科数网
公式
首页
初中
高中
高数
线代
概率
高中物理
赞助
在线教程
高等数学
第五章 向量与空间解析几何
直线与平面的夹角
最后更新:
2023-10-01 11:28
查看:
277
次
下载
编辑本文
科数网
直线与平面的夹角
直线 $l$ 和它在平面 $\pi$ 上的投影直线所构成的角称为该直线与平面的夹角（见 图 5-44 所示). 记为 $\varphi: 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}$. 当直线与平面垂直时，规定 $\varphi=\frac{\pi}{2}$. 设直线 $l: \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} ， \boldsymbol{s}=(m, n, p)$ ， 平面 $\Pi$ : $A x+B y+C z+D=0 ， \boldsymbol{n}=(A, B, C)$ ， 则 $\varphi=\left|\frac{\pi}{2}-\langle\boldsymbol{s}, \boldsymbol{n}\rangle\right|$ ，因此 $$ \sin \varphi=|\cos \langle s, \boldsymbol{n}\rangle|=\frac{|A m+B n+C p|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} \sqrt{m^2+n^2+p^2}} . $$ 当 $l / / \Pi$ 时， $\boldsymbol{s} \perp \boldsymbol{n}$ ，即有 $A m+B n+C p=0$ ； 当 $l \perp \Pi$ 时， $\boldsymbol{s} / / \boldsymbol{n}$ ，即有 $\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$.  例 7 设直线 $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2}$, 平面 $\Pi: x-y+2 z=3$, 求直线与平面的夹角 $\varphi$. 解 平面的法向量 $\boldsymbol{n}=(1,-12)$, 直线的法向量为 $s=(2,-1,2)$, 则 $$ \sin \varphi=\frac{|A m+B n+C p|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} \cdot \sqrt{m^2+n^2+p^2}}=\frac{|1 \times 2+(-1) \times(-1)+2 \times 2|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{9}}=\frac{7 \sqrt{6}}{18} . $$ 所以 $\varphi=\arcsin \frac{7 \sqrt{6}}{18}$ 为所求夹角.
上一篇：
新知识
下一篇：
平面束
本文对您是否有用？
有用
(
0
)
无用
(
0
)
科数网知识库旨在打造一个可以顺序阅读的在线电子学习教程，点击顶部的
编辑本文
来完善本文，如果本文对您有用，我们感觉很高兴。 科数网目前处于严重的亏损状态，也欢迎
赞助我们
，支持本站的发展。
0
篇笔记
写笔记
更多笔记
提交笔记