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二维离散型随机变量函数的分布
日期:
2023-01-03 11:02
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定理 1 (分布的可加性) 设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 (1)设 $X \sim B(m, p), Y \sim B(n, p)$ ， 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $$ X+Y \sim B(m+n, p) \text {; } $$ (2) 设 $X \sim P\left(\lambda_1\right), Y \sim P\left(\lambda_2\right)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $$ X+Y \sim P\left(\lambda_1+\lambda_2\right) \text {. } $$ 定理1可推广到 $n$ 个相互独立的随机变量的和.  因此，有如下结论。 如果二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律为 $$ P\left(X=a_i, Y=b_j\right)=p_{i j}, \quad i, j=1,2, \cdots, $$ 则随机变量 $(X, Y)$ 的函数 $Z=g(X, Y)$ 的分布律为 $$ P\left(Z=g\left(a_i, b_j\right)\right)=p_{i j}, \quad i, j=1,2, \cdots, $$ 且取相同 $g\left(a_i, b_j\right)$ 值对应的那些概率应合并相加。   定理2 设随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x, y)$ ， 则随机变量 $(X, Y)$ 的函数 $Z=X+Y$ 的密度函数为 $$ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x, z-x) \mathrm{d} x \text { 或 } f_z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(z-y, y) \mathrm{dy} $$ 特别地，当 $X$ 与 $Y$ 相互独立时，上式成为 $$ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \mathrm{d} x \text { 或 } f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(z-y) f_Y(y) d y $$ 该公式称为卷积公式. 证明 对任意的 $z \in R$ ， $$ \begin{aligned} & F_Z(z)=P(Z \leq z)=P(X+Y \leq z)=\iint_{x+y \leq z} f(x, y) d x d y \\ & F_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^z f_X(v, u-x) d u d v=\int_{-\infty}^z \int_{-\infty}^{+\infty} f(\mathrm{v}, u-v) d v d u \end{aligned} $$ 由 $z$ 的任意性知 $\quad f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) d x$ 同理得 $$ f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) d y . $$ 显然，当随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立时， $$ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) d x \quad f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y) f_Y(y) d y . $$ 定理3 正态分布的可加性 设 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立， 则 $X+Y \sim N\left(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2\right)$ 更一般地，有 $$ k X+l Y+b \sim N\left(k \mu_1+l \mu_2+b, k^2 \sigma_1^2+l^2 \sigma_2^2\right) $$ 其中 $k, l, b$ 均为常数，且 $k, l$ 不全为零.   定理 4 设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 的分布函数为 $F_X(x)$ ， $Y$ 的分布函数为 $F_Y(y)$ ，则 (1) $U=\max (X, Y)$ 的分布函数为 $$ F_U(u)=F_X(u) F_Y(u) $$ (2) $V=\min (X, Y)$ 的分布函数为 $$ F_V(v)=1-\left(1-F_X(v)\right)\left(1-F_Y(v)\right) $$ 由分布函数的定义及 $X$ 与 $Y$ 相互独立得 $$ \begin{aligned} F_U(u) & =P(\max (X, Y) \leq u)=P(X \leq u, Y \leq u) \\ & =P(X \leq u) P(Y \leq u)=F_X(u) F_Y(u) \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} F_V(v) & =P(V \leq v)=P(\min (X, Y) \leq v) \\ & =1-P(\min (X, Y)>v)=1-P(X>v, Y>v)=1-P(X>v) P(Y>v) \\ & =1-(1-P(X \leq v))(1-P(Y \leq v)) \\ & =1-\left(1-F_X(v)\right)\left(1-F_Y(v)\right) \end{aligned} $$  例4 设 $X_1$ 与 $X_2$ 是相互独立的随机变量, $X_1 \sim E\left(\lambda_1\right), X_2 \sim E\left(\lambda_2\right)$ 记 $U=\max (X, Y), V=\min (X, Y)$, 分别求 $U ， V$ 的密度函数. 
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2023-01-03 11:02
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