最后更新: 2025-04-08 14:34 查看: 735 次反馈刷题

条件极值与拉格朗日乘数法

## 什么是拉格朗日乘子法
在日常生活中, 我们会面临各种各样的寻求极值的问题。例如, 寻求在定义域内函数 $f(x)$ 的极值, 简单讲, 在一元函数中, 即我们就需要求得导数为零的点。到了多元情况下, 就需要考虑函数 $f\left(x_1, x_2, \ldots\right)$ 对各个分量的偏导数为零的点。一般情况下变量的取值为整个实数域时就只需要按求导思想解方程即可, 现实的问题多是, 如何在一定的限制条件下, 寻求目标函数的极值。比如说, 要寻找 $f(x, y)$ 在约束条件下 $g(x, y)=0$ 的极值。

通常很容易想到的代数方法是, 把 $g(x, y)=0$ 中的 $y$ (或是 $x$ ) 用 $x$ （或是 $y$ ）来显示表达出来, 得到函数 $y=h(x)$ （或是 $x=h(y)$ ) 带回到函数 $f(x, y)$ 中得到函数 $F(x)=f(x, h(x))$ （或是 $F(y)=f(h(y), y)$, 然后按一元函数求解极值的方法, 即求导数为零的点来计算极值。

现在, 有的问题是, 万 $-g(x, y)=0$ 中的 $x$ 或是 $y$ 不可显示表达, 那该如何解决呢?

拉格朗日乘子法给出了解决这类问题的方案，这是大数学家拉格朗日的伟大创造之一。

我们先给出步骤，然后通过一个例子实践，再来解释原因。

## 具体步骤

### 具体步骤
首先, 给出一个拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda g(x, y)$, 求出拉格朗日函数的极值,就可以得到 $f(x, y)$ 的极值。 
- 定义目标函数 $f(x, y)$ 和约束条件 $g(x, y)=0$ 。
- 构造拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)=f(x, y)+g(x, y)$ 。
- 求出拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda$ 的梯度向量： $\partial L / \partial x, \partial L / \partial y, \partial L / \partial z$ 
- 令其等于零： $\partial L / \partial x=0, \partial L / \partial y=0, \partial L / \partial \lambda=0$ 。
- 解出上述方程组, 得到满足约束条件的极值点。

### 例题
有一个目标函数 $f(x, y)=x^2+y^2$, 且有一个约束条件为 $g(x, y)=x+y-10=0$ 。现在, 要找到满足这个约束条件的 $f(x, y)$ 的最小值。
解：使用拉格朗日乘子法来解决这个问题。
首先, 定义一个新的函数 $L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda * g(x, y)$, 其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘子。
然后, 我们要找到 $L(x, y, \lambda)$ 的极值。为了找到极值, 需要解出 $L(x, y, \lambda)$ 的梯度等于 0 的方程组。

- 对于 $f(x, y)$, 我们有:

$$
\begin{aligned}
& \partial f / \partial x=2 x \\
& \partial f / \partial y=2 y
\end{aligned}
$$

- 对于 $g(x, y)$, 我们有:

$$
\begin{aligned}
& \partial g / \partial x=1 \\
& \partial g / \partial y=1
\end{aligned}
$$

・而, 对于 $L(x, y$, 人我们有:

$$
\begin{gathered}
\partial L / \partial x=2 x+1 \\
\partial L / \partial y=2 y+1 \\
\partial L / \partial \lambda=x+y-10
\end{gathered}
$$

- 为了找到 $L(x, y, x)$ 的极值, 需要解出:

$$
\begin{gathered}
2 x+\lambda=0 \\
2 y+\lambda=0 \\
x+y-10=0
\end{gathered}
$$

方程组。很容易，我们可以得到 $x=-5, y=5$ 和 $\lambda=-5$ 。将这些值代入原目标函数 $f(x, y)$, 我们可以得到 $f(-5,5)=5^2+5^2=50$ 。因此, 在约束条件下, $f(x, y)$ 的最小值为 50

## 拉格朗日乘数法

前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无 ，其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值.
但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对 自变量有附加条件的极值称为条件极值.
下面详细介绍一种直接求条件极值的方法一一拉格朗日乘数法.先给出理论推导，（不想看的可以跳过，直接记住结论即可）。

