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一阶线性微分方程

## 一阶线性微分方程
形如

$$
\frac{{\mathrm{d} y}}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=Q(x) ...(2)
$$

的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数 $P(x), Q(x)$ 是某一区间 $I$ 上的连续函数. 当 $Q(x) \equiv 0$ 时, 方程 $(2)$ 成为

$$
\frac{{\mathrm{d} y}}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 ...(3)
$$

这个方程称为一阶齐次线性微分方程. 相应地, 当 $Q(x) \equiv 0$ 时, 方程(2) 称为一 阶非齐次线性微分方程. 方程(3)称为方程(2)所对应的齐次方程

>理解齐次方程与非齐次方程。如果方程等号右边是零就是其次方程，例如$x+y=0$， 如果方程右边非零，就是非齐次方程，$x+y=1$就是非齐次方程。齐次方程与非齐次只差一个常数，因此只要解出齐次方程，再额外加一个常数，就是非齐次方程的解。详见 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=486

先求一阶齐次线性微分方程(3)的通解.
方程(3)是一个可分离变量的方程. 分离变量, 有

$$
\frac{\mathrm{d} y}{y}=-P(x) \mathrm{d} x,
$$

两端积分，得

$$
\ln y=-\int P(x) \mathrm{d} x+\ln C,
$$

故一阶齐次线性微分方程(3)的通解为

$$
y=C \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x} .
$$

其中 $C$ 为任意常数.

容易验证, 不论 $C$ 取什么值, $y=C \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}$ 只能是齐次线性方程的解. 如果我们希望非齐次方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=Q(x)$ 具有类似 $C \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}$ 结构的解, 那么 $C$ 不应该是常数, 而应该是 $x$ 的函数, 只要能够确定这个函数即可.

设一阶非齐次方程通解为
把 $y, y'$ 的表达式代入方程(2), 得

$$
u^{\prime}(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}+u(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}(-P(x))+P(x) u(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}=Q(x),
$$

即 $u^{\prime}(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}=Q(x)$ 或 $u^{\prime}(x)=Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) d x}$,
积分可得 $\quad u(x)=Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) d x}+C$.
将所得的 $u(x)$ 代入方程(4)中, 我们得到一阶非齐次线性微分方程的通解公式

$$
y=\left[\int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) d x} \mathrm{~d} x+C\right] \mathrm{e}^{-\int P(x) d x} .
$$

上述求解一阶非齐次线性微分方程通解的方法称为常数变易法, 即在求出对应齐次方程的通解后, 将通解中的常数 $C$ 变易为待定函数 $u(x)$, 然后求出非齐 次线性方程的通解的方法.
将一阶非齐次线性方程的通解(5)展开, 得

$$
y=C \mathrm{e}^{-\int P(x) d x}+\mathrm{e}^{-\int P(x) d x} \int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) d x} \mathrm{~d} x .
$$

一阶非齐次线性方程(2)的通解由两部分组成. 第一项是对应的齐次线性方程 (3)的通解. 第二项可以看成在一阶非齐次线性方程(2)的通解中取 $C=0$ 得得到的特解，所以它是一阶非齐次线性方程(2)的一个特解. 于是得到如下结论.

**定理1** (一阶非齐次线性方程的解的结构)一阶非齐次线性方程(2)的通解等于对应的齐次线性方程(3)的通解与一阶非齐次线性方程(2)的一个特解之和.

## 再次理解一阶线性微分方程

首先，我们要明白，一阶线性微分方程是不可以直接分离变量进行求解的，这也是我们为什么要利用常数变易法的原因，那么有没有一种可能，使上述的方程可以被分离变量然后可以被求解呢？

这里，我们定义一个积分因子 $u$ 并同时乘到原来方程的两端，则有:

$$
u \dfrac{dy}{dx} +P(x)y u=Q(x) u
$$

对于方程的左端的表达式，我们可以想办法变易一下，即：使左端的式子可以被积分，这里就可以使用我们的乘法的求导公式了：
$(u v)'=u' v + u v'$

观察式子的左端是不是很眼熟，只要我们把 $P(x) u$ 等价于 $u$ 的导数是不是就可以把式子的左端合并了呢

为此，我们应有: $P(x) u= \frac{du}{dx}$
解这个方程有: $u=e^{\int P(x) d x}$
而这就是我们计算所得的积分因子了!
之后将这个积分因子对应的值乘到等式的两边，就容易变成可积分的形式，这样，问题就解决了!

