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分块矩阵的线性运算

## 分块矩阵的运算

**(1) 分块矩阵加 (减) 运算:**
设 $A 、 B$ 都是 $m \times n$ 矩阵，对两个矩阵的行和列采用相同的分块方式，不妨设

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{t r} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_t \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{t 1} & A_{t 2} & \cdots & A_{t t}
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cccc}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1 t} \\
B_{22} & B_{22} & \cdots & B_{2 t} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
B_{t 1} & B_{t 2} & \cdots & B_{B t}
\end{array}\right),
$$

其中 $A_{i j}$ 和 $B_{i j}$ 的行数相同、列数相同，则有

$$
A \pm B=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} \pm B_{11} & A_{12} \pm B_{12} & \cdots & A_{t t} \pm B_{1 t} \\
A_{21} \pm B_{21} & A_{22} \pm B_{22} & \cdots & A_{2 t} \pm B_{2 t} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{s 1} \pm B_{s 1} & A_{s 2} \pm B_{s 2} & \cdots & A_{s t} \pm B_{s t}
\end{array}\right) .
$$

**例1** 求矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 3\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{cccc}-2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & -1\end{array}\right)$ 的和 $A+B$.
解 将矩阵 $A$ 与 $B$ 写成分块矩阵如下:

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{c:ccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 & 0 \\
\hdashline 1 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{o} \\
\boldsymbol{A}_2 & \boldsymbol{A}_3
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{c:ccc}
-2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 1 \\
\hdashline & 1 & -4 & 2 \\
\hdashline 2 & -1 & 0 & -3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{B}_1 & \boldsymbol{B}_2 \\
\boldsymbol{B}_3 & \boldsymbol{B}_4
\end{array}\right)
$$

F是, $\quad A+B=\left(\begin{array}{ll}A_1 & O \\ A_2 & A_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A_1+B_1 & O+B_2 \\ A_2+B_3 & A_3+B_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A_1+B_1 & B_2 \\ A_2+B_3 & A_3+B_4\end{array}\right)$.
而
所以

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{A}_1+\boldsymbol{B}_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
3
\end{array}\right), \\
\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{c|ccc}
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 1 \\
3 & 1 & -4 & 2 \\
\hline 3 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$

$$
\boldsymbol{A}_2+\boldsymbol{B}_3=1+2=3, \quad \boldsymbol{A}_3+\boldsymbol{B}_4=(1,0,3)+(-1,0,-3)=(0,0,0),
$$

**(2) 分块矩阵的数乘运算:**
矩阵的分块方式没有特别规定，对任意的分块 $A=\left(\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_t \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{t 1} & A_{t 2} & \cdots & A_{t i}\end{array}\right)$, 都有

$$
k A=\left(\begin{array}{cccc}
k A_{11} & k A_{12} & \ldots & k A_1 \\
k A_{21} & k A_{22} & \ldots & k A_{2 t} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
k A_{11} & k A_{12} & \ldots & k A_{t u}
\end{array}\right) .
$$

在矩阵的数乘运算中，对矩阵的分块可以根据矩阵本身的特点而定.

**(3) 分块矩阵的乘法:**
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times s$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $s \times n$ 矩阵，要求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列分块方式与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行分块方式 保持一致，而对矩阵 $A$ 的行分块方式及矩阵 $B$ 的列分块方式没有任何要求和限制.
不妨设
其中 $A_1, A_{i 2}, \cdots, A_{i k}$ 的列数分别等于 $B_{1 j}, B_{2 j}, \cdots, B_{i j}$ 的行数， 则
其中

$$
C_{i j}=\sum_{t=1}^k A_{i t} B_{i j}=A_{i t} B_{1 j}+A_{i 2} B_{2 j}+\cdots+A_{i k} B_{i j}
$$

例 2 设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0\end{array}\right)$, 求 $A B$.
解 把矩阵 $A$ 与 $B$ 如下分块:

$$
\begin{aligned}
& A=\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 1 \\
\hline-1 & 0 &

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