最后更新: 2025-04-22 18:44 查看: 456 次反馈刷题

梯度

## 先驱知识
为了方便理解本文，先介绍一些必要的先驱知识。
数学研究的函数主要包括两类：
（1）标值函数，即只有大小的函数。
（2）向量函数，即同时有大小和方向的函数。
在物理里，不管是力，速度，还是加速度磁场等都是既有大小又有方向的向量，这就是向量场，后面我们可以看到，**通过梯度，可以把数量场转换为向量场。**

### 向量空间的分解
其实对于向量的处理，我们并没有更高级的方法，基本思想就是“坐标分解，单独处理”，例如对于三维空间的力基本思想是进行坐标分解，如下图：
在三维空间的力$\boldsymbol{F}$ 可以沿着$X,Y,Z$坐标轴进行分解。

设力$F$与$x$轴夹角为$\alpha$（图中未画出）, 与$y$轴夹角为$\beta$（图中未画出）,  与z轴夹角为$\gamma$ ,同时用$i,j,k$ 分别表示 $x,y,z$轴的单位
 ![图片](/uploads/2025-01/20a58d.svg){width=400px}
 
 这样，就可以得到力F在三维空间上的分解为：
 
 $$
 \boxed{
 {F}= F cos \alpha i + F \cos \beta j +F cos \gamma k
 }
 $$
 这就是空间向量的**代数式表示**方法。
 
 另外一种方法是，写成**坐标形式**，写成尖括号形式
 $$
 \boxed{
 {F}= < F cos \alpha, F \cos \beta ,F cos \gamma k >=( F cos \alpha, F \cos \beta ,F cos \gamma k )
 }
 $$
 
有时候也可以写成括号
 
 $$
 \boxed{
 {F}= ( F cos \alpha, F \cos \beta ,F cos \gamma   )
 }
 $$
 
 这三种仅是一种约定的表示向量方法。因此，**对于一个数量函数$f(x,y,z)$，如果沿着$x,y,z$ 分别求导，并给各个方向增加$i,j,k$ 单位，就可以把数量场转换为向量场。**
  
  
 ### 单位向量
 高中学过向量，把模长为1的向量定义为单位向量。 给定三维空间一个坐标，通过模可以获得他的单位向量，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1598)
  假若 $ x$ 是 $R ^3$ 中的向量，且 $ x= (5,8,3)$ ， 那么 $\| x\|$ 长度就是空间长方体对角形的长度，也就是$||x||=\sqrt{5^2+8^2+3^2}=\sqrt{98}$
  ![图片](/uploads/2024-11/d3b64a.jpg){width=300px}

这样，单位向量$u=(\dfrac{5}{\sqrt{98}} ,\dfrac{8}{\sqrt{98}} \dfrac{3}{\sqrt{98}} )$ 这就相当于对一个向量进行了单位化。

## 为什么要引入方向导数的概念
方向导数是将刻画一元函数变化率的导数概念推广到多元函数后产生的一个重要概念。由于多元函数的自变量多于一个，定义域是多维空间的区域，因此，当自变量过定义域中的定点沿不同方向变化时，函数值的变化快慢也不尽相同。为了刻画多元函数在某点沿给定方向变化的变化率，就提出了方向导数的概念．**另一方面，科学技术中的许多问题，也需要研究多元函数在某点沿不同方向的变化率**，即方向导数．

例如，在气象学中，为了预报在某地的风速利风向，就要研究气压在该地沿不同方向变化的快慢；在热传导问题中，需要研究在某点温度沿不同方向升高或降低的速度；在电学中，需要知道电场中某点的电位沿什么方向变化最快，求出最大变化率；有些动物（如渻鱼，猎犬等）是根据猎物身上的某种气味浓度变化最快的方向去追寻猎物的，为了确定它们追逐猎物的路线，需要求出气味浓度变化最快的方向和最大变化率等。上述诸例中的气压，温度，电压和气味浓度的变化率的问题都是多元函数的方向导数问题。

###  方向导数的理解
上面介绍了方向导数，这里简单回顾一下，假设有一个函数 $f=(x,y,z)$ ,他是空间一个函数,你可以把$f$想象为一个电磁场，这个场里面有一个粒子，这个电磁场在每个方向上都给粒子一个力，让粒子运动，而粒子最终的速度是所有力合成后的结果。

那么方向导数怎么求呢？

> **假设要求粒子沿着 $l$ 方向的速率。基本思想是：把各个速度都投影到 $l$ 上，然后直接相加即可。这里相当于进行了二次投影，首先，把速度$V$，沿着$x,y,z$ 进行投影，得到$v_x,v_y,v_z$ ， 接着，再把 $v_x,v_y,v_z$沿着 $l$ 进行投影，最后再把这3个分量相加就是沿着 $l$ 的速度**