设二元函数 $f(x, y)$ 和 $\varphi(x, y)$ 在区域 $D$ 内有一阶连续偏导数，则求 $z=f(x, y)$ 在 $D$ 内满足条件 $\varphi(x, y)=0$ 的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数

$$
L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)
$$

(其中 $\lambda$ 为某一常数) 的无条件极值问题.
设点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 是函数 $z=f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的极值点，即函数 $z=f(x, y)$ 在 $P_0$ 处有极值，且 $\varphi\left(x_0, y_0\right)=0$ ，我们现在讨论取得极值的必要条件.
设函数 $f(x, y)$ 和 $\varphi(x, y)$ 在点 $P_0$ 处具有连续的偏导数，且 $\varphi_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，再设 $y=g(x)$ 是由方程 $\varphi(x, y)=0$ 所确定的隐函数，则有 $y_0=g\left(x_0\right)$. 将它代入方程 $z=f(x, y)$ 中，得

$$
z=f[x, g(x)] .
$$

由点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 是函数 $z=f(x, y)$ 的极值点可知，点 $x=x_0$ 是一元函数 $z=f[x, g(x)]$ 的极值点. 于是，根据一元函数极值的必要条件，有

$$
\left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0}=f_x\left(x_0, y_0\right)+f_y\left(x_0, y_0\right) g^{\prime}\left(x_0\right)=0 .
$$

又由隐函数求导公式，知 $g^{\prime}\left(x_0\right)=-\frac{\varphi_x\left(x_0, y_0\right)}{\varphi_y\left(x_0, y_0\right)}$ ，
所以，函数 $z=f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y)=0$ 下，在 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处有极值的必要条件为

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_x\left(x_0, y_0\right)-f_y\left(x_0, y_0\right) \frac{\varphi_x\left(x_0, y_0\right)}{\varphi_y\left(x_0, y_0\right)}=0, \\
\varphi\left(x_0, y_0\right)=0 .
\end{array}\right.
$$

引入比例系数 $\lambda=-\frac{f_y\left(x_0, y_0\right)}{\varphi_y\left(x_0, y_0\right)}$ ( $\lambda$ 称为拉格朗日乘子)，那么，上述必要条件又可 写成

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_x\left(x_0, y_0\right)+\lambda \varphi_x\left(x_0, y_0\right)=0 \\
f_y\left(x_0, y_0\right)+\lambda \varphi_y\left(x_0, y_0\right)=0 \\
\varphi\left(x_0, y_0\right)=0 .
\end{array}\right.
$$

上式恰好是拉格朗日函数分别对 $x, y, \lambda$ 的偏导数.
于是，求函数 $z=f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y)=0$ 的极值的拉格朗日乘数法的基本 步骤为:
（1）构造拉格朗日函数

$$
L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)
$$

其中 $\lambda$ 为某一常数；
(2) 由方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
L_x=f_x(x, y)+\lambda \varphi_x(x, y)=0, \\
L_y=f_y(x, y)+\lambda \varphi_y(x, y)=0,
\end{array}\right.
$$

解出 $x, y ，(x, y)$ 就是所求条件极值的可能的极值点.
注 拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求 出来的点是否为极值点，还需要加以讨论. 不过在实际问题中，往往可以根据问 题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.

## 用等值线对拉格朗日乘法进行几何解释
###  平面上的极值
假设有一个函数，$f(x,y)=x^2+y^2$，我想找在 $xy=3$的限制条件下，求他的最小值。那么怎么求这个极值呢？

为了方便理解，我们先从几何上解释，$xy=3$ 表示的在一三象限的双曲线，参考下图
 ![图片](/uploads/2025-04/db80b8.jpg){width=400px}
 
而$f(x,y)=x^2+y^2$ 表示坐标平面上一点到原点的距离。假设求的极值为$C$，不难理解，$f(x,y)=C$是以原点为圆心，半径为$C$的圆。

我们在求函数$f(x,y)$ 极值时，可以想象为让这个“圆”像电磁波一样，逐渐向外扩张 参考下图 ，不难发现，**当外围的蓝线和黄色的双曲线“相切”的那一点，函数$f(x,y)$的极值开始出现**
 ![图片](/uploads/2025-04/92c0fc.jpg){width=400px}

由此得出结论：函数的极值 $f(x, y)$ 出现在曲线与曲线相切处。 
 
### 用等值线对拉格朗日乘法进行几何解释

假设空间有一个蓝色曲面 $f(x, y)$(目标函数)，还有一个红色曲面$g(x, y)$（限制函数），他们在空间相交，此时交线则是一条曲线，（参考下图红色界痕），下面解释一下为什么用拉格朗日算子可以求极值。 
 ![图片](/uploads/2025-03/8311aa.jpg)
 
