斯托克斯公式、环流量与旋度

日期: 2023-01-01 17:32 查看: 74 次

格林公式给出了平面区域上的二重积分与其边界闭曲线上的曲线积分之间 的关系. 高斯公式 (类似地) 表达了空间区域上的三重积分与其边界闭曲面上的曲 面积分之间的关系.
而斯托克斯公式是格林公式的推广：平面区域推广到空间曲面（块）上， 平面上的边界闭曲线相应地推广到空间闭曲线. 即斯托克斯公式给出了空间曲面 上的曲面积分与沿着边界曲线所得到的空间闭曲线上的曲线积分之间的关系.
由于闭曲线有方向问题, 曲面又有侧的问题, 因此在讨论斯托克斯公式以前， 先对曲面 $\Sigma$ 及其边界曲线 $\Gamma$ 的方向作如下规定： $\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手系 即四指方向指向 $\Gamma$ 的方向，则母指的方向代表曲面的法线方向. 法向确定了，则 曲面的侧也确定了.
定理 4 设 $\Gamma$ 是分段光滑的空间有向闭曲线， $\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑的 有向曲面， $\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手规则，函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在包含 $\Sigma$ 在内的一个空间闭区域 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则

$$
\iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial x}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\prod_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z .
$$

或记为 $\int\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d} y \mathrm{~d} z & \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x & \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{array}\right|=\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{array}\right| \mathrm{d} S=\underset{\Gamma}{ } P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$.
定理证明从略.
例 15 计算曲线积分 $\prod_{\Gamma} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma:\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，若从 $O z$ 轴 的正向朝下看去，取逆时针方向.
解 由斯托克斯公式，有

$$
\begin{aligned}
\underset{\Gamma}{f_{\Gamma}} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z & =\iint_{\Sigma}(1-0) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(1-0) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-0) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iint_{\Sigma} \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y ，
\end{aligned}
$$

由 $\Sigma: x+y+z=0 ， n=(1,1,1) ， \cos \alpha=\cos \beta=\cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ，
则 $\int_{\Gamma} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z=3 \iint_{\Sigma} \frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{~d} S=\sqrt{3} \pi \cdot 1^2=\sqrt{3} \pi$.
例 $16 I=\oint_L(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $L:\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ ，从 $z$ 轴 正向望下看， $L$ 为顺时针方向.
解法一 取 $\Sigma$ 为平面 $x-y+z=2$ 上 $x^2+y^2 \leq 1$ 部分的下侧， $\Sigma$ 在 $x O y$ 面上的 投影区域为 $D: x^2+y^2 \leq 1$ ，

$$
\begin{aligned}
I & =\int_L(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z \\
& =\int_L\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{d} y \mathrm{~d} z & \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x & \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
z-y & x-z & x-y
\end{array}\right|=\iint_{\Sigma}^2 2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-2 \iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-2 \pi
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 解法二 取 } L:\left\{\begin{array}{c}
x=\cos \theta \\
y=\sin \theta \\
z=2-\cos \theta+\sin \theta
\end{array} ， \theta: 2 \pi \rightarrow 0\right. \text { ， } \\
& I=\oint_L(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z \\
& =-\int_{2 \pi}^0[2(\sin \theta+\cos \theta)-2 \cos 2 \theta-1] \mathrm{d} \theta=-2 \pi \text {. } \\
&
\end{aligned}
$$

设有向量场

$$
\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) \boldsymbol{i}+Q(x, y, z) \boldsymbol{j}+R(x, y, z) \boldsymbol{k},
$$

其中 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 具有一阶连续偏导数，则向量

$$
\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \boldsymbol{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \boldsymbol{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial x}\right) \boldsymbol{k}
$$

就称为向量场 $A$ 的旋度，记作 $\operatorname{rot} A$ ，即

$$
\operatorname{rot} \boldsymbol{A}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \boldsymbol{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \boldsymbol{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial x}\right) \boldsymbol{k}
$$

若 $\Gamma$ 是 $A$ 的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线， $\tau$ 是 $\Gamma$ 在点 $(x, y, z)$ 处 的单位切向量，则曲线积分

$$
\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_{\Gamma} \boldsymbol{A}_\tau \mathrm{d} s
$$

就称为向量场 $A$ 沿有向闭曲线 $\Gamma$ 的环流量.
例 17 求矢量场 $\boldsymbol{A}=x^2 \boldsymbol{i}-2 x \boldsymbol{j}+z^2 \boldsymbol{k}$ 在点 $M_0(1,1,2)$ 处的散度及旋度.
解 $\operatorname{div} \boldsymbol{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}=2 x+(-2 x)+2 z=2 z$. 故 $\left.\operatorname{div} \boldsymbol{A}\right|_{M_0}=4$.

$$
\begin{aligned}
\operatorname{rot} \boldsymbol{A} & =\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_x}{\partial z}\right) \boldsymbol{i}+\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right) \boldsymbol{j}+\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right) \boldsymbol{k} \\
& =(0-0) \boldsymbol{i}+(0-0) \boldsymbol{j}+(-2 y-0) \boldsymbol{k} \\
& =-2 y \boldsymbol{k} .
\end{aligned}
$$

故 $\left.\operatorname{rot} \boldsymbol{A}\right|_{M_0}=-2 \boldsymbol{k}$.
例 18 求向量场 $\boldsymbol{A}=(-y, x, c)$ ，其中c为常数，沿圆周 $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2=R^2 \\ z=0\end{array}\right.$ 的环流 量.
解 环流量 $\int_{\Gamma} A_\tau \mathrm{d} s=\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_{\Gamma}-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+c \mathrm{~d} z$
若取 $\Gamma: ~ x=R \cos \theta ， y=R \sin \theta ， z=0(0 \leq \theta \leq 2 \pi)$ ，则

$$
\int_{\mathrm{T}} A_\tau \mathrm{d} s=\int_0^{2 \pi}\left(R^2 \sin ^2 \theta+R^2 \cos ^2 \theta+c \cdot 0\right) \mathrm{d} \theta=2 \pi R^2 ，
$$

或取 $\Sigma ： z=0\left(x^2+y^2 \leq R^2\right)$ ，利用斯托克斯公式，有

$$
\int_{\Gamma} A_\tau \mathrm{d} s=\iint_{\Sigma}-\mathrm{d} y \mathrm{~d} z+0 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{\Sigma} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \pi R^2 .

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