最后更新: 2024-10-05 20:23 查看: 430 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

平面的垂直与平行

## 两平面的夹角
两平面的法向量的所夹之锐角称为两平面的夹角（见图 5-36）.
设平面 $\Pi_1$ 的方程为

$$
A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 ，
$$

平面 $\Pi_2$ 的方程为

$$
A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 ，
$$

即

$$
\boldsymbol{n}_1=\left(A_1, B_1, C_1\right), \quad \boldsymbol{n}_2=\left(A_2, B_2, C_2\right) ，
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230437a0a5.png)

则平面 $\Pi_1$ 与平面 $\Pi_2$ 的夹角 $\theta=\left\langle\Pi_1, \Pi_2\right\rangle$ 的余弦为

$$
\cos \theta=\frac{\left|\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2\right|}{\left|\boldsymbol{n}_1\right|\left|\boldsymbol{n}_2\right|}=\frac{\left|A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2\right|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} .
$$

由此可推得两个平面平行和垂直的充要条件:
当 $\Pi_1 / / \Pi_2$ 时，(见图 5-37) 有

$$
\boldsymbol{n}_1 / / \boldsymbol{n}_2 \Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}
$$

(当 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 重合，则 $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$ )；
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230a801014.png)

当 $\Pi_1 \perp \Pi_2$ 时，(见图 5-38) 有

$$
\boldsymbol{n}_1 \perp \boldsymbol{n}_2 \Leftrightarrow A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2=0 .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212303e41aa8.png)

`例` 研究以下各组里两平面的位置关系:
(1) $\Pi_1:-x+2 y-z+1=0, \quad \Pi_2: y+3 z-1=0$;
(2) $\Pi_1: 2 x-y+z-1=0, \Pi_2:-4 x+2 y-2 z-1=0$.
解：(1) 因为 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 的法向量分别为 $n_1=(-1,2,-1), \boldsymbol{n}_2=(0,1,3)$, 且

$$
\cos \theta=\frac{|-1 \times 0+2 \times 1-1 \times 3|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{60}},
$$

故两平面相交，夹角为

$$
\theta=\arccos \frac{1}{\sqrt{60}} .
$$

解 (2) 因为 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 的法向量分别为

$$
\boldsymbol{n}_1=(2,-1,1), \boldsymbol{n}_2=(-4,2,-2) \text { ，且 }
$$

$\frac{2}{-4}=\frac{-1}{2}=\frac{1}{-2}$, 即对应坐标成比例，
又 $M(1,1,0) \in \Pi_1, M(1,1,0) \notin \Pi_2$, 故两平面平行但不重合.

`例` 求平面 $\Pi$ ，使其满足:
(1) 过 $z$ 轴;
(2) $\Pi$ 与平面 $2 x+y-\sqrt{5 z}=0$ 夹角为 $\frac{\pi}{3}$.
解 因为平面 $\Pi$ 过 $z$ 轴，可设其方程为 $A x+B y=0$. 又因为 $\Pi$ 与已知平面夹 角为 $\frac{\pi}{3}$ ，故

$$
\cos \frac{\pi}{3}=\frac{|2 A+B+(-\sqrt{5}) \cdot 0|}{\sqrt{A^2+B^2+0^2} \sqrt{2^2+1^2+(-\sqrt{5})^2}}=\frac{1}{2}
$$

从而 $B=3 A$ 或 $B=-\frac{1}{3} A$ ，
所以有 $\Pi: x+3 y=0$ 或 $\Pi: 3 x-y=0$.

`例` 一平面通过两点 $M_1(1,1,1)$ 和 $M_2(0,1,-1)$ 且垂直于平面 $x+y+z=0$ ， 求该平面方程.
解 $\overrightarrow{M_1 M_2}=(0-1,1-1,-1-1)=(-1,0,-2)$ ， 根据题意，可取 $\boldsymbol{n}=\overrightarrow{M_1 M_2} \times \boldsymbol{n}_1$ ， 其中 $\boldsymbol{n}_1$ 为已知平面的法向量， $\boldsymbol{n}_1=(1,1,1)$ ，故

$$
\boldsymbol{n}=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
-1 & 0 & -2 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|=(2,-1,-1),
$$

因此所求平面方程为

$$
2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0 \text { ， 即 } 2 x-y-z=0 \text {. }
$$

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