求函数 $z=f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的极大值，在几何上就是在约束曲线 $\Gamma: \varphi(x, y)=0$ 上求一点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ ，使 $f(x, y)$ 在 $P_0$ 处取极大值。因此．所求点 $P_0 \in \Gamma$（即 $\varphi\left(x_0, y_0\right)=0$ ），并且 $P_0$ 也应在使 $f(x, y)$ 取得极大值的等值线 $f(x, y)=c$ 上．从而得知，$P_0$ 必是 $\Gamma$ 与此等值线的切点，而不会是交点（如下图所示，其中 $\left.c_1>c_2>c_3>\cdots\right)$ 。因为若 $P_0$ 为 $\Gamma$ 与某等值线的交点，则 $\Gamma$ 必从该等值线穿出，说明在此交点的邻域内，$\Gamma$ 上还存在着使 $f$ 取更大值的点。由此得知，$\Gamma$ 与此等值线必有共同的法线，所以 $\nabla f\left(x_0, y_0\right) / / \nabla \varphi\left(x_0, y_0\right)$ ，即存在一个常数 $-\lambda_0 \in R$ ，使 $\nabla f\left(x_0, y_0\right)=-\lambda_0 \nabla \varphi\left(x_0, y_0\right)$ 或 $\nabla f\left(x_0, y_0\right)+\lambda_0 \nabla \varphi\left(x_0, y_0\right)=0$ ．
从而可得

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_x\left(x_0, y_0\right)+\lambda_0 \varphi_x\left(x_0, y_0\right)=0, \\
f_y\left(x_0, y_0\right)+\lambda_0 \varphi_y\left(x_0, y_0\right)=0,
\end{array} \text { 且 } \varphi\left(x_0, y_0\right)=0 .\right.
$$

于是得到如下结论：
从几何上看，函数 $z=f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的极值点是该函数的等值线与约束曲线的切点．

对三元函数也有类似的结论．下面的例子显示用此结论解某些约束极值问题可能很简便．
  ![图片](/uploads/2025-04/781a34.jpg)

`例` 函数 $u=x^2+y^2+z^2$ 在椭球面 $2 x^2+2 y^2+z^2=1$ 上哪一点沿哪个方向的方向导数最大？并求其最大值．

解 此题实际上是讨论函数 $u=x^2+y^2+z^2$ 的梯度的模在椭球面 $2 x^2+$ $2 y^2+z^2=1$ 上哪一点取得最大值，取得最大值的方向当然是在该点处梯度的方向。

由于 $\nabla u=(2 x, 2 y, 2 z)$ ，所以

$$
\|\nabla u\|=2 \sqrt{x^2+y^2+z^2}
$$

![图片](/uploads/2025-04/1490e5.jpg)
 
 为计算简单起见，问题可变为讨论函数 $\|\nabla u\|^2=$ $4\left(x^2+y^2+z^2\right)$ 在约束条件 $2 x^2+2 y^2+z^2=1$下的最大值问题。根据上述结论，只要求该函数的等值面 $x^2+y^2+z^2=c$（ $c$ 为常数）与约束曲面 $2 x^2+2 y^2+z^2=1$ 的切点。由图6．9．3 易见，等值面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与该椭球面（约束曲面）的切点有两个：$P_1(0,0,-1), P_2(0,0,1)$ ．而等值面 $x^2+y^2+z^2=$ $\frac{1}{2}$ 与该椭球面的切点有四个．显然，在六个切点中，以在 $P_1, P_2$ 处的 $\|\nabla u\|$ 最大，即函数

$$
u=x^2+y^2+z^2
$$

在 $P_1, P_2$ 两点处方向导数最大，其值为

$$
\|\nabla u\|_{P_1, P_2}=\left.2 \sqrt{x^2+y^2+z^2}\right|_{P_1, P_2}=2
$$

在这两点取得最大方向导数的方向就是梯度 $\nabla u=(2 x, 2 y, 2 z)$ 在这两点处的方向，也就是等值面在这两点的法向量

$$
\begin{aligned}
& \left. n \right|_{P_1}=\left.\nabla u\right|_{P_1}=(0,0,-2), \\
& \left. n \right|_{P_2}=\left.\nabla u\right|_{P_2}=(0,0,2)
\end{aligned}
$$

的方向．

## 再论拉格朗日乘子法，为什么可以求极值

读者可能不禁疑问：凭什么引入一个$\lambda$ , 定义一个拉格朗日函数, 求得拉格朗日函数的极值,就可以求得 $f(x, y)$ 的极值了呢? 其背后的原理是什么?

