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高等数学
第五章 向量与空间解析几何
柱面
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更新:
2025-02-11 13:22
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柱面
## 柱面 平行于定直线并沿定曲线 $C$ 移动的直线 $L$ 形成的轨迹叫做柱面 (见图 5-53). 其中定曲线 $C$ 称为柱面的准线，动直线 $L$ 称为柱面的母线.  例如，在平面解析几何中，方程 $x^2+y^2=R^2$ 表示 $x O y$ 面上圆心在原点 $O$ 半径为 $R$ 的圆. 在 空间直角坐标系中，这方程不含坚坐标 $z$ ，即 无论空间点的坚坐标 $z$ 怎样，只要他的横坐标 $x$ 和纵坐标 $y$ 能满足这方程，那么这些点就在这 曲面上. 因此, 这个曲面可以看成是由平行于 $z$ 轴的直线 $l$ 沿 $x O y$ 面上的圆 $x^2+y^2=R^2$ 移动而 形成的. 所以在空间解析几何中， $x^2+y^2=R^2$ 表示圆柱面 (见图 5-54)，准线为 $x O y$ 平面上 的一个圆，母线是平行于 $z$ 轴的直线.  一般地，设有一柱面，准线是 $x O y$ 面上的曲线 $C$ $$ \left\{\begin{array}{c} F(x, y)=0 \\ z=0 \end{array},\right. $$ 其母线平行于 $z$ 轴. 点 $M(x, y, z)$ 是柱面上任意 一点，过点 $M$ 作平行于 $z$ 轴的直线，交曲线 $C$ 于点 $M_1$. 显然点 $M_1$ 和 $M$ 有相同的横坐标和纵坐标 (见 图 5-53) . 由于点 $M_1(x, y, 0)$ 在曲线上，故它的坐 标满足的方程，即 $$ F(x, y)=0 \text {, } $$  $$ F(x, y)=0 $$ 又 (2) 式与 $z$ 无关，所以 $M(x, y, z)$ 的坐标也满足 (2) 式. 此外，对于不在柱面的点，它在 $x O y$ 面上的垂足不在曲线 $C$ 上，故其坐标 不会满足 (2) 式. 因此 (2) 式就是母线平行于 $z$ 轴，准线为曲线
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