线性方程组有解的判定定理

日期: 2023-01-02 16:13 查看: 68 次

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定理 1
(1) 线性方程组 $A x=\beta$ 无解的充分必要条件是 $R(A)<R(\tilde{A})$;
(2) 线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A})=R(\tilde{\boldsymbol{A}})$ 且当 $R(\boldsymbol{A})=R(\tilde{\boldsymbol{A}})=n$ 时有唯一解，当 $R(\boldsymbol{A})=R(\tilde{\boldsymbol{A}})=r<n$ 时有无穷多解.
证明 对增广矩阵 $A$ 实施初等行变换，化为行最简形矩阵 $\tilde{R}$ ，为叙述方便，不妨设 $\tilde{R}$ 为:

$$
\tilde{\boldsymbol{R}}=\left(\begin{array}{cccccccc}
1 & 0 & \cdots & 0 & a_{1, r+1}^{\prime} & \cdots & a_{1 n}^{\prime} & d_1 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & a_{2, r+1}^{\prime} & \cdots & a_{2 n}^{\prime} & d_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & a_{r, r+1}^{\prime} & \cdots & a_{r n}^{\prime} & d_r \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & d_{r+1} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{array}\right),
$$

于是，R的前n列就是系数矩阵的行最简形。
线性方程组 $A x=\beta$ 无解的充分必要条件是 $\tilde{R}$ 的首元出现在 $\tilde{R}$ 的最后一列，即 $d_{r+1} \neq 0$ ， 此时 $R(\boldsymbol{A})=r$ ，而 $R(\tilde{\boldsymbol{A}})=r+1$.
而线性方程组 $A \boldsymbol{x}=\beta$ 一定有解的充分必要条件是 $\tilde{R}$ 的首元不出现在 $\tilde{R}$ 的最后一列， 即 $d_{r+1}=0$ ，此时 $R(\boldsymbol{A})=R(\tilde{\boldsymbol{A}})$. 且当 $R(\boldsymbol{A})=R(\tilde{\boldsymbol{A}})=n$ 时， $\tilde{\boldsymbol{R}}$ 的首元的个数等于末知量的个数， 从而线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有唯一解；当 $R(\boldsymbol{A})=R(\tilde{\boldsymbol{A}})=r<n$ 时，首元的个数小于末知量的个数， 线性方程组 $A x=\beta$ 有无穷多解.
定理 3
（1）线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A})=n$ ；
(2) 线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A})=r<n$.

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