线性空间的性质

日期: 2023-01-02 19:47 查看: 80 次

性质 1 零元素是唯一的.
证明 设 $0_1, 0_2$ 是线性空间 $V$ 中的两个零元素，即对任何 $\alpha \in V$ ，有 $\alpha+0_1=\alpha, \alpha+0_2=\alpha$ ， 于是有

$$
\mathbf{0}_2+\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_2, \mathbf{0}_1+\mathbf{0}_2=\mathbf{0}_1
$$

所以

$$
\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_1+\mathbf{0}_2=\mathbf{0}_2+\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_2
$$

性质 2 任一元素的负元素是唯一的 (以后将 $\boldsymbol{\alpha}$ 的负元素记作 $-\boldsymbol{\alpha}$ ) .
证明 设 $\boldsymbol{\alpha}$ 有两个负元素 $\beta, \gamma$ ，即 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}, \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\gamma}=\mathbf{0}$. 于是

$$
\beta=\beta+0=\beta+(\alpha+\gamma)=(\beta+\alpha)+\gamma=0+\gamma=\gamma .
$$

性质3 $0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} ;(-1) \boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha} ; \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0}$.
证明 $\boldsymbol{\alpha}+0 \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}+0 \boldsymbol{\alpha}=(1+0) \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$ ，所以 $0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} ， \boldsymbol{\alpha}+(-1) \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}+(-1) \boldsymbol{\alpha}=[1+(-1)] \boldsymbol{\alpha}=0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$,
所以 $(-1) \boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha}$ ；

$$
\lambda \mathbf{0}=\lambda[\boldsymbol{\alpha}+(-1) \boldsymbol{\alpha}]=\lambda \boldsymbol{\alpha}+(-\lambda) \boldsymbol{\alpha}=[\lambda+(-\lambda)] \boldsymbol{\alpha}=0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} \text {. }
$$

性质 4 如果 $\lambda \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，则 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$.
证明 若 $\lambda \neq 0$ ，在 $\lambda \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 两边乘 $\frac{1}{\lambda}$, 得
而

$$
\begin{gathered}
\frac{1}{\lambda}(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\frac{1}{\lambda} \boldsymbol{0}=\mathbf{0}, \\
\frac{1}{\lambda}(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\left(\frac{1}{\lambda} \lambda\right) \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha},
\end{gathered}
$$

所以 $\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$.

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