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伴随矩阵与矩阵的求逆公式
日期:
2023-01-02 11:22
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**定义** 设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶方阵， $A_{i j}$ 是 $|A|$ 的 $(i, j)$ 元素 $a_{i j}$ 的代数余子式则矩阵 $$ \boldsymbol{A}^*=\left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n} \end{array}\right) $$ 称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵. 引理 设方阵 $A^*$ 是 $n$ 阶方阵 $A$ 的伴随矩阵，则必有 $A A^*=A A^*=\left(\begin{array}{llll}|A| & & \\ & & \\ & & & \\ & \ddots & \\ & & |A|\end{array}\right)=|A| E$. 证明 乘积矩阵 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元为: $$ a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=\delta_{i j}|\boldsymbol{A}| . $$ 即： $A A^*=|A| E$. 类似可得， $A^* A=|A| E$. 定理 1 如果 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，则有求逆公式 $A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*$. 证明 如果 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，则有 $|A| \neq 0$. 于是在公式 $A A^*=A^* A=|A| E$ 两端同除以 $|A|$ 得 $$ \boldsymbol{A}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*\right)=\left(\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*\right) \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E} $$ 因此有 $A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{\prime}$. 例1 设 2 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, 因为 $|A|= \mid \begin{array}{l}a & b \\ c & d\end{array} \mid=a d-b c$ ，所以当 $a d-b c \neq 0$ 时，矩阵 $A$ 可逆. 且由于 $A$ 的伴随矩阵 $A^*=\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right)$, 所以 $A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right)$. 
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搭建，最后更新于
2023-01-02 11:22
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