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定积分的概念

## 定积分的概念
本章要介绍的定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题. 古希腊的阿基米德用“穷竭法”, 我国的刘徽用“割圆术”, 都曾计算过一 些几何体的面积和体积, 这些均为定积分的雏形. 直到 17 世纪中叶, 牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念, 并发现了积分与微分之间的内在联系, 给出了计算定积分的一般方法, 从而使定积分成为解决 有关实际问题的有力工具, 并使各自独立的微分学与积分学联系在一 起, 构成完整的理论体系一微积分学.

### 引入1：曲边梯形的面积
从中学的数学课本中，我们已学会计算一些直线形的面积或圆的面积．但是我们没有一个一般的方法来计算一条任意曲线所围图形的面积．现在定积分就给我们提供了计算面积的一个普遍的方法。

假定连续函数 $y=f(x)$ 定义在区间 $[a, b]$ 上，且其图形在 $x$ 轴之上方 （见图）。那么，$y=f(x)$ 的图形与直线 $x=a, x=b$ 及 $x$ 轴围成一个曲边梯形。如果我们能计算这种曲边梯形的面积，则我们就能计算相当一般的曲线所围图形的面积，只要它能分割为若干个曲边梯形的并即可．

![图片](/uploads/2025-07/f91b33.jpg){width=400px}

在考虑这个曲边梯形的面积问题时，我们采取下面的＂迂回策略＂：先求近似值，然后再通过取极限以达到精确值．

我们在 $[a, b]$ 上插入一串分点 $\left\{x_1 \mid 0 \leqslant i \leqslant n\right\}$ ：

$$
a=x_0<x_1<x_2<\cdots x_{n-1}<x_n=b .
$$

对应于每个小区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right](i=1, \cdots, n)$ ，函数图形相应地形成一个小的曲边梯形。而这些小曲边梯形的面积 $S_t$ 有近似值：

$$
S_t \approx f\left(\xi_t\right) \Delta x_t=f\left(\xi_t\right)\left(x_t-x_{t-1}\right),
$$

其中 $\xi_t$是$\left[x_{t-1}, x_t\right]$ 中的任意一点（见上图）．这样，可得整个曲边梯形之面积 $S$ 的近似值

$$
S=\sum_{t=1}^n S_t \approx \sum_{t=1}^n f\left(\xi_t\right) \Delta x_t \quad\left(\Delta x_t=x_t-x_{t-1}\right) .
$$

从直观上看，当我们的分点越加密时，这个近似值就越接近于真正面积的值．因此，自然会把它的极限值作为曲边梯形面积的值，也即

$$
S=\lim _{\max \left\langle\Delta x_i\right\rangle \rightarrow 0} \sum_{t=1}^n f\left(\xi_t\right) \Delta x_t,
$$

### 引入2：变力做功
设质量为 $m$ 的物体沿直线运动．假定它所受的力可以表示为它到初始
点的距离 $s$ 的函数 $f(s)$ ．我们要求物体自 $s=a$ 到 $s=b$ 外力所做的功 $W$ ．
同样地，在区间 $[a, b]$ 内插入一串分点：

$$
a=s_0<s_1<s_2<\cdots<s_{n-1}<s_n=b
$$

从 $s_{t-1}$ 到 $s_t$ 所做的功近似等于

$$
f\left(\xi_1\right) \Delta s_2=f\left(\xi_1\right)\left(s_t-s_{t-1}\right),
$$

其中 $\xi_{\imath} \in\left[s_{t-1}, s_t\right]$ 。当分点增加使分割变细时，近似值

$$
\sum_{t=1}^n f\left(\xi_t\right) \Delta s_t \quad\left(\Delta s_t=s_t-s_{t-1}\right)
$$

将越来越接近我们所求的值。于是问题再一次归结为求下列形式的极限

$$
W=\lim _{\max \left\{\Delta s_i\right\} \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta s_i
$$

此外，再比如已知运动物体的速度求路程，已知物体（长杆）的密度求其总质量等等，都可以通过这种分割、近似代替、求和、取极限的步骤，将问题化成求一个已知函数的上述形式的极限．这个极限就是函数的定积分．

## 曲边梯形计算面积实例
现在我们来计算由曲线 $y=x^2, x$ 轴和直线 $x=1$ 所围平面图形的面积(见图 3-2), 这样的图形称为曲边梯形.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230b482609.png)

将区间 $[0,1]$ 作 $n$ 等分, 分点分别为 $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}$, 过这些分点作平行于 $y$ 轴的 直线, 把平面图形分割成 $n$ 个小窄条, 每个小窄条都是小的曲边梯形, 但是我们 仍无法用初等数学的方法求得它们的面积. 现在分别以 $y=x^2$ 分点上的值

$$
0,\left(\frac{1}{n}\right)^2,\left(\frac{2}{n}\right)^2, \cdots,\left(\frac{2}{n}\right)^2, \cdots,\left(\frac{n-1}{n}\right)^2
$$

为高, 以 $\frac{1}{n}$ 为底作 $n$ 个小矩形, 则可用每个小矩形的面积近似替代作为对应的小凸边梯形的面积
$\Delta A_i(i=1,2,3, \cdots, n)$ (见图 3-3), 即

$$
\Delta A_1 \approx \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{1}{n}\right)^2, \Delta A_2 \approx \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{2}{n}\right)^2, \ldots, \Delta A_i \approx \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{i}{n}\right)^2, \ldots, \Delta A_n \approx \frac{1}{n} \cdot 1^2 .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230e35f31f.png)

于是, 整个曲边梯形的面积 $A$ 的近似值为

$$
\begin{aligned}
A & =\Delta A_1+\Delta A_2+\cdots+\Delta A_i+\cdots+\Delta A_n \\
& \approx \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{1}{n} \cdot\left(\frac{2}{n}\right)^2+\cdots+\frac{1}{n} \cdot\left(\frac{i}{n}\right)^2+\cdots+\frac{1}{n} \cdot 1^2 \\
& =\frac{1}{n^3} \cdot \sum_{i=1}^n i^2=\frac{1}{n^3} \cdot \frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) .
\end{aligned}
$$

当这些分点无限增加, 即 $n \rightarrow \infty$ 时, 这个近似值的极限就是曲边梯形面积的 精确值

$$
\begin{aligned}
A & =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} .
\end{aligned}
$$

这样我们就得到曲线围成面积的精确值。

### 总结
一般地, 设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上非负且连续, 由曲线 $y=f(x)$ 及直线 $x=a, x=b$ 和 $y=0$ 四条线围成的平面图形 $A a b B$ 称为曲边梯形 (见图 3-4). 为求其 面积, 可采取以下步骤.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230b378bdc.png)
第一步“分割”在区间 $[a, b]$ 上任意揷入 $n-1$ 分点 $x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}$, 将 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $\left[x_0, x_1\right],\left[x_1, x_2\right], \cdots,\left[x_{i-1}, x_i\right]$, 其中 $a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$, 且每个小区间的长度为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2, \cdots, n)$; 相应地, 把曲边梯形 $A a b B$ 分为 $n$ 个小曲边梯形.
第二步“以直代曲近似”. 在每个小区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]

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