方阵相似的定义与性质

日期: 2023-01-02 18:52 查看: 121 次

定义 1
设 $A$, B 都是 $n$ 阶矩阵, 若有可逆矩阵 $P$, 使

$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B},
$$

则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵, 或者说矩阵 $A$ 与 $B$ 相似. 对 $A$ 进行运算 $P^{-1} A P$ 称为对
$\boldsymbol{A}$ 进行相似变换可逆矩阵 $P$ 称为把 $\boldsymbol{A}$ 变成 $\boldsymbol{B}$ 的相似变换矩阵.
定理 1
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征多项式，从而 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值.
证明 因 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，即有可逆矩阵 $P$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$, 故

$$
|\boldsymbol{B}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}-\boldsymbol{P}^{-1}(\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}\right|=\left|\boldsymbol{P}^{-1}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}\right|=\left|\boldsymbol{P}^{-1}\right| \cdot|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}| \cdot|\boldsymbol{P}|=|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}| .
$$

推论 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵

$$
\Lambda=\left(\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& \ddots & \\
& & \lambda_n
\end{array}\right)
$$

相似,则 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 即是 $A$ 的 $n$ 个特征值.
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，即 $P^{-1} A P=B$ ，则 $A^k=\left(P B P^{-1}\right)^k=P B^k P^{-1}$ ，并且 $A$ 的多项式

$$
\begin{aligned}
& \varphi(A)=a_m A^m+\cdots+a_1 A+a_0 E=a_m\left(P B P^{-1}\right)^m+\cdots+a_1\left(P B P^{-1}\right)+a_0 E=a_m\left(P B^m P^{-1}\right)+\cdots+a_1\left(P B P^{-1}\right)+a_0 E \\
&=P\left(a_m B^m\right) P^{-1}+\cdots+P\left(a_1 B\right) P^{-1}+P\left(a_0 E\right) P^{-1}=P\left(a_m B^m+\cdots+a_1 B+a_0 E\right)
\end{aligned}
$$

特别地，若有可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P=\Lambda$ 为对角阵，则

$$
A^k=P \Lambda^k P^{-1}, \varphi(A)=P \varphi(\Lambda) P^{-1} .
$$

而对于对角阵 $\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right)$ ，有

$$
\boldsymbol{\Lambda}^k=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_1^k & & & \\
& \lambda_2^k & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n^k
\end{array}\right), \quad \varphi(\boldsymbol{\Lambda})=\left(\begin{array}{llll}
\varphi\left(\lambda_1\right) & & & \\
& \varphi\left(\lambda_2\right) & & \\
& & \ddots & \\
& & & \varphi\left(\lambda_n\right)
\end{array}\right) \text {, }
$$

由此可方便地计算 $\overline{\boldsymbol{A}}$ 的高次幕 $\boldsymbol{A}^{\bar{k}}$ 及 $\boldsymbol{A}$ 的多项式 $\bar{\varphi}(\overline{\boldsymbol{A}})$.
设 $f(\lambda)$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式,则

$$
f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O} .
$$

这个结论的证明比较困难，但若 $A$ 与对角阵相似，则容易证明此结论.
这是因为: 若 $A$ 与对角阵相似，即有可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P=\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right)$ ，其中 $\lambda_i$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，有 $f\left(\lambda_i\right)=0$.
于是由上面的讨论可得:

$$
f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{P} f(\boldsymbol{\Lambda}) \boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{llll}
f\left(\lambda_1\right) & & & \\
& f\left(\lambda_2\right) & & \\
& & \ddots & \\
& & & f\left(\lambda_n\right)
\end{array}\right) \boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{O} \boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{O} .

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