高斯公式

日期: 2023-01-01 17:29 查看: 73 次

格林公式表达出平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的 关系，而高斯公式表达出空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分的关 系.
1、高斯公式及其应用
定理 3 设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的曲面 $\Sigma$ 围成，函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z)$ 、 $R(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则

$$
\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v=\int_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} S
$$

其中 $\Sigma$ 取外侧， $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 为 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的法向量 $n$ 的方向余弦.

证 如图 7-96，设 $\Sigma_1: z=z_1(x, y) ，(x, y) \in D_{x y}$ ，取下侧; 设 $\Sigma_2: z=z_2(x, y)$ $(x, y) \in D_{x y}$ ， 取上侧， $\Sigma_3$ : 以 $D_{x y}$ 的边界曲线为准线而母线平行于 $z$ 轴的柱面的 一部分，取外侧.
一方面，由三重积分计算法，有

$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} v=\iint_{D_{y y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} z \\
& =\iiint_{D_{x y}}\left[R\left(x, y, z_2(x, y)\right)-R\left(x, y, z_1(x, y)\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
\end{aligned}
$$

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另一方面，由第二类曲面积分公式，有 $\iint_{\Sigma} R \mathrm{dxd} y=\left(\iint_{\Sigma_1}+\iint_{\Sigma_2}+\iint_{\Sigma_3}\right) R \mathrm{dxdy}$

$$
\begin{aligned}
& =-\iint_{D_{y y}} R\left(x, y, z_1(x, y)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{N y}} R\left(x, y, z_2(x, y)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+0 \\
& \left.=\iint_{D_{w y}} R\left(x, y, z_2(x, y)\right)-R\left(x, y, z_1(x, y)\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
\end{aligned}
$$

故得到 $\iint_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ；同理可得， $\iiint_{\Omega} \frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x ， \iiint_{\Omega} \frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ， 因此 $\quad \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
在上面的证明中，我们有这样的条件假设，即穿过 $\Omega$ 内部且平行于坐标轴 的直线与 $\Omega$ 的边界曲面 $\Sigma$ 的交点恰好是两点，如果 $\Omega$ 不满足这样的条件，则可引 进若干个辅助曲面，将 $\Omega$ 分成有限个区域，使得每个区域满足这样的条件，并 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反，相加时其 和为零，就不难证明上述高斯公式仍然正确.
例 10 计算曲面积分

$$
I=\iint_{\Sigma}(x-y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-x z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y ，
$$

其中 $\Sigma$ 是由三个坐标面及平行于坐标面的平面 $x=a 、 y=a 、 z=a(a>0)$ 所围成 的正方体的外表面.
解 令 $P(x, y, z)=(x-y z), Q(x, y, z)=(y-x z), R(x, y, z)=(z-x y)$,
则 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=3$ ，由高斯公式，得

$$
I=\iiint_{\Omega}^{-} 3 \mathrm{~d} v=3 \iiint_{\Omega}^{-} \mathrm{d} v=3 a^3 .
$$

例 11 计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$, 其中 $\Sigma$ 为柱面 $x^2+y^2=1$ 及 平面 $z=0, z=3$ 所围成的空间闭区域 $\Omega$ 的整个边界曲面的外侧 (见图 7-97).
解 $P=(y-z) x, Q=0, R=x-y, \frac{\partial P}{\partial x}=y-z, \frac{\partial Q}{\partial y}=0, \frac{\partial R}{\partial z}=0$,
利用高斯公式，得

$$
\begin{aligned}
& \iint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\iiint_{\Omega}(y-z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega}(r \sin \theta-z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{d} z \\
& =\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1 \mathrm{~d} r \int_0^3(r \sin \theta-z) r \mathrm{~d} z=-\frac{9 \pi}{2} .
\end{aligned}
$$

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例 12 求 $\iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma: z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ ， 取上侧.
解 取 $\Sigma_1: z=0\left(x^2+y^2 \leq a^2\right)$ 的下侧， $\Sigma$ 及 $\Sigma_1$ 所围区域为 $\Omega ， \Omega$ 在 $x O y$ 面 上的投影区域为 $D: x^2+y^2 \leq a^2$ ，

$$
\begin{aligned}
& \iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
&= \iint_{\Sigma+\Sigma_1}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y- \\
& \iint_{\Sigma_1}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
&=\left.\iiint_{\Omega} 2(x-z) \overline{\mathrm{d} v-(-)} \bar{\int} \int_D(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)=-2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{zd} v+\iint_D \overline{\mathrm{d}} \overline{\mathrm{d}} \mathrm{d} \mathrm{d} y
\end{aligned}
$$

$$
\begin{gathered}
\iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v+\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
=-2 \int_0^a z \mathrm{~d} z \iint_{D=} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\pi a^2=-2 \int_0^a \pi\left(a^2-z^2\right) z \mathrm{~d} z+\pi a^2=-\frac{\pi}{2} a^4+\pi a^2=\frac{\pi a^2}{2}\left(2-a^2\right) .
\end{gathered}
$$

例 13 计算 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ， 其中 $\Sigma: z=\sqrt{x^2+y^2}$ $(0 \leq z \leq h)$ 取下侧， $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 为 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的法向量 $n$ 的方向余弦 解 引入平面 $\Sigma_1: z=h\left(x^2+y^2 \leq h^2\right)$ ，取上侧.

$$
\begin{aligned}
I & =\iint_{\Sigma}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S \\
& =\iint_{\Sigma+\Sigma_1}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S-\iint_{\Sigma_1}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S \\
& =2 \iiint_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} v-\iint_{D_w} h^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v-h^2 \cdot \pi h^2 \\
& =2 \int_0^h z \pi z^2 \mathrm{~d} z-\pi h^4=\frac{\pi h^4}{2}-\pi h^4=-\frac{\pi h^4}{2} .
\end{aligned}

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