最后更新: 2024-10-05 20:20 查看: 674 次反馈同步训练

平面的一般方程

## 平面的一般方程
由平面的点法式方程 (1) 知任一平面的方程都是三元一次方程，反之，可 以证明任何一个三元一次方程

$$
A x+B y+C z+D=0...(2)
$$

一定表示平面.
任取一组 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 满足

$$
A x_0+B y_0+C z_0+D=0 ...(3)
$$

$(2) - (3)$ 得: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$ 即为平面的点法式方程 (1) .
由于 (2) 与 (1) 是同解方程，故表明三元一次方程的图形一定是平面. 方程 $A x+B y+C z+D=0$ 称为平面的一般方程. 其中 $n=(A, B, C)$ 即为该平面的一个法向量.

对于一些特殊的三元一次方程所表示的平面，应该熟悉它们图形的特点：
#### 常见情况1
当 $D=0$ 时， (2) 式成为 $A x+B y+C z=0$ ，显然，原点 $O(0,0,0)$ 的 坐标满足此方程，因此，方程 $A x+B y+C z=0$ 表示过原点的平面；
#### 常见情况2
 当 $A=0$ 时， $B y+C z+D=0$ 所表示的平面的法向量为 $\boldsymbol{n}(0, B, C)$ ； 法向量 $n$ 在 $x$ 轴上的投影为零，故与 $x$ 轴垂直，所以该平面与 $x$ 轴平行； 同理，当 $B=0$ 时，平面 $A x+C z+D=0$ 平行于 $y$ 轴; 当 $C=0$ 时，平面 $A x+B y+D=0 B y+C z+D=0$ 平行于 $z$ 轴;
 
#### 常见情况3
当 $A=B=0$ 时，平面 $C z+D=0$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}(0,0, C)$ ，法向量 $\boldsymbol{n}$ 在 $x$ 轴 和 $y$ 轴上的投影都为零，故与 $x$ 轴和 $y$ 轴都垂直，即与 $x O y$ 面垂直，所以该平面 平行于 $x O y$ 面同样，当 $B=C=0$ 或 $B=C=0$ 时，(2) 式成为 $A z+D=0$ 和 $B z+D=0$ ，它们分别表示与 $y O z$ 面或与 $z O x$ 面平行的平面.
特别地，方程 $z=0, x=0, y=0$ 分别表示了三个坐标面: $x O y$ 面， $y O z$ 面和 $z O x$ 面.

`例`求通过 $x$ 轴和点 $(2,4,1)$ 的平面方程.
解法一 设所求平面的一般方程为 $A x+B y+C z+D=0$, 因为所求平面通过 $x$ 轴，且法向量垂直于 $x$ 轴，于是法向量在 $x$ 轴上的投影为零，即 $A=0$,
由于平面通过原点，所以 $D=0$, 从而方程成为

$$
B y+C z=0 \text {, }
$$

又因平面过点 $(2,4,1)$ 因此有 $4 B+C=0$, 即 $C=-4 B$. 以此代入(4)，再除 以 $B(B \neq 0)$, 便得到所求方程为 $y-4 z=0$.
解法二 因为所求平面通过 $x$ 轴，故原点 $O(0,0,0)$ 在平面上，向量

$$
\overrightarrow{O M}=(2-0,4-0,1-0)=(2,4,

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【高中数学】空间的直线方程与球面方程【高中数学】直线方程(点斜/斜截/截距/两点式/一般式)【高中数学】平面的法向量【高中数学】直线的方程(点法式)

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