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二元函数极值的概念

## 二元函数极值的概念
二元函数的极值问题，一般可以用偏导数来解决.下面给出二元函数有极值的必要条件.
**定理1** (必要条件) 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 具有偏导数，且在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即

$$
f_x\left(x_0, y_0\right)=0, \quad f_y\left(x_0, y_0\right)=0 .
$$

证 不妨设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 取得极大值. 由极值定义，对于点 $P_0$ 的 某个邻域内异于 $P_0$ 的任意一点 $P(x, y)$ ，都有

$$
f(x, y)<f\left(x_0, y_0\right) .
$$

特别地，取 $y=y_0$ ，而 $x \neq x_0$ ，也有 $f\left(x, y_0\right)<f\left(x_0, y_0\right)$.
这表明一元函数 $f\left(x, y_0\right)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值，由一元函数取得极值的必要 条件可知

$$
f_x\left(x_0, y_0\right)=0 .
$$

类似地，我们可以得到

$$
f_y\left(x_0, y_0\right)=0 .
$$

与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点 称为函数的驻点.
从定理 1 可知，具有偏导数的函数的极值点必为函数的驻点. 但函数的驻点 不一定是极值点，例如函数 $z=x y$ ，在点 $(0,0)$ 处的两个偏导数为

$$
f_x(0,0)=\left.y\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}}=0, f_y(0,0)=\left.x\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}}=0,
$$

所以点 $(0,0)$ 是函数 $z=x y$ 的驻点，而按定义直接可以判断出点 $(0,0)$ 不是极值点.
怎样判定驻点是否为极值点呢? 下面的定理给出了答案.

**定理2** (充分条件) 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域内有直到二阶的 连续偏导数，又 $f_x\left(x_0, y_0\right)=0, f_y\left(x_0, y_0\right)=0$. 令

$$
f_{\mathrm{xx}}\left(x_0, y_0\right)=A, \quad f_{x y}\left(x_0, y_0\right)=B, \quad f_{y y}\left(x_0, y_0\right)=C .
$$

(1) 当 $A C-B^2>0$ 时，函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有极值，且当 $A>0$ 时有极小值 $f\left(x_0, y_0\right) ； A<0$ 时有极大值 $f\left(x_0, y_0\right)$ ；
(2) 当 $A C-B^2<0$ 时，函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处没有极值；
(3) 当 $A C-B^2=0$ 时，函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可能有极值，也可能没有极值. 定理证明从略
根据定理 1 与定理 2 , 如果函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，则求 $z=f(x, y)$ 的极值的一般步骤为:
第一步 解方程组 $f_x(x, y)=0, f_y(x, y)=0$, 求出 $f(x, y)$ 的所有驻点；
第二步 求出函数 $f(x, y)$ 的二阶偏导数，依次确定各驻点处 $A 、 B 、 C$ 的 值，并根据 $A C-B^2$ 的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数 $f(x, y)$ 在极值 点处的极值.

`例`求函数 $f(x, y)=(x-1)^2+(y-4)^2$ 的极值.
解 先解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_x(x, y)=2(x-1)=0, \\
f_y(x, y)=2(y-4)=0,
\end{array}\right.
$$

解得驻点为 $(1,4)$, 因为在点 $(1,4)$ 处，

$$
A=f_{x x}(1,4)=2 ， \quad B=f_{x y}(1,4)=0 ， C=f_{y y}(1,4)=2=-6 y+6 .
$$

在点 $(1,4)$ 处， $A C-B^2=4>0$ ， 又 $A>0$ ，
故函数在该点处有极小值 $f(1,4)=0$.

`例`求函数 $f(x, y)=3 x y-x^3-y^3$ 的极值.
解 先解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_x(x, y)=3 y-3 x^2=0, \\
f_y(x, y)=3 x-3 y^2=0,
\end{array}\right.
$$

解得驻点为 $(0,0),(1,1)$.
再求出二阶偏导数 $f_{\mathrm{xx}}(x, y)=-6 x ， f_{x y}(x, y)=3 ， f_{y y}(x, y)=-6 y$.
在点 $(0,0)$ 处， $A C-B^2=36 x y-\left.9\right|_{(0,0)}=-9<0$ ，所以，函数在该点处没有极值；
在点 $(1,1)$ 处， $A C-B^2=27>0$ ，故函数在该点处有极大值 $f(1,1)=1$.

`例`求函数 $f(x, y)=x^3-y^3+3 x^2+3 y^2-9 x$ 的极值.
解 先解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_x(x, y)=3 x^2+6 x-9=0, \\
f_y(x, y)=-3 y^2+6 y=0,
\end{array} .\right.
$$

解得驻点为 $(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2) $
 
再求出二阶偏导数 $f_{x x}(x, y)=6 x+6 ， f_{x y}(x, y)=0 ， f_{y y}(x, y)=-6 y+6$.
在点 $(1,0)$ 处， $A C-B^2=12 \cdot 6>0$ ， 又 $A>0$ ，故函数在该点处有极小值 $f(1,0)=-5$ ； 在点 $(1,2)$ 和 $(-3,0)$ 处， $A C-B^2=-12 \cdot 6<0$ ，故函数在这两点处没有极值；
在点 $(-3,2)$ 处， $A C-B^2=-12 \cdot(-6)>0$ ，又 $A<0$ ， 故函数在该点处有极大 值 $f(-3,2)=31$.

> 注意 讨论函数的极值问题时，如果函数在所讨论的区域内具有偏导数，那么 由定理 1 可知，极值只能在驻点处取得. 然而，如果函数在个别点处的偏导数不 存在，这些点当然不是驻点, 但可能是极值点.例如函数 $z=-\sqrt{x^2+y^2}$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数不存在, 但在该点处具有极大值. 因此. 在考虑函数的极值问 题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑.

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