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排列及其逆序数

## 1. 排列及其逆序数
为了解决$n$阶行列式计算的问题，我们需要引入一个概念：逆序数。

什么叫做顺序？按照规则排列的数叫做顺序，比如
$1,2,3,4,5$ 是从小到大排列的，他是顺序的， 再比如
$5,4,3,2,1$ 是从大到小排列的，他也是顺序的，但是
$1,2,3,5,4$ 则不是顺序的，因为 $1,2,3,5$是从小到大，而$5,4$由从大到小，此时就不是顺序了。

从概念上说，$1,2,3,4,5$和$5,4,3,2,1$都是顺序的，但是显然前者更符合我们常规的从小到大的认识，因此一般我们把从 $1,2, \cdots, n$ 成为一个顺序排列。

## 全排列

**定义1**  从 $1,2, \cdots, n$ 中任意选取 $r$ 个不同的数排成一列，称为排列.
**定义2** 将 $1,2, \cdots, n$ 这 $n$ 个不同的数排成一列，称为 $n$ 阶全排列，也简称为全排列.
例如，设有 $1,2,3,4,5$ 五个元素，则 31 是五个元素的一个排列，
312 是五个元素的一个排列，也可以看成是 $1,2,3$ 三个元素的一个全排列;
4215是五个元素的一个排列， 而 42153 是五个元素的一个全排列.
$n$ 阶全排列的总数为 $n !=n \cdot(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$. 全排列 $12 \cdots n$ 称为 $n$ 个数的标准排列.

**定义3** 在一个排列中，如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 的逆序数记为 $\tau\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)$.
例如全排列
![图片](/uploads/2023-01/image_202301027b0d7d7.png)

$$
\tau(42153)=0+1+2+0+2=5 .
$$

从而 42153 的逆序数为 $\tau(42153)=5$.

#### 奇排列与偶排列
**定义4** 逆序数为偶数的排列，称为偶排列；逆序数为奇数的排列，称为奇排列.
例如， $\tau(213)=1$ ，所以 213 是一个奇排列；而 $\tau(312)=2$ ，所以 312 是一个偶排列。
**定义5** 只交换排列中某两个数的位置，其它的数保持不动而得到一个新排列的变换，称为一个对换. 若交换的是相邻位置的两个元素，则称该对换为相邻对换.
例如，经过2、1对换，排列 42153就变成了排列 41253，这个对换是相邻对换；
经过 $2 、 5$ 对换，排列 42153 就变成了排列 45123 ，这个对换不是相邻对换.

**定理1** 对换改变排列的奇偶性.
显然， $a, b$ 与其它数构成的逆序在排列(1-1)和排列(1-2)中是一样的，不同的只是 $a, b$ 的次序.
当 $a<b$ 时， $a b$ 原来是标准序，对换后 $b a$ 构成一个逆序，
于是排列(1-2)的逆序数是排列(1-1)的逆序数增加1；
当 $a>b$ 时， $a b$ 原来是逆序，对换后 $b a$ 是标准序，
于是排列(1-2)的逆序数是排列(1-1)的逆序数减少 1 .
所以无论增加还是减少1，相邻对换都改变了排列的奇偶性.
对于不相邻的对换，不妨假设原排列为 $\cdots a i_1 \cdots i_s b \cdots$ ， 经过 $a, b$ 对换后变为排列 $\cdots b i_1 \cdots i_s a \cdots$,
这个改变过程实际上就是通过先将 $a$ 依次与其后面相邻的元素作 $s+1$ 次相邻对换变为 $\cdots i_1 \cdots i_s b a \cdots$,
再通过将 $b$ 依次与前面相邻的元素作 $s$ 次相邻对换变而得到.
一共进行了 $2 s+1$ 次相邻对换，所以改变了排列的奇偶性.

**定理2** 在 $n$ 阶排列中，偶排列和奇排列各占一半，即各有 $\frac{n !}{2}$ 个.
*证明 记 $P_n\left(S_n 、 T_n\right)$ 为所有 $n$ 阶 (奇、偶) 排列构成的集合，则 $P_n=S_n \cup T_n$ 并且 $S_n \cap T_n=\varnothing$ ，
于是有 $\left|S_n\right| \leq\left|T_n\right| 、\left|T_n\right| \leq\left|S_n\right|$ ， 所以 $\left|S_n\right|=\left|T_n\right|=\frac{1}{2}\left|P_n\right|=\frac{1}{2} n !$ 。

**例1** 证明 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}$ 是 6 阶行列式 $D_6=\left|a_{i j}\right|_{666}$ 的一项，并求这项应带的符号.
证明 调换 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}$ 中元素的位置，使得调换后的乘积中元素的行标是标准序， 即 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}=a_{16} a_{23} a_{35} a_{41} a_{52} a_{64}$,
这时，乘积中元素的列标排列为 635124 ，是一个 6 阶全排列，
因而 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}$ 是位于 $D_6=\left|a_{i j}\right|_{6 \times 6}$ 的不同行、不同列的 6 个元素的乘积，
因此是这个 6 阶行列式的一项. 由于 $\tau(635124)=10$ ， 所以这项前面带正号.

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