因为三维空间不好画图，我们以二维的方向导数为例，对曲线$f$ 求$x,y$的偏导，其实就是求沿着$x,y$方向的速度, 这里记为$F_x, F_y$。 参考下图，现在任意指定一个方向$l$， 只要把$F_x, F_y$ 的速度分量投影到$l$ 得分量$F_x \cos \alpha $ 和 $F_y \cos \beta $ 相加即可。三维的思路和这一样。

![图片](/uploads/2025-01/ce4585.jpg)

所以，二维平面方向导数的公式为
$$
\boxed{
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta
}
$$
  
## 梯度
数量场反应的是静态的量，而向量场反应的是“变换的量”，在实际生活里，我们更感兴趣的是“变换的量”。 比如你爬山，让你疲劳的是山的陡峭度，而不是高度。因此，研究梯度的本质就是了解物体将要发生变化的规律。想象一下，你在山上，你要下山，你会怎么走？自然是沿着下山坡速度最快的方向走。  **方向导数相当于知道每一点的速度，而梯度则指明了速度变化最大的方向**。毫无以疑问，我们感兴趣的往往是变化最大的量。

![图片](/uploads/2025-01/c24f06.svg){width=400px}

方向导数相当于你给了我一个方向，我可以求出沿着这个方向的速度大小。但是，我们更多时候关心的是粒子沿着那个方向的速度最大。
给定一个函数，分别求出他的方向导数，然后并给与对应的单位，
$$
f_x\left(x_0, y_0\right) i +f_y\left(x_0, y_0\right) j
$$

> **可以证明沿着梯度方向是速度变化最大的方向。**

###  哈密顿算子$\nabla$ 与 拉普拉斯算子$\Delta$  
在进行进一步讲解前，我们介绍两个符号：哈密顿算子和 拉普拉斯算子。
所谓算子， 就是一个函数变为另外一个函数，最简单的$f(x)$求导变成$f'(x)$就是一个算子，更通俗的说，你可以想象为他是一个**简写**。就像我们说电视不说television，而说TV一样，使用算子，会让公式看起来非常简洁，但是苦了不懂算子的人。

在物理中，有2个重要的算子：哈密顿算子和拉普拉斯算子
#### 哈密顿算子$\nabla$
形如这样的叫哈密顿算子，记做 $\nabla$，中文叫“那布拉”
$$
\nabla=\left\{\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right\} .
$$
这里的$f$表示一个函数，$x,y,z$表示对$f$分别求[偏导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=380)。
所以，$f$带入不同的值，会有不同的物理意义，常见的有2个：

①设 $f=U(x, y, z)$ 为数量场，则梯度 $\operatorname{grad} U=\nabla U$ ．
②设 $f=\vec{F}(x, y, z)$ 为向量场，则散度 $\operatorname{div} \overrightarrow{ F }=\nabla \cdot \overrightarrow{ F }$ ，旋度 $\operatorname{rot} \overrightarrow{ F }=\nabla \times \overrightarrow{ F }$ ．

$\nabla$ • 符号（读作＂del dot＂）表示散度算符，
 $\nabla \times$ 符号（读作＂del cross＂）表示旋度算符。
 
#### 拉普拉斯算子 $\Delta$
拉普拉斯算子 $\Delta$ 称作德尔塔
他的形状通常是
$$
\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$

可以证明：
$\Delta =\nabla \cdot \nabla$

如果有一个函数$\varphi$.
①如果$\Delta \varphi=0$ 称 拉普拉斯（Laplace）方程
②如果$\Delta \varphi=f(x, y, z)$称 泊松方程

## 如何求梯度
方向导数相当于你给了我一个方向，我可以求出沿着这个方向的速率变化大小，那么如何求得变化率的最大值呢？
如何寻找梯度方向？这里先引入一个定理：对于连续型曲面，经过一个切点的所有切线，在一个平面内，这个平面被称为切平面。详细证明请参考[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395)

考虑空间一个曲面（下图橙色），过点P的**切平面**为一个平面图形（下图蓝色）。
 ![图片](/uploads/2024-12/f182bf.jpg){width=380px}

为了方便观看，把切平面提取出来，放到三维空间里，以$P$在$Z$轴上建立空间坐标系，切平面与$x$轴和$y$轴相交与$A$,$B$两点。如下图

![图片](/uploads/2024-12/b62095.jpg){width=450px}
 
 取 $OA =\Delta x, OB =\Delta y, OP =\Delta z$ 。
$\alpha, \beta$ 两个角的正切值就是我们熟知的两个偏导数了

$$
\begin{aligned}
& f_x=\tan \alpha= \frac{\Delta z}{\Delta x} ...① \\
& f_y=\tan \beta=\frac{\Delta z}{\Delta y} ...②
\end{aligned}
$$

