最后更新: 2025-02-11 13:20 查看: 645 次反馈刷题

旋转曲面

## 旋转曲面
**定义** 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线就叫做旋转曲面的轴.
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### 曲面方程
设在 $y O z$ 坐标面上有一已知曲线 $L: f(y, z)=0$ ，将 $L$ 绕 $z$ 轴旋转就得到一个 以 $z$ 轴为旋转轴的旋转曲面 $S$.
设 $M_1\left(0, y_1, z_1\right)$ 为 $L$ 上任一点，则 $f\left(y_1, z_1\right)=0$ ，当 $L$ 绕 $z$ 轴旋转时，点 $M_1$ 也绕 $z$ 轴旋转到另一点 $M(x, y, z)$ ， 这 时 $z=z_1$ 保持不变 (见图 5-47).
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**定义** 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线就叫做旋转曲面的轴.

$M$ 到 $z$ 轴的距离 $d$ 保持不变且等于 $\left|y_1\right|$,
而$d=\sqrt{x^2+y^2}=\left|y_1\right|$ ，
或 $y_1=\pm \sqrt{x^2+y^2}$, 由 $f\left(y_1, z_1\right)=0$ 得
$f\left(\pm \sqrt{x^2+y^2}, z\right)=0 ...(1)$ ，
这就是旋转曲面 $S$ 的方程. 容易看到，不在曲面 $S$ 上的点的坐标不会满足(1) 式，因此 (1) 式就是以曲线 $C$ 为母线， $z$ 轴为旋转轴的曲面 $S$ 的方程.

类似地，在曲线 $L$ 的方程 $f(y, z)=0$ 中，变量 $z$ 保持不变，将 $\pm \sqrt{x^2+y^2}$ 替 换 $y$ ，就得到曲线 $L$ 绕 $z$ 轴旋转所形成的旋转曲面方程.
同理，曲线 $L: f(y, z)=0$ 绕 $y$ 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 $f\left(y, \pm \sqrt{x^2+z^2}\right)=0$.

## 例题
`例`直线 $L$ 绕另一条与 $L$ 相交的定直线旋转一周， 所得旋转曲面称为叫**圆锥面**，两直线的交点称为**圆锥面的顶点**，两直线的夹角 $\alpha\left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ 称为圆锥面的**半顶角**. 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 $z$ 轴，半顶角为 $\alpha$ 的圆锥面方程

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解 ：(见图 5-48).$y O z$ 面上直线方程为 $L: z=y \cot \alpha$, 注意到旋转轴 为 $z$ 轴，有

$$
d=\pm \sqrt{x^2+y^2},
$$

锥面方程为

$$
z=\pm \sqrt{x^2+y^2} \cot \alpha \text { 或 } z^2=a^2\left(x^2+y^2\right)(a=\cot \alpha) \text {. }
$$

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同样我们可以得到了常见的几个旋转曲面方程:
(1) 当 $y O z$ 平面上抛物线 $y^2=2 p z$ 绕 $z$ 轴旋转就得到一个以 $z$ 轴为旋转轴的旋转曲面，其方程为 $\left(\pm \sqrt{x^2+y^2}\right)^2=2 p z$ ，即 $x^2+y^2=2 p z$ ，这是**旋转抛物面方程** (见图 5-49）.

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(2) 当 $x O z$ 平面上椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 绕 $z$ 轴旋转就得到一个以 $z$ 轴为旋转轴的旋转曲面，其方程为 $\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ ，这是**旋转椭球面方程** (见图 5-50）.

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(3) 当 $x O z$ 平面上双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 绕 $x$ 轴旋转就得到一个以 $x$ 轴为旋转轴的旋转曲面，其方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1$ (见图 5-51)；若绕 $z$ 轴旋转就得到 $\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ (见图 5-52)，这是**旋转双曲面方程**，前者是双叶旋转双曲面，后者是单叶旋转双曲面.

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