最后更新: 2025-08-28 18:03 查看: 637 次反馈同步训练

一阶线性微分方程(常数变易法)

## 一阶线性微分方程
形如

$$
\boxed{
\frac{{\mathrm{d} y}}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=Q(x) ...\text{非齐次方程}(1)
}
$$

的方程称为一阶线性**非齐次方程**.

当 $Q(x) \equiv 0$ 时, 方程

$$
\boxed{
\frac{{\mathrm{d} y}}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 ...\text{齐次方程}(2)
}
$$

这个方程称为一阶线性**齐次方程**.

>理解齐次方程与非齐次方程区别。如果方程**等号右边是零就是其次方程**，否则，就是非齐次方程

### 齐次微分方程
先求(2)齐次方程的通解.
方程(2)是一个可分离变量的方程. 分离变量, 有

$$
\frac{\mathrm{d} y}{y}=-P(x) \mathrm{d} x,
$$

两端积分，得

$$
\ln y=-\int P(x) \mathrm{d} x+\ln C,
$$

故一阶齐次线性微分方程(2)的通解为

$$
\boxed{
y=C \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x} ...\text{通解}(3)
}
$$

其中 $C$ 为任意常数.

容易验证, 不论 $C$ 取什么值, $y=C \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}$ 只能是齐次线性方程的解.

### 非齐次微分方程
如果我们希望非齐次方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=Q(x)$ 具有类似 $C \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}$ 结构的解, 那么 $C$ 不应该是常数, 而应该是 $x$ 的函数, 只要能够确定这个函数即可.

我们使用**常数变易法**求非齐次方程的解，即 设 $C=u(x)$，然后带入（3）式，即

> 所谓**常数变易法**是指把**常数**看成 $u(x)$ 的**函数**。

$$
y=u \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x} ...(4)
$$

对（4）求导的
$$
\frac{dy}{dx}=u' \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x} -uP(x)  \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}  ...(5)
$$

再把（4）（5）带入（1），即可得

$$
u^{\prime}(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}+u(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}(-P(x))+P(x) u(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}=Q(x),
$$

即 
$u^{\prime}(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}=Q(x)$

或 $u^{\prime}(x)=Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) d x}$,

积分可得 $\quad u(x)= \int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) d x}+C$.

将所得的（4）带入（1）中, 我们得到一阶非齐次线性微分方程的通解公式

$$
y=\left[\int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) d x} \mathrm{~d} x+C\right] \mathrm{e}^{-\int P(x) d x} .
$$

上式改为两个之和，记得

$$
\boxed{
y=C \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}+\mathrm{e}^{-\int P(x) d x} \int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) d x} \mathrm{~d} x .
}
$$

这就是非齐次方程的通解。

从结果看：

> **非齐次方程的通解=齐次方程的通解 + 特解。**

## 例题

上面的推导不容易理解，下面使用例题来说明。

`例` 求方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{2 y}{x+1}=(x+1)^{\frac{5}{2}}$ 的通解.
解 **这是一个非齐次线性方程. 先求对应齐次方程的通解. 需要清楚谁是$P(x)$，谁是$Q(x)$ , $y$ 前面的系数是$P(x)$,等号右边不含$y$的是$Q(x)$**

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{2}{x+1} y=0 \Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{y}=\frac{2 \mathrm{~d} x}{x+1} \Rightarrow \ln y=2 \ln (x+1)+\ln C \Rightarrow y=C(x+1)^2 .
$$

用常数变易法, 把 $C$ 换成 $u$,

即令 $y=u(x+1)^2$,

则有 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=u^{\prime}(x+1)^2+2 u(x+1)$,

代入所给非齐次方程得 $u^{\prime}=(x+1)^{\frac{1}{2}}$

两端积分得 $u=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C$.
故原方程的通解为 $y=\left(\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C\right)(x+1)^2$.

