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幂级数的运算与和函数

关于幂级数的运算和性质，我们不加证明地给出以下各定理.
定理 3 (代数运算) 设幂级数

$$
a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots, \quad b_0+b_1 x+b_2 x^2+\cdots+b_n x^n+\cdots
$$

的收敛区间分别为 $\left(-R_1, R_1\right)$ 及 $\left(-R_2, R_2\right)$ ，其和函数分别为 $f(x)$ 与 $g(x)$ ，即

$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=f(x), x \in\left(-R_1, R_1\right), \quad \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=g(x), x \in\left(-R_2, R_2\right),
$$

设 $R=\min \left\{R_1, R_2\right\}$ ，则在 $(-R, R)$ 上，两个幂级数可以作加法、减法及乘法运算:

$$
\begin{aligned}
& \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \pm \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n \pm b_n\right) x^n=f(x) \pm g(x), x \in(-R, R), \\
&\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\right)=a_0 b_0+\left(a_0 b_1+a_1 b_0\right) x+\left(a_0 b_2+a_1 b_1+a_2 b_0\right) x^2+ \\
& \cdots+\left(a_0 b_n+a_1 b_{n-1}+\cdots+a_n b_0\right) x^n+\cdots, x \in(-R, R) .
\end{aligned}
$$

可以看出，两个幂级数的加减乘运算与两个多项式的相应运算完全相同. 除 了代数运算外，幂级数在收敛域内还可以进行微分和积分运算.
定理 4 (和函数的连续性) 设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛域为区间 $I$ ，则它的和函 数 $s(x)$ 在收敛域 $I$ 上是连续的.
例如，幂函数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 的收敛域为 $|x|<1$ ，且和函数 $s(x)=\frac{1}{1-x}$ ，即

$$
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots, x \in(-1,1)
$$

易知和函数 $s(x)=\frac{1}{1-x}$ 在收敛域 $(-1,1)$ 上是连续的.
定理 5 (和函数的可导性) 设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R(R>0)$ ，则其和 函数 $s(x)$ 在收敛区间 $(-R, R)$ 内可导，且有逐项求导公式

$$
\left.s^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n x^n\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}, x \in(-R, R) .
$$

逐项求导后所得到的幂级数的收玫半径仍为 $R$.
把 (1) 两端逐项求导，得 $\frac{1}{(1-x)^2}=1+2 x+3 x^2+\cdots+n x^{n-1}+\cdots$,
易知右端级数的收敛半径 $R=1$ ，在 $x=\pm 1$ 处级数发散，故收玫域为 $(-1,1)$.
定理 6 (和函数的可积性) 设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收玫半径为 $R(R>0)$ ，则其和 函数 $s(x)$ 在收敛区间 $(-R, R)$ 内可积，且有逐项求积公式

$$
\int_0^x s(x) \mathrm{d} x=\int_0^x\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right) \mathrm{d} x=\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x a_n x^n \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}, x \in(-R, R) .
$$

把 (1) 式两端逐项积分，得 $\int_0^x \frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x=\int_0^x\left(1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots\right) \mathrm{d} x$ ， 即 $-\ln (1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+\frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots$,
从而级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$ 的和函数为 $-\ln (1-x)$.
例 4 求下列幂级数的收敛域和函数:
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$;
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$;
解 (1) $\rho=\lim _{x \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)}}{\frac{1}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=1$ ，所以 $R=1$.
易知在 $x=-1$ 处，级数收敛；在 $x=1$ 处，级数发散，故级数的收敛域为 $[-1,1)$
设和函数为 $x=-1$ ， 则

$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x x^{n-1} \mathrm{~d} x=\int_0^x \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} \mathrm{~d} x=\int_0^x \frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x=-\ln (1-x), x \in[-1,1) .
$$

(2) $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n}=1$ ，所以 $R=1$. 当 $x \in(-1,1)$ 时，记

$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n x^n=x \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=x \sum_{n=1}^{\infty}\left(x^n\right)^{\prime}=x\left(\frac{x}{1-x}\right)^{\prime}=x\left(\frac{x}{1-x}\right)^{\prime}=\frac{x}{(1-x)^2}, \quad x \in(-1,1) .
$$