二元函数 $z=f(x, y) , x , y$ 是自变量， $z$ 是因变量。因此我们看的是 $z$ 值的下降速度。从$P$点落到$xoy$平面，很明显$PM$是下降最快的方式。$PM$在$XOY$上的投影$OM$就是**梯度的方向**了。

那$OM$方向上的函数的变化率就是梯度的大小了.

$$
\nabla f=\tan \gamma= \dfrac{\Delta z}{O M}
$$

通过解底面三角形 $O A B$ 可以得到 ($O A B$ 可以认为边长为$\Delta x ，\Delta y$ 的直角三角形，$OM$ 为斜边上的高，根据面积相等 
$S =\frac{1}{2} \Delta x \times \Delta y= \frac{1}{2} \sqrt{\left(\Delta x^2+\Delta y^2\right)} \times  OM $,可以求出$OM$), 即

$O M= \dfrac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{\left(\Delta x^2+\Delta y^2\right)}} ...③$

由①②③代入三角形$OMP$可以得到 $\nabla f=\tan \gamma= \dfrac{\Delta z }{ O M} =\sqrt{\left(f_x^2+f_y^2\right)}$
这样就得到了梯度的模

通过$\overrightarrow{O M}$与$\overrightarrow{A B}$垂直，就能得到梯度的单位向量，至此，我们可以得出 $\overrightarrow{\nabla f}=\left(f_x, f_y\right)$ 。

### 二元梯度定义

以 $D$为定义域的数量场 $f$ ，设 $f$ 对其各个变元连续可偏导，则称向量

$$
\operatorname{grad} f=\frac{\partial f}{\partial x} i+\frac{\partial f}{\partial y} j 
$$

为二维梯度。

记作 $\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)$ 或 $\nabla f\left(x_0, y_0\right)$ ，即

$$
\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)=\nabla f\left(x_0, y_0\right)=f_x\left(x_0, y_0\right) i+f_y\left(x_0, y_0\right) j
$$

其中 $\nabla=\frac{\partial}{\partial x} i+\frac{\partial}{\partial y} j$ 称为（二维的）向量微分算子或 Nabla 算子，$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x} i+\frac{\partial f}{\partial y} j$ ．

### 三元梯度定义
以 $D$为定义域的数量场 $f$ ，设 $f$ 对其各个变元连续可偏导，则称向量

$$
\operatorname{grad} f=\frac{\partial f}{\partial x} i+\frac{\partial f}{\partial y} j+\frac{\partial f}{\partial z} k
$$

为 $f$ 在点 $(x, y, z)$ 的梯度．这里的符号 grad 是 gradient 的缩写．此外， 在场论中经常使用一个微分算子 $\nabla$ ，定义为

$$
\nabla=\frac{\partial}{\partial x} i+\frac{\partial}{\partial y} j+\frac{\partial}{\partial z} k,
$$

> 小提示：梯度看起来很难理解，但是题目做起来反而容易，给定一个函数，例如$f(x)=x^2+y^2+z^2$， 分别对$x,y,z$求导，就得到3个值，这三个字就是三维空间的三个坐标，可以写成$(P,Q,R)$方式，也可以写成$Pi+Qj+Rk$方式，这就是梯度向量，详见下面的例题

## 梯度，数量场转为向量场

在区域 $D \subset R$ 上定义的数值函数 $f(x, y, z)$ 称为 $D$ 上的**数量场**，同样，在 $D$ 上定义的向量值函数 $a (x, y, z)=(P, Q, R)$ 称为 $D$ 上的**向量场**．

对于数量场 $f$ 有梯度

$$
\operatorname{grad} f=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

即生成了一个向量场，称为 $f$ 的梯度场，$f$ 就是这个梯度场的**势函数**．如前所述，梯度反映了 $f$ 增长的最快方向和大小．
 
假设有一个空间温度函数$f(x,y,z)=x^2+y^2-z $，通过梯度,就可以了解每一点稳定变换的趋势，如下图，

> **梯度本质反映的是变化趋势，想象老师考试，从老师角度看，一张试卷太容易好还是太难好？肯定都不好，太容易了大家都是90分，太难了大家都是60分，这样没有区分度，一张好的试卷最主要的是有区分度，60分到90分的都有，这样，才能体现每个差异，而我们关注的就是“这种差异”就是梯度向量。关于梯度具体的作用请点击下一节 [梯度的作用](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2685)**

![图片](/uploads/2025-01/96c9f5.jpg){width=400px}

## 例题

`例`求 $\operatorname{grad} \frac{1}{x^2+y^2}$
解 这里 $f(x, y)=\frac{1}{x^2+y^2}$.
因为 $\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{2 x}{\left(x^2+y^2\right)^2}, \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{2 y}{\left(x^2+y^2\right)^2}$,
所以 $\operatorname{grad} \frac{1}{x^2+y^2}=-\frac{2 x}{\left(x^2+y^2\right)^2} \vec{i}-\frac{2 y}{\left(x^2+y^2\right)^2} \vec{j}$.