`例` 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.

$$
x \ln x \mathrm{~d} y+(y-\ln x) \mathrm{d} x=0,\left.\quad y\right|_{x=\mathrm{e}}=1 .
$$

解 将方程标准化为 $y^{\prime}+\frac{1}{x \ln x} y=\frac{1}{x}$, 于是

$$
y=\mathrm{e}^{-\int \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}}\left(\int \frac{1}{x} \mathrm{e}^{\int \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}} \mathrm{~d} x+C\right)=\mathrm{e}^{-\ln \ln x}\left(\int \frac{1}{x} \mathrm{e}^{\ln \ln x} \mathrm{~d} x+C\right)=\frac{1}{\ln x}\left(\frac{1}{2} \ln ^2 x+C\right) .
$$

由初始条件 $\left.y\right|_{x=e}=1$, 得 $C=\frac{1}{2}$, 故所求特解为 $y=\frac{1}{2}\left(\ln x+\frac{1}{\ln x}\right)$.

`例` 求方程 $y^3 \mathrm{~d} x+\left(2 x y^2-1\right) \mathrm{d} y=0$ 的通解.
解 当将 $y$ 看作 $x$ 的函数时, 方程变为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y^3}{1-2 x y^2}$.
这个方程不是一阶线性微分方程, 不便求解. 如果将 $x$ 看作 $y$ 的函数, 方程 改写为

$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}+\frac{2}{y} x=\frac{1}{y^3} .
$$

则这个方程为一阶线性微分方程, 令 $P(y)=\frac{2}{y}, Q(y)=\frac{1}{y^3}$,
由公式得原方程的通解为

$$
x=\mathrm{e}^{-\int P(y) d y}\left(C+\int Q(y) \mathrm{e}^{\int P(y) d y} \mathrm{~d} y\right)=\mathrm{e}^{-\int \frac{2}{y} d y}\left(C+\int \frac{1}{y^3} \mathrm{e}^{\int \frac{2}{y} d y} \mathrm{~d} y\right),
$$

故得 $x=\frac{1}{y^2}(\ln y+C)$, 其中 $C$ 为任意常数.

`例` 解定解问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
x \frac{d y}{d x}+y-e^x=0 \\
\left.y\right|_{x=1}=e
\end{array}\right.
$$

解 将方程化为

$$
\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=\frac{e^x}{x} 。
$$

此方程的通解为

$$
y=e^{-\int \frac{1}{x} d x}\left[C+\int \frac{e^x}{x} e^{\int \frac{1}{x} d x} d x\right]=\frac{1}{x}\left[C+e^x\right]
$$

由 $\left.y\right|_{x=1}=e$ 得 $C=0$ 。于是，定解问题的解为 $y=\frac{e^x}{x}$ 。

> 在上面例题里，默认都是选择$x$作为因变量，但是有时候考试会逆向思维，要选择$y$ 作为因变量

`例` 求微分方程

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x+y^3}
$$

的通解。
解 此方程不是线性方程，但将方程变形为

$$
\frac{d x}{d y}=\frac{x+y^3}{y}
$$

即
$$
\frac{d x}{d y}-\frac{1}{y} x=y^2
$$

就是一个关于 $x$ 的线性方程。于是得通解

$$
x=e^{\int \frac{d y}{y}}\left[C+\int y^2 e^{-\int \frac{d y}{y}} d y\right]=C y+\frac{1}{2} y^3
$$

注意 $y=0$ 是方程的一个特解。

`例` 求微分方程

$$
e^y-\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x}
$$

的通解。
解 把方程改写为

$$
e^y\left(1+\frac{d e^{-y}}{d x}\right)=\frac{1}{x} 。
$$

令 $z=e^{-y}$ ，原方程就化为

$$
\frac{d z}{d x}-\frac{1}{x} z=-1
$$

这是一个关于 $z$ 的线性方程。解此方程得

$$
z=-x \ln x+C x
$$

将 $z=e^{-y}$ 代入就得原方程的通解

$$
y=-\ln (C x-x \ln x)
$$

##  总结
判断一个微分方程是否为一阶线性微分方程成关键是：首先，拿到—道题，先把 $\frac{d y}{d x}$ ，也即一阶导数找到，**将其系数化为 1**，再看看剩下的代数式中是不是要不然乘一个 $y$ ，要不然不与 $y$ 有关。将乘 $y$ 的放在导数一边，与$y$无关的放在等号的另一边，就变形好了。

总之，最重要的一步，就是要

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【常微分方程】一阶线性微分方程求解的积分因子法【常微分方程】一阶线性微分方程的求解【常微分方程】一阶线性微分方程求解的常数变易法

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