最后更新: 2024-10-07 09:27 查看: 367 次反馈同步训练

质量与质心

## 质量与质心
由力学知道， $n$ 个质点系的质心坐标为

$$
\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum_{i=1}^n m_i x_i}{\sum_{i=1}^n m_i}, \quad \bar{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum_{i=1}^n m_i y_i}{\sum_{i=1}^n m_i},
$$

其中 $m_i$ 为第 $i$ 个质点的质量， $M_x=\sum_{i=1}^n m_i y_i ， M_y=\sum_{i=1}^n m_i x_i$ 分别是质点系对 $x$ 轴和 $y$ 轴的静力矩， $m=\sum_{i=1}^n m_i$ 是质点系的总质量.
设有一平面薄片，它位于 $x O y$ 面内区域 $D$ 上，在点 $(x, y)$ 处的面密度为区域 $D$ 上的连续函数 $\rho(x, y)$.
现求它的质量和质心坐标.
在区域 $D$ 上任取一个小区域 $\mathrm{d} \sigma$ ( $\mathrm{d} \sigma$ 也表示小区域的面积)，在 $\mathrm{d} \sigma$ 上任取一 点 $(x, y)$. 由于 $\mathrm{d} \sigma$ 很小， $\rho(x, y)$ 又在 $D$ 上连续，
所以相应于 $\mathrm{d} \sigma$ 的部分薄片的质量近似等于 $\rho(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，平面薄片的质量为

$$
m=\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma .
$$

同理，
相应于 $\mathrm{d} \sigma$ 的部分薄片对 $x$ 轴和 $y$ 轴的静力矩近似等于 $y \mathrm{~d} m=y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 和 $x \mathrm{~d} m=x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma ，$
即 $\mathrm{d} M_x=x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma, \mathrm{d} M_y=y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，
于是平面薄片对 $x$ 轴和 $y$ 轴的静力矩分别为

$$
\begin{array}{c:c}
M_x=\iint_D y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma, & M_y=\iint_D x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma,
\end{array}
$$

所以平面薄片的质心坐标为

$$
\bar{x}=\frac{M_y}{m}=\frac{\iint_D x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}, \quad \bar{y}=\frac{M_x}{m}=\frac{\iint_D y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma} .
$$

如果平面薄片是均匀的，即 $\rho(x, y)$ 是常数，则均匀平面薄片的质心坐标为

$$
\bar{x}=\frac{1}{A} \iint_D x \mathrm{~d} \sigma, \quad \bar{y}=\frac{1}{A} \iint_D y \mathrm{~d} \sigma ，
$$

其中 $A=\iint_D \mathrm{~d} \sigma$ 为闭区域 $D$ 的面积. 这时平

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