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X型区域上的二重积分

## X型区域上的二重积分
若积分区域 $D$ 可以用不等式 $\quad\left\{(x, y) \mid \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x), a \leq x \leq b\right\}$
来表示 (图 7-10)，其中函数 $\varphi_1(x), \varphi_2(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，这样的区域称为 $X$ 型区域，
其区域特征为: 穿过 $D$ 内部且平行于 $y$ 轴的直线与 $D$ 的边界最多相交于两点.

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`例` 将下列区域 (见图 7-11) 写成 $X$ 型区域的表达式.
解 (1) 三角形斜边的方程为 $y=\frac{b}{r} x$ ，故区域的 $X$ 型表达式为

$$
\left\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq \frac{b}{a} x, 0 \leq x \leq a\right\} .
$$

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$$
\text { （2）抛物线的方程为 } y=x^2 \text { ，直线的方程为 } y=x \text { ，故区域的 } X \text { 型表达式为 }
$$

$\left\{(x, y) \mid x^2 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq 1\right\} . $

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(3) 上半圆的方程为 $y=\sqrt{1-x^2}$ ，下半圆的方程为 $y=-\sqrt{1-x^2}$, 故区域的 $X$ 型表达式为

$$
\left\{(x, y) \mid-\sqrt{1-x^2} \leq y \leq \sqrt{1-x^2},-1 \leq x \leq 1\right\}
$$

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（4）区域可以写成两个 $X$ 型区域的和: $D_1+D_2$ ，
$D_1$ 的边界曲线分别为
$y=\sqrt{2 x}, y=-\sqrt{2 x}, x=0, x=1$ ， 则 $D_1$ 的 $X$
型表达式为

$$
\{(x, y) \mid-\sqrt{2 x} \leq y \leq \sqrt{2 x}, 0 \leq x \leq 1\} .
$$

$D_2$ 的边界曲线分别为
$y=\sqrt{2 x}, y=x-2, x=1, x=4$ ，则 $D_2$ 的 $X$ 型
表达式为

$$
\{(x, y) \mid x-2 \leq y \leq \sqrt{2 x}, 1 \leq x \leq 4\} .
$$

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注 把区域写成 $X$ 型表达式时，一定注意把边界曲线写成 $y$ 是 $x$ 的函数，同 时注意边界曲线所在的上下位置.
一般地，若 $D$ 是由 $x=a, x=b, y=\varphi_1(x), y=\varphi_2(x)$
所围成的 $X$ 型闭区域，现在求 以 $D$ 为底的，以曲面 $z=f(x, y) \quad(f(x, y)$ 连续且非 负) 为顶的曲顶柱体的体积 (见 图 7-12).
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垂直于 $x$ 轴，可以过 $x$ 轴上的任一点 $x$ 做曲顶柱体的截面，则截面面积是以 $\left[\varphi_1(x), \varphi_2(x)\right]$ 为底，以 $z=f(x, y)$ 为顶的曲边梯形，其面积为

$$
S(x)=\int_{q_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$

对应的立体体积为 $\quad V=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left[\int_{q_1(x)}^{Q_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x$.
该积分是先 $x$ 后 $y$ 次序的二次积分,也可以记作 $\int_a^b d x \int_{Q_{(x)}}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y$.

$$
\text { 从而 } \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left[\int_{Q_{-}(x)}^{\theta_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right]_{\mathrm{d}} x=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{Q_Q(x)}^{\theta_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y
$$

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left[\int_{q_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{q_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$

式 (3) 表明，将二重积分转化为先 $x$ 后 $y$ 次序的二次积分来计算，关键是确定二 次积分中关于变量 $y$ 的积分限，即确定区域 $D$ 的 $X$ 型表达式. 如果区域是图 7-12 所示 $x$ 区域，在区域 $[a, b]$ 上任意取定一点 $x$ ，并过此点做一条平行于 $y$ 轴的直线， 顺着 $y$ 轴正向的方向看去，直线与边界曲线的第一个交点的纵坐标 $\varphi_1(x)$ 就是积分 的下限，第二个交点的纵坐标 $\varphi_2(x)$ 是积分的上限，这个关于变量 $y$ 的积分计算 的结果是 $x$ 的函数，再对变量 $x$ 在区间 $[a, b]$ 上做定积分即可.
式 (3) 对 $f(x, y)<0$ 也成立.

`例`计算二次积分 $\int_{-1}^0 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^x x y \mathrm{~d} y$.
解 设 $S(x)=\int_{\sqrt{x}}^x x y \mathrm{~d} y$ ，被积函数是关于 $x, y$ 的二元函数. 积分变量是 $y$ ，则 可以把 $x$ 看成常数，被积函数的原函数为 $x \cdot \frac{1}{2} y^2$ ，则

$$
\begin{gathered}
S(x)=x \cdot\left[\frac{1}{2} y^2\right]_{\sqrt{x}}^x=\frac{1}{2} x\left(x^2-x\right)=\frac{1}{2}\left(x^3-x^2\right) \cdot \text {. 则 } \int_{-1}^0 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^x x y \mathrm{~d} y=\int_{-1}^0 S(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{-1}^0\left(x^3-x^2\right) \mathrm{d} x \\
=\left.\frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{-1} ^0=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{0^4}{4}-\frac{0^3}{3}\right)-\left(\frac{(-1)^4}{4}-\frac{(-1)^3}{3}\right)\right]=-\frac{7}{24} .
\end{gathered}
$$

注 在计算第一个定积分 $\int_{\sqrt{x}}^x x y \mathrm{~d} y$ 时， $y$ 是自变量， $x$ 看成常数；而计算第二 $\text { 个定积分 } \int_{-1}^0\left(x^3-x^2\right) \mathrm{d} x \text { 时， } x \text { 是积分变量. } $

`例` 计算 $\iint_D x y^2 \mathrm{~d} \sigma$, 其中 $D$ 是由直线 $y=1, x=2$ 及 $y=x$ 所围成的闭区域.
解 如图 7-13，把区域写成 $X$ 型表达式，则有

$$
D=\{(x, y) \mid 1 \leq y \leq x, 1 \leq x \leq 2\}
$$

所以，

$$
\begin{aligned}
\iint_D x y^2 \mathrm{~d} \sigma & =\int_1^2\left[\int_1^x x y^2 \mathrm{~d} y\right] \mathrm{d} x=\int_1^2\left[x \cdot \frac{y^3}{3}\right]_1^x \mathrm{~d} x \\
& =\int_1^2\left[\frac{x^4}{3}-\frac{x}{3}\right] \mathrm{d} x=\left[\frac{x^5}{15}-\frac{x^2}{6}\right]_1^2=\frac{47}{30} .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123105013eb.png)

`例` 计算 $\iint_D y \sqrt{1+x^2-y^2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=x 、 x=-1$ 和 $y=1$ 所围成的 闭区域.
解 如图 7-14，把 $D$ 写成 $X$ 型表达式，即 $D=\{(x, y) \mid x \leq y \leq 1,-1 \leq x \leq 1\}$ ， 则

$$
\begin{aligned}
& \iint_D y \sqrt{1+x^2-y^2} \mathrm{~d} \sigma=\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_x^1 y \sqrt{1+x^2-y^2} \mathrm{~d} y \\
= & -\frac{1}{3} \int_{-1}^1\left[\left(1+x^2-y^2\right)^{\frac{3}{2}}\right]_x^1 \mathrm{~d} x \\
= & -\frac{1}{3} \int_{-1}^1\left(|x|^3-1\right) \mathrm{d} x=-\frac{2}{3} \int_0^1\left(x^3-1\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} .
\end{aligned}

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