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第五章 向量与空间解析几何
平面与平面、点与平面的关系
最后更新:
2023-10-01 11:28
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平面与平面、点与平面的关系
1、两平面的夹角 两平面的法向量的所夹之锐角称为两平面的夹角（见图 5-36）. 设平面 $\Pi_1$ 的方程为 $$ A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 ， $$ 平面 $\Pi_2$ 的方程为 $$ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 ， $$ 即 $$ \boldsymbol{n}_1=\left(A_1, B_1, C_1\right), \quad \boldsymbol{n}_2=\left(A_2, B_2, C_2\right) ， $$  则平面 $\Pi_1$ 与平面 $\Pi_2$ 的夹角 $\theta=\left\langle\Pi_1, \Pi_2\right\rangle$ 的余弦为 $$ \cos \theta=\frac{\left|\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2\right|}{\left|\boldsymbol{n}_1\right|\left|\boldsymbol{n}_2\right|}=\frac{\left|A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2\right|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} . $$ 由此可推得两个平面平行和垂直的充要条件: 当 $\Pi_1 / / \Pi_2$ 时，(见图 5-37) 有 $$ \boldsymbol{n}_1 / / \boldsymbol{n}_2 \Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} $$ (当 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 重合，则 $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$ )；  当 $\Pi_1 \perp \Pi_2$ 时，(见图 5-38) 有 $$ \boldsymbol{n}_1 \perp \boldsymbol{n}_2 \Leftrightarrow A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2=0 . $$  例 5 研究以下各组里两平面的位置关系: (1) $\Pi_1:-x+2 y-z+1=0, \quad \Pi_2: y+3 z-1=0$; (2) $\Pi_1: 2 x-y+z-1=0, \Pi_2:-4 x+2 y-2 z-1=0$. (1) 因为 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 的法向量分别为 $n_1=(-1,2,-1), \boldsymbol{n}_2=(0,1,3)$, 且 $$ \cos \theta=\frac{|-1 \times 0+2 \times 1-1 \times 3|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{60}}, $$ 故两平面相交，夹角为 $$ \theta=\arccos \frac{1}{\sqrt{60}} . $$ 解 (2) 因为 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 的法向量分别为 $$ \boldsymbol{n}_1=(2,-1,1), \boldsymbol{n}_2=(-4,2,-2) \text { ，且 } $$ $\frac{2}{-4}=\frac{-1}{2}=\frac{1}{-2}$, 即对应坐标成比例， 又 $M(1,1,0) \in \Pi_1, M(1,1,0) \notin \Pi_2$, 故两平面平行但不重合. 例 6 求平面 $\Pi$ ，使其满足: (1) 过 $z$ 轴; (2) $\Pi$ 与平面 $2 x+y-\sqrt{5 z}=0$ 夹角为 $\frac{\pi}{3}$. 解 因为平面 $\Pi$ 过 $z$ 轴，可设其方程为 $A x+B y=0$. 又因为 $\Pi$ 与已知平面夹 角为 $\frac{\pi}{3}$ ，故 $$ \cos \frac{\pi}{3}=\frac{|2 A+B+(-\sqrt{5}) \cdot 0|}{\sqrt{A^2+B^2+0^2} \sqrt{2^2+1^2+(-\sqrt{5})^2}}=\frac{1}{2} $$ 从而 $B=3 A$ 或 $B=-\frac{1}{3} A$ ， 所以有 $\Pi: x+3 y=0$ 或 $\Pi: 3 x-y=0$. 例 7 一平面通过两点 $M_1(1,1,1)$ 和 $M_2(0,1,-1)$ 且垂直于平面 $x+y+z=0$ ， 求该平面方程. 解 $\overrightarrow{M_1 M_2}=(0-1,1-1,-1-1)=(-1,0,-2)$ ， 根据题意，可取 $\boldsymbol{n}=\overrightarrow{M_1 M_2} \times \boldsymbol{n}_1$ ， 其中 $\boldsymbol{n}_1$ 为已知平面的法向量， $\boldsymbol{n}_1=(1,1,1)$ ，故 $$ \boldsymbol{n}=\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=(2,-1,-1), $$ 因此所求平面方程为 $$ 2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0 \text { ， 即 } 2 x-y-z=0 \text {. } $$ **点到平面的夹角** 设 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 为平面 $A x+B y+C z+D=0$ 外的一点，在 平面上任 取 一点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ (见图 5-39) . 则点 $P_0$ 到平面的距离 $d$ 就是 $\overrightarrow{P_1 P_0}$ 在 $\boldsymbol{n} \quad(\boldsymbol{n}=(A, B, C))$ 上的投影的绝对值，即 $d=\left|\operatorname{Pr}_{\mathrm{j}_n} \overrightarrow{P_1 P_0}\right|$.  注意到 $A x_1+B y_1+C z_1+D=0$ ，故 $$ \begin{aligned} d & =\left|\operatorname{Pr}_{\mathrm{j}_n} \overrightarrow{P_1 P_0}\right|=\frac{\left|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{P_1 P_0}\right|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\left|A\left(x_0-x_1\right)+B\left(y_0-y_1\right)+C\left(z_0-z_1\right)\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ & =\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0-A x_1-B y_1-C z_1\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} . \end{aligned} $$ 比如，我们可以利用公式计算点 $P_0(2,1,1)$ 到平面 $x+y-z+1=0$ 的距离: $$ d=\frac{|2+1-1+1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} . $$  例 8 求两平行平面 $\Pi_1: 10 x+2 y-2 z-5=0$ 和 $\Pi_2: 5 x+y-z-1=0$ 之间 的距离 $d$. 解 可在平面 $\Pi_2$ 上任取一点，该点到平面 $\Pi_1$ 的距离即为这两平行平面间的 距离. 为此，在平面 $\Pi_2$ 上取点 $(0,1,0)$, 则 $$ d=\frac{|10 \times 0+2 \times 1+(-2) \times 0-5|}{\sqrt{10^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{3}{\sqrt{108}}=\frac{\sqrt{3}}{6} . $$
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