## 例题

`例` 求方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{2 y}{x+1}=(x+1)^{\frac{5}{2}}$ 的通解.
解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应齐次方程的通解.

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{2}{x+1} y=0 \Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{y}=\frac{2 \mathrm{~d} x}{x+1} \Rightarrow \ln y=2 \ln (x+1)+\ln C \Rightarrow y=C(x+1)^2 .
$$

用常数变易法, 把 $C$ 换成 $u$, 即令 $y=u(x+1)^2$, 则有 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=u^{\prime}(x+1)^2+2 u(x+1)$, 代入所给非齐次方程得 $u^{\prime}=(x+1)^{\frac{1}{2}}$ 两端积分得 $u=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C$.
故原方程的通解为 $y=\left(\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C\right)(x+1)^2$.

`例` 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.

$$
x \ln x \mathrm{~d} y+(y-\ln x) \mathrm{d} x=0,\left.\quad y\right|_{x=\mathrm{e}}=1 .
$$

解 将方程标准化为 $y^{\prime}+\frac{1}{x \ln x} y=\frac{1}{x}$, 于是

$$
y=\mathrm{e}^{-\int \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}}\left(\int \frac{1}{x} \mathrm{e}^{\int \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}} \mathrm{~d} x+C\right)=\mathrm{e}^{-\ln \ln x}\left(\int \frac{1}{x} \mathrm{e}^{\ln \ln x} \mathrm{~d} x+C\right)=\frac{1}{\ln x}\left(\frac{1}{2} \ln ^2 x+C\right) .
$$

由初始条件 $\left.y\right|_{x=e}=1$, 得 $C=\frac{1}{2}$, 故所求特解为 $y=\frac{1}{2}\left(\ln x+\frac{1}{\ln x}\right)$.

`例` 求方程 $y^3 \mathrm{~d} x+\left(2 x y^2-1\right) \mathrm{d} y=0$ 的通解.
解 当将 $y$ 看作 $x$ 的函数时, 方程变为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y^3}{1-2 x y^2}$.
这个方程不是一阶线性微分方程, 不便求解. 如果将 $x$ 看作 $y$ 的函数, 方程 改写为

$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}+\frac{2}{y} x=\frac{1}{y^3} .
$$

则这个方程为一阶线性微分方程, 令 $P(y)=\frac{2}{y}, Q(y)=\frac{1}{y^3}$,
由公式得原方程的通解为

$$
x=\mathrm{e}^{-\int P(y) d y}\left(C+\int Q(y) \mathrm{e}^{\int P(y) d y} \mathrm{~d} y\right)=\mathrm{e}^{-\int \frac{2}{y} d y}\left(C+\int \frac{1}{y^3} \mathrm{e}^{\int \frac{2}{y} d y} \mathrm{~d} y\right),
$$

故得 $x=\frac{1}{y^2}(\ln y+C)$, 其中 $C$ 为任意常数.

##  总结
判断一个微分方程是否为一阶线性微分方程成关键是：首先，拿到—道题，先把 $\frac{d y}{d x}$ ，也即一阶导数找到，将其系数化为 1 ，再看看剩下的一代数式中是不是要不然乘一个 $y$ ，要不然不与 $y$ 有关。将乘 $y$ 的放在导数一边，与$y$无关的放在等号的另一边，就变形好了。

总之，最重要的一步，就是要将 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 找到。找到了，就完事大吉。

二对于解一阶线性微分方程来说，最重要的就是找出 $P ( x )$ 和 $Q ( x )$ ，其他的就套公式就完事了。另外，注意辨别变量，看看是不是 $y$ 和 $x$ ，还是其他的什么变量，这是高等数学非常坑的一个地方，经常题目中会有这种坑。对于在等式右边还有一个 $y^n$ 的方程，大家可以自己上网参考伯努利方程。

## 本章视频教程
https://www.bilibili.com/video/BV1Eb411u7Fw?p=74

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