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n 阶行列式
日期:
2023-01-02 08:38
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1. $n$ 阶行列式的定义 由 $n^2$ 个元素 $a_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 排成 $n$ 行 $n$ 列的正方形的数表: $$ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_n \end{array} $$ 由这个数表所决定的数 $\sum_{p p_2 \cdots p_n}(-1)^{\tau\left(\left(p_1 \cdots \cdots p_n\right)\right.} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 称为由 $n^2$ 个元素 $a_y(i, j=1,2, \cdots, n)$ 构成的 $n$ 阶行列式，  记矩阵 $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right), $$ 则行列式通常也称为方阵 $A$ 的行列式，记为 $|A|$. 有时为了表明行列式是由元素 $a_{i j}$ 构成的，也简记为 $|A|=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right) 、\left|a_{i j}\right|_{n \times n}$ 或 $\left|a_{i j}\right|_n$.  2. 二、三阶行列式 当 $n=2$ 时，由方阵 $\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)$ 所确定的二阶行列式为: $$ \left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=\sum_{p_1 p_2}(-1)^{\tau\left(p_1 p_2\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2}=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} . $$ 二阶行列式也可借助于对角线法则来记忆:  当 $n=3$ 时，三阶方阵 $A=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ 所确定的三阶行列式为: $$ |\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=\sum_{p_1 p_2 p_3}(-1)^{\tau\left(\left(p_1 p_2 p_3\right)\right.} a_{1 p_2} a_{2 p_2} a_{3 p_3}=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{13} a_{21} a_{32}+a_{12} a_{23} a_{31}-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32} \text {. } $$ 也可以按 "对角线" 法则计算三阶行列式:  注：四阶及更高阶的行列式不再使用对角线法则  例1 证明 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}$ 是 6 阶行列式 $D_6=\left|a_{i j}\right|_{666}$ 的一项，并求这项应带的符号. 证明 调换 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}$ 中元素的位置，使得调换后的乘积中元素的行标是标准序， 即 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}=a_{16} a_{23} a_{35} a_{41} a_{52} a_{64}$, 这时，乘积中元素的列标排列为 635124 ，是一个 6 阶全排列， 因而 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}$ 是位于 $D_6=\left|a_{i j}\right|_{6 \times 6}$ 的不同行、不同列的 6 个元素的乘积， 因此是这个 6 阶行列式的一项. 由于 $\tau(635124)=10$ ， 所以这项前面带正号.
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