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大数定律
日期:
2023-01-03 13:30
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定理3 切比雪夫大数定律 设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 两两不相关，若 $E\left(X_i\right)<\infty ， D\left(X_i\right)<\infty$ ， $i=1,2, \cdots$ 。则对任意 $\varepsilon>0$ 有 $$ \begin{gathered} P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)\right| \leq \varepsilon\right) \rightarrow 1 \text { 。 } \\ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \stackrel{\mathrm{p}}{\longrightarrow} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)_{\circ} \end{gathered} $$ 证明 因为随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 两两不相关，根据期望和方差的性质得 $$ E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right), \quad D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D\left(X_i\right) \leq \frac{c}{n} $$ 由切比雪夫不等式知，对任意 $\varepsilon>0$ ， 当 $n \rightarrow \infty$ 时， $$ P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)\right| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{1}{\varepsilon^2} D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) \leq \frac{c}{n \varepsilon^2} \rightarrow 0 \text { 。 } $$ $$ \text { 这里随机变量序列 } X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots \text { 两两不相关指序列中的任意两个随机变量线性无关。 } $$ 定理4 (独立同分布大数定律) 设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布，若 $E\left(X_i\right)=\mu<\infty ， D\left(X_i\right)=\sigma^2<\infty$ ， $i=1,2, \cdots$ 。则对任意 $\varepsilon>0$ 有 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i-\mu\right|<\varepsilon\right)=1 . $$ 这里随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布指随机变量序列相互独立， 且序列中随机变量的分布类型及参数均相同。 定理5 (伯努利大数定律) 设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots$ 独立同分布，且 $X_i \sim B\left(1, p_i\right) \quad i=1,2, \cdots$. 则对任意 $\varepsilon>0$ 有 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i-p\right|<\varepsilon\right)=1 . $$ 显然伯努利大数定律是独立同分布大数定律的特例。这里 $$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)=p $$ 频率的稳定性 在 $n$ 次独立重复试验中，设随机变量 $$ X_i=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { 事件 } A \text { 在第 } i \text { 次试验中发生， } \\ 0 \text {,事件 } A \text { 在第 } i \text { 次试验中不发生， } \end{array} X_i \sim B(1, p), p=P(A)\right. $$ 那么 $n$ 欠重复试验中 $A$ 发生的频率为 $$ \begin{aligned} & f_n(A)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i=\bar{X}-\stackrel{\mathrm{p}}{\longrightarrow} p=P(A), \end{aligned} $$   
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