最后更新: 2024-10-05 20:39 查看: 962 次反馈同步训练

平面束

## 平面束
通过定直线的平面的全体称为过该直线的平面束。

![图片](/uploads/2024-10/9ee351.jpg)

有时候用平面束解题非常 方便，现在我们来介绍它的方程.
设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 \\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0\end{array}\right.$ ，
其中系数 $A_1, B_1, C_1$ 与 $A_2, B_2, C_2$ 不成比例，则过该直线的平面束方程为

$$
\lambda_1\left(A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1\right)+\mu\left(A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2\right)=0 ，
$$

或

$$
A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1+\lambda\left(A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2\right)=0 ，
$$

注意: 若 (3) 中 $\lambda_1 \neq 0$ ，则可将 (3) 写成 (4)；但 (4) 中并不包括平面

$$
A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 \text {. }
$$

`例` 一平面过直线 $\left\{\begin{array}{c}x+y-z=0 \\ x-y+z-1=0\end{array}\right.$ 和点 $(1,1,-1)$, 求该平面方程.
解 设过已知直线的平面束为

$$
x+y-z+\lambda(x-y+z-1)=0 ，
$$

又点 $(1,1,-1)$ 满足方程，即由 $1+1-(-1)+\lambda(1-1-1-1)=0$ ，得 $\lambda=\frac{3}{2}$ ， 因此所求平面方程为

$$
x+y-z+\frac{3}{2}(x-y+z-1)=0 \text { ， 即 } 5 x-y+z-3=0 \text {. }
$$

`例` 过直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z-6=0 \\ x-2 y+z=0\end{array}\right.$ 作平面 $\Pi$ ，使它垂直于平面 $\Pi_1: x+2 y+z=0$.
解 设过直线 $L$ 的平面束的方程为 $(x+2 y-z-6)+\lambda(x-2 y+z)=0$,
即 $(1+\lambda) x+2(1-\lambda) y+(\lambda-1) z-6=0$.
现要在上述平面束中找出一个平面图 П, 使它垂直于题设平面 $\Pi$ 故平面 $\Pi$ 的 法向量 $\boldsymbol{n}_\lambda$ 垂直于平面 $\Pi_1$ 的法向量 $\boldsymbol{n}_1=(1,2,1)$. 于是 $\boldsymbol{n}_\lambda \sqsubset \boldsymbol{n}_1=0$, 即 解得 $\lambda=2$, 故所求平面方程为

$$
\text { П: } 3 x-2 y+z-6=0 .
$$

容易验证，平面 $x-2 y+z=0$ 不是所求平面.

`例`在一切过直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x+y+z+4=0 \\ x+2 y+z=0\end{array}\right.$ 的平面中找出平面 $\Pi$ ，使原点到它 的距离最长.
解 设通过直线 $L$ 的平面束方程为 $(x+y+z+4)+\lambda(x+2 y+z)=0$, 即 $(1

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【高中数学】直线束与不等式解集

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