函数项级数的概念

日期: 2023-01-01 18:53 查看: 72 次

在前面两节中，我们主要讨论了常数项级数，即级数的各项都是 常数. 如果一个级数的各项都是定义在某个区间上的函数，则称该级 数为函数项级数. 在这一节里，我们将要讨论的一类特殊的函数项级 数级数一幂函数，即级数的各项都是幂函数. 幂级数在某区域的收剑 性问题，是指幂级数在该区域内任意一点的收敛性问题，而幂级数在 某点 $x$ 的收敛问题，实质上是常数项级数的收敛问题. 这样，我们仍可 利用常数项级数的收敛性判别法来判断幂级数的收敛性.

设定义在区间 $I$ 上的函数列 $\left\{u_n(x)\right\}: u_1(x) ， u_2(x), \ldots \ldots, u_n(x), \ldots \ldots$,
各项用加号连接的形式: $u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ ，称为函数项无 穷级数，简称函数项级数.
对于 $I$ 上的每一个值 $x_0$ ，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n\left(x_0\right)$ 就是常数项级数. 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n\left(x_0\right)$ 收敛，则称 $x_0$ 是函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的收敛点，收玫点的全体组成的数集称为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的收敛域，记为 $x \in I$ ；若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n\left(x_0\right)$ 发散，则称 $x_0$ 是函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的发散点， 发散点的全体组成的数集称为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的发散域.

对于收敛域中的每一个数 $x ， \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 成为一收敛的常数项级数， 因此有一 确定的和 $S$ ，这样在整个收敛域上，函数项级数的和是 $x$ 的函数，记作 $S(x)$ ，称 $S(x)$ 为函数项级数的和函数. 和函数的定义域就是函数项级数的收敛域. 对于 收敛域内的点 $x$ ，有 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$.
$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的部分和为 $S_n(x)$ ，当 $x \in I$ 时，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x)=S(x)$ ， $r_n(x)=S(x)-S_n(x)$ 为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的余项，且有 $\lim _{n \rightarrow \infty} r_n(x)=0$.

例 1 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\left(\frac{1}{1+x}\right)^n$ 的收敛域.
解 由比值判别法可知， $\frac{\left|u_{n+1}(x)\right|}{\left|u_n(x)\right|}=\frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{|1+x|} \stackrel{(n \rightarrow \infty)}{\longrightarrow} \frac{1}{|1+x|}$,
(1) 当 $\frac{1}{|1+x|}<1$ 时， $|1+x|>1$, 即 $x>0$ 或 $x<-2$ 时， 原级数绝对收敛.
(2) 当 $\frac{1}{|1+x|}>1$ 时， $|1+x|<1$, 即 $-2<x<0$ 时， 原级数发散.
(3) 当 $|1+x|=1$ 时， $x=0$ 或 $x=-2, x=0$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ 收敛;
$x=-2$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，故级数的收敛域为 $(-\infty,-2) \cup[0,+\infty)$.

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