最后更新: 2025-03-31 08:56 查看: 832 次反馈同步训练

分部积分法

## 分部积分法
分部积分法是针对解决某些被积函数是两类不同函数乘积的不定积分, 它 是由两个函数的乘积的微分运算法则推得的一种求积分的基本方法.
若 $u=u(x), v=v(x)$ 具有连续导数, 则 $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$, 即 $u v^{\prime}=(u v)^{\prime}-u^{\prime} v$. 两 边积分, 得 $\int u v^{\prime} \mathrm{d} x=\int(u v)^{\prime} \mathrm{d} x-\int u^{\prime} v \mathrm{~d} x$, 即 $\int u v^{\prime} \mathrm{d} x=u v-\int u^{\prime} v \mathrm{~d} x$. 也可写作

$$
\int u \mathrm{~d} v=u v-\int v \mathrm{~d} u
$$

## 解题技巧
$\int u d v=u v-\int v d u$ ——分部积分公式，它适用于两类不同函数相乘的情况．
关键是选择 $u, d v$ 。首先考虑积分容易者，选作 $d v$ ；求导简单者，选作 $u(x)$ ：一般按照＂反，对，幂，指，三＂，即反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数的顺序考虑 $u(x)$ ．

1． $\int P_n(x): e ^{k x} d x, \int P_n(x) \cdot \cos a x d x, \int P_n(x) \cdot \sin a x d x$ ，其中 $P_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式．
选择： $d v= e ^{k x} d x, \cos a x d x, \sin a x d x, u(x)=P_n(x)$ ．

`例` 求下列积分  $\int x \cos x \mathrm{~d} x$;
解 本题没有基本积分公式可以直接套用, 两类换元法也无能为力. 本题特 点是被积函数为幂函数和三角函数这两类函数的乘积, 可用分部积分法求解.
取 $u=x, \mathrm{~d} v=\cos x \mathrm{~d} x$ ．

$$
\int x \cos x \mathrm{~d} x=\int x \mathrm{~d} \sin x=x \sin x-\int \sin x \mathrm{~d} x=x \sin x+\cos x+C \text {. }
$$

注 分部积分法的关键是正确选择 $u$ 和 $\mathrm{d} v$, 并最终使积分 $\int v \mathrm{~d} u$ 能够求得. 本 例若改变 $u$ 和 $\mathrm{d} v$ 的选择,设 $u=\cos x$, 而 $\mathrm{d} v=x \mathrm{~d} x=\mathrm{d}\left(\frac{x^2}{2}\right)$, 则

$$
\int x \cos x \mathrm{~d} x=\int \cos x \mathrm{~d}\left(\frac{1}{2} x^2\right)=\frac{1}{2} x^2 \cos x-\int \frac{1}{2} x^2(-\sin x) \mathrm{d} x,
$$

等式右端的积分结果反而比原积分更复杂.

`例` 求下列积分 $\int x^2 e^x d x$
取 $u=x^2, \mathrm{~d} v=\mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$.

$$
\begin{aligned}
\int x^2 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\int x^2 \mathrm{de}^x & =x^2 \mathrm{e}^x-\int \mathrm{e}^x \cdot 2 x \mathrm{~d} x=x^2 \mathrm{e}^2-2 \int x \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x \\
& \left.=x^2 \mathrm{e}^2-2 \int x \mathrm{de}^x \text { (再一次分部积分,取 } u=x, \mathrm{~d} v=\mathrm{e}^x \mathrm{~d} x\right) \\
& =x^2 \mathrm{e}^x-2\left(x \mathrm{e}^x-\int \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x\right) \\
& =x^2 \mathrm{e}^x-2 x \mathrm{e}^x+2 \mathrm{e}^x+C .
\end{aligned}
$$

注 从此例可知, 通常总是把三角函数和指数函数选作 $u$, 幂函数选作 $v^{\prime}$. 如果 需要,可以多次使用分部积分法.

`例` 求 (1) $\int \ln x \mathrm{~d} x$;
解 取 $u=\ln x, \mathrm{~d} v=\mathrm{d} x$,

$$
\int \ln x \mathrm{~d} x=x \ln x-\int x \mathrm{~d} \ln x=x \ln x-\int x \cdot \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=x \ln x-x+C .
$$

`例` 求 (2) $\int x^3 \ln x \mathrm{~d} x$.
解 取 $u=\ln x, \mathrm{~d} v=x^3 \mathrm{~d} x$ ，

$$
\begin{aligned}
\int x^3 \ln x \mathrm{~d} x & =\frac{1}{4} \int \ln x \mathrm{~d}\left(x^4\right)=\frac{1}{4}\left(x^4 \ln x-\int x^4 \cdot \frac{1}{x} \mathrm{~d} x\right) \\
& =\frac{1}{4} x^4 \ln x-\frac{1}{4} \int x^3 \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{4} x^4 \ln x-\frac{1}{16} x^4+C .
\end{aligned}
$$

`例` 求 $\int \arcsin x \mathrm{~d} x$;
解 取 $u=\arcsin x, \mathrm{~d} v=\mathrm{d} x$,

$$
\begin{aligned}
\int \arcsin x \mathrm{~d} x & =x \arcsin x-\int x \mathrm{~d}(\arcsin x) \\
& =x \arcsin x-\int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x \\
& =x \arcsin x+\int \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d}\left(1-x^2\right) \\
& =x \arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C .
\end{aligned}
$$

`例` 求  $\int x \arctan x \mathrm{~d} x$.
取 $u=\arctan$

$$
\begin{aligned}
& x, \mathrm{~d} v=x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \mathrm{~d}\left(x^2+1\right), \\
& \int x \arctan x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int \arctan x \mathrm{~d}\left(x^2+1\right) \\
&=\frac{1}{2}\left(x^2+1\right) \arctan x-\frac{1}{2} \int\left(x^2+1\right) \mathrm{d}(\arctan x) \\
&=\frac{1}{2}\left(x^2+1\right) \arctan

其他版本
【数学分析】分部积分法

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：第二类换元积分法

下一篇：有理函数的不定积分

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)