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三重积分的概念

## 三重积分的概念
和二重积分一样，我们仍然从具体的实例引出三重积分的概念 我们来看空间物体的质量:
假设物体在空间占有有界闭区域为 $\Omega$ ，若物体是均质的，即密度 $\rho$ 是常量，则质量 $M=\rho V$ ，其中 $V$ 是 $\Omega$ 的体积. 若物体是非均质的，密度 $\rho$ 是变量，

不妨设 $\rho=\rho(x, y, z) ，(x, y, z) \in \Omega ， \rho(x, y, z)$ 是连续函数，任 取若干个曲面网，将区域 $\Omega$ 分成 $n$ 个小区域 $\Delta v_i(i=1,2, \cdots, n)\left(\Delta v_i\right.$ 既 表示第 $i$ 个小区域，也表示其体积)，并记 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta v_i\right.$ 的直径 $\}$ ， 在 $\Delta v_i$ 内任取一点 $\left(x_i, y_i, z_i\right)$ ，以该点的密度 $\rho\left(x_i, y_i, z_i\right)$ 近似表 示该小区域上每一点的密度，则 $\Delta v_i$ 的质量为 $\Delta m_i \approx \rho\left(x_i, y_i, z_i\right) \Delta v_i$ ， 因此当 $\lambda \rightarrow 0$ 时就有

$$
M=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \Delta m_i=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \rho\left(x_i, y_i, z_i\right) \Delta v_i .
$$

定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分.
定义 设函数 $f(x, y, z)$ 在空间的有界闭区域 $\Omega$ 上有界，将 $\Omega$ 任意地分成 $n$ 个 小区域 $\Delta v_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，其中既 $\Delta v_i$ 表示第 $i$ 个小区域，也表示它的体积. 任取 $\left(x_i, y_i, z_i\right) \in \Delta v_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，记 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta v_i\right.$ 的直径 $\}$ ，若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(x_i, y_i, z_i\right) \Delta v_i$ 存 在，则称函数 $f(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上可积, 此极限称为函数 $f(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上的三重积分， 记作 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v$ ， 即

$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\lim _{\lambda \rig

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