科数网知识库
首页
目录
正定二次型与正定阵
日期:
2023-01-02 19:32
查看:
75
次
定义 设有二次型 $f(x)=x^{\mathrm{T}} A x$ ，如果对于任何 $x \neq \mathbf{0}$ ，都有 $f(x)>0$ (显然 $f(\mathbf{0})=0$ )，则称 二次型 $f$ 为正定二次型，并称对称阵 $\boldsymbol{A}$ 是正定的; 如果对任何 $\boldsymbol{x} \neq 0$ 都有 $f(\boldsymbol{x})<0$ ，则 称二次型 $f$ 为负定二次型，并称对称阵 $\boldsymbol{A}$ 是负定的.  推论 1 对称阵 $A$ 为正定的充分必要条件是: $A$ 与单位矩阵 $E$ 合同. 推论 2 对称阵 $A$ 为正定的充分必要条件是: $A$ 的特征值全为正. 定理 3 对称阵 $A$ 为正定的充分必要条件是: $A$ 的各阶主子式都为正，即 $$ a_{11}>0,\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|>0, \cdots,\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|>0, $$ 对称阵为负定的充分必要条件是: 奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正,即 $$ (-1)^r\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n r} \end{array}\right|>0(r=1,2, \cdots, n) . $$ 定理 3 称为赫尔维茨定理.  
本系统使用
启明星知识库Kbase
搭建，最后更新于
2023-01-02 19:32
，如果您有意见或建议请点击
反馈
。