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线性空间的定义
日期:
2023-01-02 19:38
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定义1 设 $V$ 是一个非空集合， $\mathbf{R}$ 为实数域. 对于任意两个元素 $\alpha, \beta \in V$ ，在 $V$ 中总有唯一确定 的一个元素 $\gamma$ 与之对应，称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和，记作 $\gamma=\alpha+\beta$. 对于 $\mathbf{R}$ 中任一数 $\lambda$ 与 $V$ 中任 一元素 $\alpha$ ，在 $V$ 中总有唯一确定的一个元素 $\delta$ 与之对应， 称为 $\lambda$ 与 $\alpha$ 的数量乘积，记作 $\delta=\lambda \alpha$. 如果这两种运算满足以下八条运算规律 (设 $\alpha, \beta, \gamma \in V ; \lambda, \mu \in \mathbf{R}$ ): (i) 加法交换律: $\quad \alpha+\beta=\beta+\alpha$; (ii) 加法结合律: $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$; (iii) 在 $V$ 中存在零元素 0 ；对于任何 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ ，都有是 $\boldsymbol{\alpha}+\mathbf{0}=\boldsymbol{\alpha}$ ， (iv) 负元素: 对于任何 $\alpha \in V$ ，都有是 $\alpha$ 的负元素 $\beta \in V$ ，使 $\alpha+\beta=\mathbf{0}$; (v) $1 \alpha=\alpha$, (vi) $\lambda(\mu \alpha)=(\lambda \mu) \alpha$; (vii) $(\lambda+\mu) \alpha=\lambda \alpha+\mu \alpha$; (viii) $\lambda(\alpha+\beta)=\lambda \alpha+\lambda \beta$ 那么， $V$ 就称为实数域 $\mathbf{R}$ 上的线性空间. 线性空间有时也被称为向量空间， 线性空间中的元素不论其本来的性质如何，统称为向 量. 线性空间中满足上述八条规律的加法及数乘运算，统称为线性运算. 例1 次数不超过 $n$ 的多项式的全体，记作 $P[x]_{n^{\prime}}$ 即 $$ P[x]_n=\left\{p(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_n, \cdots, a_1, a_0 \in \square\right\}, $$ 对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间. 这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律， 故只要验证 $P[x]_n$ 对运算封闭.  例2 设集合 $$ C[a, b]=\{f(x) \mid f(x) \text { 为 }[a, b] \text { 上的连续函数 }\} $$ 是定义在区间 $[a, b]$ 上的连续实函数全体所成的集合，关于通常的函数加法和数乘函 数的乘法构成线性空间. 这是因为: 通常的函数加法及乘数运算显然满足线性运算规律，并且根据连续函数的 运算性质可知， $C[a, b]$ 对通常的函数加法和数乘函数的乘法封闭.   例4 $n$ 次多项式的全体 $$ Q[x]_n=\left\{p=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_n, \cdots, a_1, a_0 \in \mathbf{R} \text {, 且 } a_n \neq 0\right\}, $$ 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间. 这是因为 $0 p=0 x^n+\cdots+0 x+0 \notin Q[x]_n$, 即 $Q[x]_n$ 对运算不封闭. 例 5 $n$ 个有序实数组成的数组的全体 $$ S^n=\left\{\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_1, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}} \mid x_1, x_1, \cdots, x_n \in \mathbf{R}\right\} $$ 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 $$ \lambda \circ\left(x_1, \cdots, x_n\right)^T=(0, \cdots, 0)^T \text { 不构成线性空间. } $$ 可以验证 $S^n$ 对运算封闭，但是 $1 \circ x=0$ ，不满足第五条运算规律，即所定义的运算 不是线性运算，所以不是线性空间. 例6 正实数的全体，记作 $\mathbf{R}^{+}$，在其中定义加法及乘数运算为 $$ a \oplus b=a b\left(a, b \in \mathbf{R}^{+}\right), \lambda \circ a=a^\lambda\left(\lambda \in \mathbf{R}, a \in \mathbf{R}^{+}\right), $$ 验证对上述加法与乘数运算构成线性空间. 证明： 首先验证对定义的加法和数乘运算封闭. 对加法封闭: 对任意的 $a, b \in \mathbf{R}^{+}$，有 $a \oplus b=a b \in \mathbf{R}^{+}$; 对数乘封闭: 对任意的 $\lambda \in \mathbf{R}, a \in \mathbf{R}^{+}$，有 $\lambda \circ a=a^\lambda \in \mathbf{R}^{+}$.  
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2023-01-02 19:38
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