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数量积(点积)

本文介绍向量之间的简单运算。 在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于“inner product”和“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译。 在物理学科，一般翻译成“标积”和“矢积”，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上“数量积”和“向量积”也采用了这种意译的办法。 在数学学科，通常也可以翻译成“内积”和“外积”，是两个名词的直译。“点乘”和“叉乘”是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。 在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。本站介绍数量积通常称为内积。

> 内积被称作点积，记做 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} $ ，从外形看他含有一个 $\cdot$ ，从结果看他的值为一个“数”，所以被称作数量积。 外积也被称作叉积，记做  $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $，从外形看因为含有 $\times$ 所以被称为叉积，因为结果是一个向量，也被称作向量积或张量积。

## 数量积(也称作 内积/点积/点乘/标积/inner product )
首先我们来看一个引例.
设一个物体在恒力 $F$ 作用下，沿直线从点 $M_1$ 移动到点 $M_2$ (见图 5-23)， 以 $\boldsymbol{s}$ 表示位移 $\overrightarrow{M_1 M_2}$. 由物理学知道，力 $\boldsymbol{F}$ 所做的功为 $W=\boldsymbol{F} \| \boldsymbol{s} \mid \cos \theta$ (见图 5-24)，其中 $\theta$ 为 $\boldsymbol{F}$ 与 $\boldsymbol{s}$ 的夹角.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212304e4e6df.png)

从这个问题可以看出，我们有时要对两个向量做这样的运算，运算的结果是一个数，他等于这两个向量的模及他们夹角的余弦的乘积. 我们把这个数称为这两个向量的**数量积(也称为内积或是点积)**.见图 5-25.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212308506c46.png)

> 由于历史原因，两个向量的

## 数量积定义
给定向量 $a$ 与 $\boldsymbol{b}$, 我们做这样的运算： $|a|$ 与 $|b|$ 及它们的夹角与 $\theta$ 的余弦的乘积，称为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的**数量积**. 记为 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ ，即

$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \theta=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle \quad(0 \leq \theta<\pi) .
$$

由数量积的定义可知，恒力 $F$ 沿直线从点 $M_1$ 移动到点 $M_2$ ，所作的功为

$$
W=|\boldsymbol{F}|\left|\overrightarrow{M_1 M_2}\right| \cos \theta=\boldsymbol{F} \cdot \overrightarrow{M_1 M_2} .
$$

由定义 1 可以推出：
(1) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}| \operatorname{Prj} _a \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{b}| \operatorname{Pr}_{\mathrm{j}_b \boldsymbol{a}}$;
(2) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{a}| \cos \langle a, a\rangle=|\boldsymbol{a}|^2$;
(3) 若 $|\boldsymbol{a}| \neq 0 ，|\boldsymbol{b}| \neq 0$ ，则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0 \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$.

对于(3)简证 若已知 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ ，即 $|\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=0$ ，故 $\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=0 ，\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{2}$ ， 因此 $a \perp b ；$
反之，若 $a \perp b$ ，即 $\langle a, b\rangle=\frac{\pi}{2}$ ，故 $\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=0$ ，从而 $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=0$ ， 因此 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$.

（3）式给出了一个重要结论
> 如果两个向量垂直，则点积为零，反正，如果两个向量点积为零，则他们相互垂直。

数量积符合下列运算规律:
(1) 交换律: $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}$ ；
证 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=|\boldsymbol{b}| \boldsymbol{a} \mid \cos (\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a})=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}$.
(2) 分配律： $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$ ；
证
$$
  \begin{aligned}
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} & =|\boldsymbol{c}| \operatorname{Prj}_c(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{c}|\left(\operatorname{Prj}_c \boldsymbol{a}+\operatorname{Prj}_c \boldsymbol{b}\right) \\
& =|\boldsymbol{c}| \operatorname{Prj}_c \boldsymbol{a}+|\boldsymbol{c}| \operatorname{Prj}_c \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} .
\end{aligned}
$$

(3) $(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \cdot(\lambda \boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$ (其中 $\lambda$ 是数).
证 当 $\lambda=0$ 时，三者均为零，显然成立；
当 $\lambda>0$ 时， $(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b}=|\lambda \boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos (\lambda \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\lambda|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$ $=|a||\lambda b| \cos (a, \lambda b)=a \cdot \lambda b$;
当 $\lambda<0$ 时， $(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b}=|\lambda \boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos (\lambda \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=-\lambda|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos (\pi-\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ $=\lambda|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$
$=-\lambda|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos (\pi-\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ $=|\boldsymbol{a}||\lambda \boldsymbol{b}| \cos (\boldsymbol{a}, \lambda \boldsymbol{b})=\boldsymbol{a} \cdot \lambda \boldsymbol{b}$.
类似地，可证得: $(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot(\mu \boldsymbol{b})=\lambda \mu(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$.