理解数学背后原理的一种非常好的方式，就是打开直观感受。
如下图，假设我们的目标函数 $f(x, y)$ 与限制函数 $g(x, y)$ 都在区域 $G$ 上有定义。自然，拉格朗日函数是目标函数与限制函数的线性组合，其必也是在区域 $G$ 上有定义的。这里红色的曲线代表满足 $g(x, y)=0$ 的点的集合。点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 是拉格朗日函数在区域 $G$ 上的极值点。现在我们来阐明其中的原理，参加下图
 ![图片](/uploads/2024-09/0f887e.jpg)

为什么拉格朗日函数的极值点会落在限制曲线 $g(x, y)=0$ 上呢? 其就不会落在区域 $G$ 别的地方上吗？那是因为，我们在对拉格朗日函数参数 $\lambda$ 求导时， $\partial L / \partial$ 得到的函数恰好是 $g(x, y)=0$, 正是因为有了这个条件, 求得的极值点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 一定满足 $g\left(x_0, y_0\right)=0$, 所以，它一定会落在曲线 $g(x, y)=0$ 上。

其次, 为什么拉格朗日函数的极值点一定也是 $f(x, y)$ 的极值点呢? 首先, 要注意到, 拉格朗日函数 $L=f+ \lambda g$ 在 $g=0$ 的时候， $L=f$ ，也就是拉格朗日函数与目标函数在曲线 $g(x, y)=0$ 的那条线上是相等的。既如此，拉格朗日函数在 $M\left(x_0, y_0\right)$ 点取到极值，也就是在 $M\left(x_0, y_0\right)$ 的局部邻域内取得极值，曲线的一小段包含在这局部邻域中，也就是说拉格朗日函数在曲线 $g(x, y)=0$ 上取得极值, 而在曲线 $g(x, y)=0$ 上拉格朗日函数与目标函数相等, 那么, 也就是目标函数在曲线 $g(x, y)=0$ 上取得极值。

这, 就是隐藏在拉格朗日乘子法背后的本质。解决某一类数学问题, 固然有类似电脑程序一样的解决步骤, 若能够进一步去理解这样或那样的解决步骤其本质含义, 数学的学习就充满了乐趣。

拉格朗日乘子法这样的巧妙的发明，它的巧妙来源于哪里？我们认为，该方法巧妙在拉格朗日函数的构造上，它引入参数 $\lambda$ ，并把限制函数包含进去，**把问题升维一次**，然后在升维的基础上求得问题的解，然后**再进行降维**，抛弃参数的值，仅关注 $\left(x_0, y_0\right)$ 的值，这个降维刚刚就降在限制函数所约束的范围内，这一升一降，恰巧就解决了条件极值点的找寻。

## 例题
### 在几何方面的应用
例1 求表面积为 $a^2$ 而体积为最大的长方体的体积.
解 设长方体的三边长为 $x, y, z$, 则问题就是在条件

$$
\varphi(x, y, z)=2 x y+2 y z+2 x z-a^2=0
$$

下，求函数 $V=x y z(x>0, y>0, z>0)$ 的最大值.
作拉格朗日函数

$$
L(x, y, z, \lambda)=x y z+\lambda\left(2 x y+2 y z+2 x z-a^2\right),
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}
L_x=y z+2 \lambda(y+z)=0 \\
L_y=x z+2 \lambda(x+z)=0 \\
L_z=x y+2 \lambda(y+x)=0
\end{array}\right.
$$

解得
即

$$
\frac{x}{y}=\frac{x+z}{y+z}, \frac{y}{z}=\frac{x+y}{x+z},
$$

$$
x=y=z \text {. }
$$

代入 (1) 式，得唯一可能的极值点: $x=y=z=\frac{\sqrt{6} a}{6}$.
由问题本身意义知，此点就是所求最大值点. 即表面积为 $a^2$ 的长方体中，以 棱长为 $\frac{\sqrt{6} a}{6}$ 的正方体的体积为最大，最大体积 $V=\frac{\sqrt{6}}{36} a^3$.

### 拉格朗日算子在经济学中的运用

**例**：设某产品的产量 $Q$ 由资本投入量 $\boldsymbol{x}$ 和劳动投入量 $y$ 决定，生产函数为 $Q=12 x^{\frac{1}{2}} y^6$ 。该产品的销售单价 $P$与 $Q$ 的关系为 $P=1160-1.5 Q$ ，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为 6 和 8 ，求利润最大时的产量.

