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方阵相似的定义与性质
日期:
2023-01-02 18:52
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定义 1 设 $A$, B 都是 $n$ 阶矩阵, 若有可逆矩阵 $P$, 使 $$ \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}, $$ 则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵, 或者说矩阵 $A$ 与 $B$ 相似. 对 $A$ 进行运算 $P^{-1} A P$ 称为对 $\boldsymbol{A}$ 进行相似变换可逆矩阵 $P$ 称为把 $\boldsymbol{A}$ 变成 $\boldsymbol{B}$ 的相似变换矩阵. 定理 1 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似,则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征多项式,从而 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值. 证明 因 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似,即有可逆矩阵 $P$ ,使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$, 故 $$ |\boldsymbol{B}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}-\boldsymbol{P}^{-1}(\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}\right|=\left|\boldsymbol{P}^{-1}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}\right|=\left|\boldsymbol{P}^{-1}\right| \cdot|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}| \cdot|\boldsymbol{P}|=|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}| . $$ 推论 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵 $$ \Lambda=\left(\begin{array}{llll} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{array}\right) $$ 相似,则 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 即是 $A$ 的 $n$ 个特征值. 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似,即 $P^{-1} A P=B$ ,则 $A^k=\left(P B P^{-1}\right)^k=P B^k P^{-1}$ ,并且 $A$ 的多项式 $$ \begin{aligned} & \varphi(A)=a_m A^m+\cdots+a_1 A+a_0 E=a_m\left(P B P^{-1}\right)^m+\cdots+a_1\left(P B P^{-1}\right)+a_0 E=a_m\left(P B^m P^{-1}\right)+\cdots+a_1\left(P B P^{-1}\right)+a_0 E \\ &=P\left(a_m B^m\right) P^{-1}+\cdots+P\left(a_1 B\right) P^{-1}+P\left(a_0 E\right) P^{-1}=P\left(a_m B^m+\cdots+a_1 B+a_0 E\right) \end{aligned} $$ 特别地,若有可逆矩阵 $P$ ,使 $P^{-1} A P=\Lambda$ 为对角阵,则 $$ A^k=P \Lambda^k P^{-1}, \varphi(A)=P \varphi(\Lambda) P^{-1} . $$ 而对于对角阵 $\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right)$ ,有 $$ \boldsymbol{\Lambda}^k=\left(\begin{array}{cccc} \lambda_1^k & & & \\ & \lambda_2^k & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n^k \end{array}\right), \quad \varphi(\boldsymbol{\Lambda})=\left(\begin{array}{llll} \varphi\left(\lambda_1\right) & & & \\ & \varphi\left(\lambda_2\right) & & \\ & & \ddots & \\ & & & \varphi\left(\lambda_n\right) \end{array}\right) \text {, } $$ 由此可方便地计算 $\overline{\boldsymbol{A}}$ 的高次幕 $\boldsymbol{A}^{\bar{k}}$ 及 $\boldsymbol{A}$ 的多项式 $\bar{\varphi}(\overline{\boldsymbol{A}})$. 设 $f(\lambda)$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式,则 $$ f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O} . $$ 这个结论的证明比较困难,但若 $A$ 与对角阵相似,则容易证明此结论. 这是因为: 若 $A$ 与对角阵相似,即有可逆矩阵 $P$ ,使 $P^{-1} A P=\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right)$ ,其中 $\lambda_i$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值,有 $f\left(\lambda_i\right)=0$. 于是由上面的讨论可得: $$ f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{P} f(\boldsymbol{\Lambda}) \boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{llll} f\left(\lambda_1\right) & & & \\ & f\left(\lambda_2\right) & & \\ & & \ddots & \\ & & & f\left(\lambda_n\right) \end{array}\right) \boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{O} \boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{O} . $$
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2023-01-02 18:52
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