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第六章 多元函数微分学
二元函数极值的概念
最后更新:
2023-10-01 11:28
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二元函数极值的概念
二元函数的极值问题,一般可以用偏导数来解决.下面给出二元函数有极值 的必要条件. 定理 1 (必要条件) 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 具有偏导数,且在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即 $$ f_x\left(x_0, y_0\right)=0, \quad f_y\left(x_0, y_0\right)=0 . $$ 证 不妨设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 取得极大值. 由极值定义,对于点 $P_0$ 的 某个邻域内异于 $P_0$ 的任意一点 $P(x, y)$ ,都有 $$ f(x, y)<f\left(x_0, y_0\right) . $$ 定理 1 (必要条件) 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 具有偏导数,且在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即 特别地,取 $y=y_0$ ,而 $x \neq x_0$ ,也有 $f\left(x, y_0\right)<f\left(x_0, y_0\right)$. 这表明一元函数 $f\left(x, y_0\right)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值,由一元函数取得极值的必要 条件可知 $$ f_x\left(x_0, y_0\right)=0 . $$ 类似地,我们可以得到 $$ f_y\left(x_0, y_0\right)=0 . $$ 与一元函数的情形类似,对于多元函数,凡是能使一阶偏导数同时为零的点 称为函数的驻点. 从定理 1 可知,具有偏导数的函数的极值点必为函数的驻点. 但函数的驻点 不一定是极值点,例如函数 $z=x y$ ,在点 $(0,0)$ 处的两个偏导数为 $$ f_x(0,0)=\left.y\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}}=0, f_y(0,0)=\left.x\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}}=0, $$ 所以点 $(0,0)$ 是函数 $z=x y$ 的驻点,而按定义直接可以判断出点 $(0,0)$ 不是极值点. 怎样判定驻点是否为极值点呢? 下面的定理给出了答案. 定理 2 (充分条件) 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域内有直到二阶的 连续偏导数,又 $f_x\left(x_0, y_0\right)=0, f_y\left(x_0, y_0\right)=0$. 令 $$ f_{\mathrm{xx}}\left(x_0, y_0\right)=A, \quad f_{x y}\left(x_0, y_0\right)=B, \quad f_{y y}\left(x_0, y_0\right)=C . $$ (1) 当 $A C-B^2>0$ 时,函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有极值,且当 $A>0$ 时有极小值 $f\left(x_0, y_0\right) ; A<0$ 时有极大值 $f\left(x_0, y_0\right)$ ; (2) 当 $A C-B^2<0$ 时,函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处没有极值; (3) 当 $A C-B^2=0$ 时,函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可能有极值,也可能没有极值. 定理证明从略 根据定理 1 与定理 2 , 如果函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数,则求 $z=f(x, y)$ 的极值的一般步骤为: 第一步 解方程组 $f_x(x, y)=0, f_y(x, y)=0$, 求出 $f(x, y)$ 的所有驻点; 第二步 求出函数 $f(x, y)$ 的二阶偏导数,依次确定各驻点处 $A 、 B 、 C$ 的 值,并根据 $A C-B^2$ 的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数 $f(x, y)$ 在极值 点处的极值. 例 15 求函数 $f(x, y)=(x-1)^2+(y-4)^2$ 的极值. 解 先解方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} f_x(x, y)=2(x-1)=0, \\ f_y(x, y)=2(y-4)=0, \end{array}\right. $$ 解得驻点为 $(1,4)$, 因为在点 $(1,4)$ 处, $$ A=f_{x x}(1,4)=2 , \quad B=f_{x y}(1,4)=0 , C=f_{y y}(1,4)=2=-6 y+6 . $$ 在点 $(1,4)$ 处, $A C-B^2=4>0$ , 又 $A>0$ , 故函数在该点处有极小值 $f(1,4)=0$. 例 16 求函数 $f(x, y)=3 x y-x^3-y^3$ 的极值. 解 先解方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} f_x(x, y)=3 y-3 x^2=0, \\ f_y(x, y)=3 x-3 y^2=0, \end{array}\right. $$ 解得驻点为 $(0,0),(1,1)$. 再求出二阶偏导数 $f_{\mathrm{xx}}(x, y)=-6 x , f_{x y}(x, y)=3 , f_{y y}(x, y)=-6 y$. 在点 $(0,0)$ 处, $A C-B^2=36 x y-\left.9\right|_{(0,0)}=-9<0$ ,所以,函数在该点处没有极值; 在点 $(1,1)$ 处, $A C-B^2=27>0$ ,故函数在该点处有极大值 $f(1,1)=1$. 例 17 求函数 $f(x, y)=x^3-y^3+3 x^2+3 y^2-9 x$ 的极值. 解 先解方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} f_x(x, y)=3 x^2+6 x-9=0, \\ f_y(x, y)=-3 y^2+6 y=0, \end{array} \text { 解得驻点为 }(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2) .\right. $$ 再求出二阶偏导数 $f_{x x}(x, y)=6 x+6 , f_{x y}(x, y)=0 , f_{y y}(x, y)=-6 y+6$. 在点 $(1,0)$ 处, $A C-B^2=12 \cdot 6>0$ , 又 $A>0$ ,故函数在该点处有极小值 $f(1,0)=-5$ ; 在点 $(1,2)$ 和 $(-3,0)$ 处, $A C-B^2=-12 \cdot 6<0$ ,故函数在这两点处没有极值; 在点 $(-3,2)$ 处, $A C-B^2=-12 \cdot(-6)>0$ ,又 $A<0$ , 故函数在该点处有极大 值 $f(-3,2)=31$. 注 讨论函数的极值问题时,如果函数在所讨论的区域内具有偏导数,那么 由定理 1 可知,极值只能在驻点处取得. 然而,如果函数在个别点处的偏导数不 存在,这些点当然不是驻点, 但可能是极值点.例如在例 13 中,函数 $z=-\sqrt{x^2+y^2}$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数不存在, 但在该点处具有极大值. 因此. 在考虑函数的极值问 题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当 考虑.
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