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高等数学
第五章 向量与空间解析几何
直线与平面的夹角
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2024-10-05 20:34
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直线与平面的夹角
## 直线与平面的夹角 直线 $l$ 和它在平面 $\pi$ 上的投影直线所构成的角称为该直线与平面的夹角（见 图 5-44 所示). 记为 $\varphi: 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}$. 当直线与平面垂直时，规定 $\varphi=\frac{\pi}{2}$. 设直线 $l: \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} ， \boldsymbol{s}=(m, n, p)$ ， 平面 $\Pi$ : $A x+B y+C z+D=0 ， \boldsymbol{n}=(A, B, C)$ ， 则 $\varphi=\left|\frac{\pi}{2}-\langle\boldsymbol{s}, \boldsymbol{n}\rangle\right|$ ，因此 $$ \sin \varphi=|\cos \langle s, \boldsymbol{n}\rangle|=\frac{|A m+B n+C p|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} \sqrt{m^2+n^2+p^2}} . $$ 当 $l / / \Pi$ 时， $\boldsymbol{s} \perp \boldsymbol{n}$ ，即有 $A m+B n+C p=0$ ； 当 $l \perp \Pi$ 时， $\boldsymbol{
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