =\iint_{\Sigma+\Sigma_1}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S-\iint_{\Sigma_1}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S \\ & =2 \iiint_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} v-\iint_{D_w} h^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v-h^2 \cdot \pi h^2 \\ & =2 \int_0^h z \pi z^2 \mathrm{~d} z-\pi h^4=\frac{\pi h^4}{2}-\pi h^4=-\frac{\pi h^4}{2} . \end{aligned} $$
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