`例`设 $f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)$ ，点 $P_0(1,1)$ ，求：
（1）$f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处增加最快的方向以及 $f(x, y)$ 沿这个方向的方向导数；
（2）$f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处减少最快的方向以及 $f(x, y)$ 沿这个方向的方向导数；
（3）$f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处的变化率为零的方向．
解（1）$f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处沿 $\nabla f(1,1)$ 的方向增加最快，

$$
\nabla f(1,1)=\left.(x i+y j)\right|_{(1,1)}=i+j,
$$

故所求方向可取为

$$
n=\frac{\nabla f(1,1)}{|\nabla f(1,1)|}=\frac{1}{\sqrt{2}} i+\frac{1}{\sqrt{2}} j,
$$

方向导数为

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial n}\right|_{(1,1)}=|\nabla f(1,1)|=\sqrt{2} .
$$

（2）$f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处沿 $-\nabla f(1,1)$ 的方向减少最快，这方向可取为

$$
n_1=-n=-\frac{1}{\sqrt{2}} i-\frac{1}{\sqrt{2}} j
$$

方向导数为

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial n_1}\right|_{(1,1)}=-|\nabla f(1,1)|=-\sqrt{2} .
$$

（3）$f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处沿垂直于 $\nabla f(1,1)$ 的方向变化率为零，这方向是

$$
n_2=-\frac{1}{\sqrt{2}} i+\frac{1}{\sqrt{2}} j \text { 或 } n_3=\frac{1}{\sqrt{2}} i-\frac{1}{\sqrt{2}} j \text {. }
$$

`例`设 $z=f(x, y)=x \mathrm{e}^y$
(1) 求出 $f$ 在点 $P(2,0)$ 处沿从 $P$ 到 $Q\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 方向的变化率
(2) $f$ 在点 $P(2,0)$ 处沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少?
解 (1) 设 $\boldsymbol{e}_l$ 是与 $\overrightarrow{P Q}$ 同方向的单位向量，则 $\boldsymbol{e}_l=\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$, 又

$$
\nabla f(x, y)=\left(\mathrm{e}^y, x \mathrm{e}^y\right)
$$

所以 $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(2,0)}=\nabla f(2,0) \cdot \boldsymbol{e}_l=(1,2) \cdot\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)=1$
(2) $f$ 在点 $P(2,0)$ 处沿 $\nabla f(2,0)=(1,2)$ 方向具有最大的增长率，最大增长率 为 $|\nabla f(2,0)|=\sqrt{5}$

`例`求函数 $f(x, y, z)=(x-1)^2+2(y+1)^2+3(z-2)^2-6$ 在点 $(2,0,1)$ 处沿向量 $(1,-2,-2)$ 方向的方向导数.
解
$$
\begin{gathered}
\operatorname{grad} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)=(2(x-1), 4(y+1), 6(z-2)) \text { ， } \\
\operatorname{grad} f(2,0,1)=(2,4,-6) ， \\
\boldsymbol{e}_l=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right) ，
\end{gathered}
$$

因此 $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(2,0,1)}=\operatorname{grad} z \cdot \boldsymbol{e}_l=(2,4,-6) \cdot\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)=2$.

`例` 试求数量场 $\frac{m}{r}$ 所产生的梯度场，其中常数 $m>0 ， r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 为 原点 $O$ 到点 $M(x, y, z)$ 的距离.
解 $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{m}{r}\right)=-\frac{m}{r^2} \frac{\partial r}{\partial x}=-\frac{m x}{r^3}$ ，同理， $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{m}{r}\right)=-\frac{m y}{r^3} ， \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{m}{r}\right)=-\frac{m z}{r^3}$ ，故 $\operatorname{grad} \frac{m}{r}=\left(-\frac{m x}{r^3},-\frac{m y}{r^3},-\frac{m z}{r^3}\right)=-\frac{m}{r^2}\left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}\right)$ ，
若用 $e_r$ 表示 $\overrightarrow{O M}$ 同方向的单位向量，即 $e_r=\left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}\right)$ ，则
则 $\operatorname{grad} \frac{m}{r}=-\frac{m}{r^2} \boldsymbol{e}_r$

![图片](/uploads/2024-12/358240.jpg)

上式右端在力学上可解释为: 位于原点 $O$ 而质量为 $m$ 的质点对位于点 $M$ 而质量为1的质点的引力，这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比，而与它们之间的距离平方成反比，这引力的方向由点 $M$ 指向原点，因此数量场 $\frac{m}{r}$ 的势场 即梯度场 $\operatorname{grad} \frac{m}{r}$ 称为引力场，而函数 $\frac{m}{r}$ 称为引力势. 详见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1146)

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