最后更新: 2024-10-07 09:38 查看: 534 次反馈同步训练

利用柱面坐标计算三重积分

## 利用柱面坐标计算三重积分
设 $M(x, y, z)$ 为空间内一点， $M$ 在 $x O y$ 面上的投影为点 $P$ ，点 $P$ 用极坐标为 表示为 $(r, \theta)$ ，则这样的三个数 $r, \theta, z$ 就叫做点 $M$ 的柱面坐标，
![图片](/uploads/2023-10/0dadc3.svg){width=300px}

规定 $r, \theta, z$ 的变化范围为:

$$
0 \leq r<+\infty, \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi, \quad-\infty<z<+\infty,
$$

$r=$ 常数，即表示以 $z$ 轴为轴的圆柱面；
$\theta=$ 常数，即表示过 $z$ 轴为轴的半平面；
$z=$ 常数，即表示与 $x O y$ 面平行的平面.
直角坐标系与柱面坐标系的关系为 $x=r \cos \theta ， y=r \sin \theta ， z=z$

![图片](/uploads/2023-10/cf07e3.svg){width=400px}

>关于柱坐标详细介绍，请参考 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=162

这样三重积分从直角坐标系变化到柱面坐标系的公式为

$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{d} z
$$

若设 $\Omega=\left\{(r, \theta, z) \mid z_1(r, \theta) \leq z \leq z_2(r, \theta), r_1(\theta) \leq r \leq r_2(\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta\right\}$ ，
将柱面坐标系下的三重积分化为三次积分，就有

$$
\iiint_{\Omega}^{-} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\int_\alpha^\beta \mathrm{d} \theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r \mathrm{~d} r \int_{z_1(r

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