(3) 题设级数的收敛域为 $(-1,1]$, 设其和函数为 $s(x)$, 即

$$
s(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+\cdots
$$

显然 $s(0)=0$ 且 $s^{\prime}(x)=1-x+x^2+\cdots+(-1)^{n-1} x^{n-1}+\cdots=\frac{1}{1+x}(-1<x<1)$ ，
由积分公式 $\int_0^x s^{\prime}(x) d x=s(x)-s(0)$ ，得 $s(x)=s(0)+\int_0^x s^{\prime}(x) d x=\int_0^x \frac{1}{1+x} d x=\ln (1+x)$ ，
因题设级数在 $x=1$ 时收敛，所以 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}=\ln (1+x)$.

(4) $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\overline{(n+1) !}}{\frac{1}{n !}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0$ ，所以 $R=+\infty$ ，级数的收敛 域为 $(-\infty,+\infty)$.
当 $x \in(-\infty,+\infty)$ 时，记 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n !}$ ，则 $S^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^n}{n !}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{(n-1) !}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}=S(x)$. 由 $\int \frac{S^{\prime}(x)}{S(x)} \mathrm{d} x=\int \mathrm{d} x$ 知 $\ln S(x)=x+C$ ，由 $S(0)=1$ 得 $S(x)=\mathrm{e}^x ， \quad$ 因此 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}=\mathrm{e}^x ， x \in(-\infty,+\infty)$.)
(5) $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n+1}{n+2}}{\frac{n}{n+1}}=1$ ， 所以 $R=1$.
易知在 $x=-1$ 和 $x=1$ 处，级数均发散，故级数的收敛域为 $(-1,1)$.
设和函数为 $S(x)$ ，则

$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^n=x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n-1}}{n+1}=x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x^n\right)^{\top}}{n+1}=x\left(\frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}\right)^{\top}=x\left(\frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}\right)^{(x \neq 0)}
$$

$$
\begin{aligned}
S(x) & =x\left(\frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x x^n \mathrm{~d} x\right)^{\prime}=x\left(\frac{1}{x} \int_0^x \sum_{n=1}^{\infty} x^n \mathrm{~d} x\right)^{\prime}=x\left(\frac{1}{x} \int_0^x \frac{x}{1-x} \mathrm{~d} x\right)^{\prime}=x\left[\frac{1}{x}(-x-\ln (1-x))\right]^{\prime} \\
& =x\left[-1-\frac{\ln (1-x)}{x}\right]^{\prime}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x} \ln (1-x), \quad x \in(-1,0) \cup(0,1), \quad S(0)=0 .
\end{aligned}
$$

* 例 5 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n 2^{\frac{n}{2}} x^{3 n-1}$ 的收玫域和函数.
  解 该级数为缺项级数，直接用比值法判别:

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{\left(n+12^{\frac{n+1}{2}} x^{3 n+2}\right.}{n 2^{\frac{n}{2}} x^{3 n-1}}\right|=\sqrt{2} \mid x^3,
$$

当 $\sqrt{2}|x|^3<1$ ，即 $|x|<\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ 时，级数绝对收敛；
当 $|x| \geq \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_n(x)\right| \neq 0$ ，级数发散.

$$
\text { 当 } x \in\left(-\frac{1}{\sqrt[6]{2}}, \frac{1}{\sqrt[6]{2}}\right) \text { 时， } \begin{aligned}
S(x) & =\sum_{n=1}^{\infty} n 2^{\frac{n}{2}} x^{3 n-1}=\frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty} 2^{\frac{n}{2}}\left(3 n x^{3 n-1}\right)=\frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{2})^n\left(x^{3 n}\right)^{\prime} \\
& =\frac{1}{3}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{2} x^3\right)^n\right)^{\prime}=\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{2} x^3}{1-\sqrt{2} x^3}\right)^{\prime}=\frac{\sqrt{2} x^2}{\left(1-\sqrt{2} x^3\right)^2} .
\end{aligned}

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