解：由题设可知，成本函数为 $C(x, y)=6 x+8 y$ ，收益函数为

$$
\begin{aligned}
R(x, y) & =P Q=Q(1160-1.5 Q) \\
& =12 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}\left(1160-18 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}\right)
\end{aligned}
$$

于是利润函数为

$$
\begin{aligned}
& L(x, y)=R(x, y)-C(x, y) \\
& =12 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}\left(1160-18 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}\right)-6 x-8 y \\
& =12 \times 1160 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}-12 \times 18 x y^{\frac{1}{3}}-6 x-8 y
\end{aligned}
$$
解 $\left\{\begin{array}{l}L_x(x, y)=6 \times 1160 x^{-\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}-12 \times 18 y^{\frac{1}{3}}-6=0 \\ L_y(x, y)=2 \times 1160 x^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{5}{6}}-4 \times 18 x y^{-\frac{2}{3}}-8=0\end{array}\right.$得驻点 $(256,64)$. 该驻点是唯一的驻点，根据题意，最大值点一定存在，因此 $L(x, y)$ 在该点处取得最大值. 此时产量

$$
Q=12 \times 256^2 \times 64^6=12 \times 16 \times 2=384
$$

### 拉格朗日算子在物理学中的运用
例：在变力 $\boldsymbol{F}=y z \boldsymbol{i}+z x \boldsymbol{j}+x y \boldsymbol{k}$ 的作用下, 质点由原点沿直线运动到椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上第一卦 限的点 $M(\xi, \eta, \zeta)$, 问 $\xi, \eta, \zeta$ 取何值时, 力 $\boldsymbol{F}$ 所作的功 $W$ 最大? 并求出 $W$ 的最大值.

解：(1) 先求出在变力 $F$ 的作用下质点由原点沿直线运动到点 $M(\xi, \eta, \zeta)$ 时所作的功
$W$ 的表达式. 点 $O$ 到点 $M$ 的线段记为 $L$, 则
$$
W=\int_{L} F \cdot d s=\int_{L} y z d x+z x d y+x y d z .
$$
(2) 计算曲线积分: $L$ 的参数方程是 $x=\xi t, y=\eta t, z=\zeta t, t$ 从 0 到 1 ,
$$
\Rightarrow W=\int_{0}^{1}\left(\eta \zeta t^{2} \cdot \xi+\xi \zeta t^{2} \cdot \eta+\xi \eta t^{2} \cdot \zeta\right) d t=3 \xi \eta \zeta \int_{0}^{1} t^{2} d t=\xi \eta \zeta
$$
化为最值问题并求解: 问题变成求 $W=\xi \eta \zeta$ 在条件 $\frac{\xi^{2}}{a^{2}}+\frac{\eta^{2}}{b^{2}}+\frac{\zeta^{2}}{c^{2}}=1(\xi \geq 0, \eta \geq 0, \zeta \geq 0)$ 下 的最大值与最大值点.
用拉格朗日乘子法求解. 拉格朗日函数为 $F(\xi, \eta, \zeta, \lambda)=\xi \eta \zeta+\lambda\left(\frac{\xi^{2}}{a^{2}}+\frac{\eta^{2}}{b^{2}}+\frac{\zeta^{2}}{c^{2}}-1\right)$,
则有

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial F}{\partial \xi}=\eta \zeta+2 \lambda \frac{\xi}{a^{2}}=0, \\
\frac{\partial F}{\partial \eta}=\xi \zeta+2 \lambda \frac{\eta}{b^{2}}=0, \\
\frac{\partial F}{\partial \gamma}=\xi \eta+2 \lambda \frac{\zeta}{c^{2}}=0, \\
\frac{\partial F}{\partial \lambda}=\frac{\xi^{2}}{a^{2}}+\frac{\eta^{2}}{b^{2}}+\frac{\zeta^{2}}{c^{2}}-1=0 .
\end{array}\right.
$$
解此方程组: 对前三个方程, 分别乘以 $\xi, \eta, \zeta$ 得 $\frac{\xi^{2}}{a^{2}}=\frac{\eta^{2}}{b^{2}}=\frac{\zeta^{2}}{c^{2}},(\lambda \neq 0$ 时 $)$
代入第四个方程得 $\xi=\frac{1}{\sqrt{3}} a, \eta=\frac{1}{\sqrt{3}} b, \zeta=\frac{1}{\sqrt{3}} c$.
相应的 $W=\frac{1}{3 \sqrt{3}} a b c=\frac{\sqrt{3}}{9} a b c$. 当 $\lambda=0$ 时相应的 $\xi, \eta, \zeta$ 得 $W=0$.

因为实际问题存在最大值, 所以当 $(\xi, \eta, \gamma)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}} a, \frac{1}{\sqrt{3}} b, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 时 $W$ 取最大值 $\frac{\sqrt{3}}{9} a b c$.

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