三角函数系

日期: 2023-01-01 19:10 查看: 71 次

下面我们讨论函数展开成三角级数时的系数.
假设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，且函数 $f(x)$ 能展开成三角级数，即有

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) ，
$$

其中， $a_0 、 a_n 、 b_n(n=1,2, \cdots)$ 都是常数，称为三角级数的系数. 这些系数与 $f(x)$ 之间有何种关系? 又是如何确定的? 为此，我们进一步假设上述三角级数
(1) 可逐项积分.
在等式 (1) 两边关于 $x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上积分，得

$$
\int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2} \mathrm{~d} x+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^\pi\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) \mathrm{d} x=\frac{a_0}{2} \cdot 2 \pi=a_0 \pi ，
$$

即

$$
a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x \text {; }
$$

用 $\cos m x$ 乘以等式 (1) 两端，然后关于 $x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上积分，得

$$
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos m x \mathrm{~d} x & =\int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2} \cos m x \mathrm{~d} x+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^\pi\left(a_n \cos n x \cos m x+b_n \sin n x \cos m x\right) \mathrm{d} x \\
& =a_m \int_{-\pi}^\pi \cos ^2 m x \mathrm{~d} x=a_m \pi,
\end{aligned}
$$

于是 $a_m=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos m x \mathrm{~d} x$ ， 即 $a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x ， n=1,2, \cdots$ ，
同样，用 $\sin m x$ 乘以等式 (1) 两端，然后关于 $x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上积分，得

$$
\begin{aligned}
& \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin m x \mathrm{~d} x=\int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2} \sin m x \mathrm{~d} x+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\pi}^\pi\left(a_n \cos n x \sin m x+b_n \sin n x \sin m x\right) \mathrm{d} x \\
&=b_m \int_{-\pi}^\pi \sin ^2 m x \mathrm{~d} x=b_m \pi,
\end{aligned}
$$

得 $b_m=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin m x \mathrm{~d} x$ ，即

$$
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x, \quad n=1,2, \cdots

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