下面来看两向量的数量积的坐标表示式.

## 数量积的坐标运算
设 $\boldsymbol{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right)=a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k}, \boldsymbol{b}=\left(b_x, b_y, b_z\right)=b_x \boldsymbol{i}+b_y \boldsymbol{j}+b_z \boldsymbol{k}$ ，则

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\left(a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k}\right) \cdot\left(b_x \boldsymbol{i}+b_y \boldsymbol{j}+b_z \boldsymbol{k}\right) \\
=a_x b_x \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i}+a_x b_y \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j}+a_x b_z \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{k}+a_y b_x \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{i}+a_y b_y \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{j}+a_y b_z \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{k} \\
+a_z b_x \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{i}+a_z b_y \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{j}+a_z b_z \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{k}
\end{gathered}
$$

注意到: $\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i}=\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{j}=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{k}=1 ， \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j}=\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{k}=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{i}=0$ ，
则有

$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z .
$$

由此可得：若 $|\boldsymbol{a}| \neq 0 ，|b| \neq 0$ ，则

$$
\cos (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}} ；
$$

$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0 \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z=0 .
$$

### 例题
`例` 利用向量证明不等式:

$$
\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \geq\left|a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3\right|
$$

其中 $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3$ 为任意常数，并指出等号成立的条件.
证 设 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right), \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right)$, 则

$$
\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}
$$

从而

$$
\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \geq\left|a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3\right|
$$

等号成立当且仅当 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$.
`例` 已知 $\boldsymbol{a}=(1,1,-4), \boldsymbol{b}=(1,-2,2)$, 求
(1) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$;
(2) $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta$ ；
(3) $a$ 与 $b$ 上的投影.
解 (1) 由数量积的坐标表达式可知，

$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=1 \cdot 1+1 \cdot(-2)+(-4) \cdot 2=-9 \text {. }
$$

(2) 因为 $\cos \theta=\frac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} \sqrt{b_x^2+b_y^2+b}}$

$$
=\frac{-9}{\sqrt{1^2+1^2+(-4)^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \text {, }
$$

所以 $\theta=\frac{3 \pi}{4}$.
解 (3) 由 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{b}| \operatorname{Pr} j_b \boldsymbol{a}$, 可得

$$
\operatorname{Pr} \mathrm{j}_b \boldsymbol{a}=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|}=-3 \text {. }
$$

`例` 已知 $\boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b} \perp 7 \boldsymbol{a}-5 \boldsymbol{b} ， \boldsymbol{a}-4 \boldsymbol{b} \perp 7 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}$ ，试求 $\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle$.

解 根据题意，有

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
(\boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}) \cdot(7 \boldsymbol{a}-5 \boldsymbol{b})=0 \\
(\boldsymbol{a}-4 \boldsymbol{b}) \cdot(7 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b})=0^{\prime}
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
7|\boldsymbol{a}|^2+16 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}-15|\boldsymbol{b}|^2=0 \\
7|\boldsymbol{a}|^2-30 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+8|\boldsymbol{b}|^2=0^{\prime}
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

即
两式相减得 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\frac{1}{2}|\boldsymbol{b}|^2$ ，代入第一个方程得 |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$ ，
因此 $\cos (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}=\frac{1}{2}$ ， 即 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\frac{\pi}{3}$.

`例` 液体流过平面 $S$ 上面积为 $A$ 的一个区域，液体在这区域上
各点处的流速均为 $\boldsymbol{v}$ (常向量)，
设 $\boldsymbol{n}$ 为垂直于 $S$ 的单位向量（如图
5-26)，计算单位时间内经过这区
域流向 $\boldsymbol{n}$ 所指一方的液体的重量
$P$ (液体的比重为 $v)$.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212309986e82.png){width=400px}

解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为 $A$ ，斜高为 $|\boldsymbol{v}|$ 的斜柱体， 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是 $\boldsymbol{v}$ 与 $n$ 的夹角 $\theta$. 所以这柱体的高为
$|\boldsymbol{v}| \cos \theta$ ，体积为 $A|\boldsymbol{v}| \cos \theta=A \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}(=A|\boldsymbol{v} \| \boldsymbol{n}| \cos (\boldsymbol{v}, \boldsymbol{n}))$ ， 故单位时间内经过 这区域流向 $\boldsymbol{n}$ 所指一方的液体的重量 $P=\boldsymbol{v} A \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}$.

其他版本
【高中数学】向量的向量积(外积)【线性代数】向量投影【高中数学】向量的数量积(内积)【高中数学】向量垂直【线性代数】向量的内积、长度【高等数学】向量积(叉积)

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