余子式与代数余子式

日期: 2023-01-02 10:23 查看: 63 次

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & \cdots & a_{i j} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|
$$

元素$a_{ij}$的余子式记为

$$
M_{i j}=\left|\begin{array}{cccccc}
a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\
a_{i+1,1} & & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right| .
$$

元素$a_{ij}$的代数余子式记为 $A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j} \text {. }$
即：代数余子式多了一个正负号。

设矩阵$A$为，按照第三行第二列展开，

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102319049c.png)
则 $|\boldsymbol{A}|  $   的 $(3,2) $ 元素的余子式和代数余子式分别为

$$
M_{32}=\left|\begin{array}{ccc}
4 & 1 & 3 \\
2 & 3 & 0 \\
1 & 0 & -3
\end{array}\right|, \quad A_{32}=(-1)^{3+2} M_{32}=-M_{32}
$$

$|\boldsymbol{A}|$ 的 $(1,3)$ 元素的余子式和代数余子式分别为

$$
M_{13}=\left|\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
-2 & 3 & 1 \\
1 & -1 & -3
\end{array}\right| \quad, \quad A_{13}=(-1)^{1+3} M_{13}=M_{13}

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