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最后更新: 2025-02-11 13:20    查看: 592 次    高考专区    考研专区    公式专区    刷题专区    词条搜索       

旋转曲面

旋转曲面

定义 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线就叫做旋转曲面的轴.
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曲面方程

设在 yOz 坐标面上有一已知曲线 L:f(y,z)=0 ,将 Lz 轴旋转就得到一个 以 z 轴为旋转轴的旋转曲面 S.
M1(0,y1,z1)L 上任一点,则 f(y1,z1)=0 ,当 Lz 轴旋转时,点 M1 也绕 z 轴旋转到另一点 M(x,y,z) , 这 时 z=z1 保持不变 (见图 5-47).
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定义 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线就叫做旋转曲面的轴.

Mz 轴的距离 d 保持不变且等于 |y1|,
d=x2+y2=|y1|
y1=±x2+y2, 由 f(y1,z1)=0
f(±x2+y2,z)=0...(1)
这就是旋转曲面 S 的方程. 容易看到,不在曲面 S 上的点的坐标不会满足(1) 式,因此 (1) 式就是以曲线 C 为母线, z 轴为旋转轴的曲面 S 的方程.

类似地,在曲线 L 的方程 f(y,z)=0 中,变量 z 保持不变,将 ±x2+y2 替 换 y ,就得到曲线 Lz 轴旋转所形成的旋转曲面方程.
同理,曲线 L:f(y,z)=0y 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f(y,±x2+z2)=0.

例题

例1直线 L 绕另一条与 L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面,两直线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角 α(0<α<π2) 称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点,旋转轴为 z 轴,半顶角为 α 的圆锥面方程

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解 :(见图 5-48).yOz 面上直线方程为 L:z=ycotα, 注意到旋转轴 为 z 轴,有

d=±x2+y2,

锥面方程为

z=±x2+y2cotα 或 z2=a2(x2+y2)(a=cotα)

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同样我们可以得到了常见的几个旋转曲面方程:
(1) 当 yOz 平面上抛物线 y2=2pzz 轴旋转就得到一个以 z 轴为旋转轴的旋转曲面,其方程为 (±x2+y2)2=2pz ,即 x2+y2=2pz ,这是旋转抛物面方程 (见图 5-49).

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(2) 当 xOz 平面上椭圆 x2a2+z2c2=1z 轴旋转就得到一个以 z 轴为旋转轴的旋转曲面,其方程为 x2+y2a2+z2c2=1 ,这是旋转椭球面方程 (见图 5-50).

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(3) 当 xOz 平面上双曲线 x2a2z2c2=1x 轴旋转就得到一个以 x 轴为旋转轴的旋转曲面,其方程为 x2a2y2+z2c2=1 (见图 5-51);若绕 z 轴旋转就得到 x2+y2a2z2c2=1 (见图 5-52),这是旋转双曲面方程,前者是双叶旋转双曲面,后者是单叶旋转双曲面.

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