科数网
学习首页
高中数学
高中物理
微积分
线性代数
概率论
赞助
在线教程
线性代数
第一篇 行列式
排列及其逆序数
最后更新:
aDream 李于2024-08-25 06:38
查看:
453
次
下载
编辑本文
科数网
排列及其逆序数
## 1. 排列及其逆序数 为了解决$n$阶行列式计算的问题,我们需要引入一个概念:逆序数。 什么叫做顺序?按照规则排列的数叫做顺序,比如 $1,2,3,4,5$ 是从小到大排列的,他是顺序的, 再比如 $5,4,3,2,1$ 是从大到小排列的,他也是顺序的,但是 $1,2,3,5,4$ 则不是顺序的,因为 $1,2,3,5$是从小到大,而$5,4$由从大到小,此时就不是顺序了。 从概念上说,$1,2,3,4,5$和$5,4,3,2,1$都是顺序的,但是显然前者更符合我们常规的从小到大的认识,因此一般我们把从 $1,2, \cdots, n$ 成为一个顺序排列。 ## 全排列 **定义1** 从 $1,2, \cdots, n$ 中任意选取 $r$ 个不同的数排成一列,称为排列. **定义2** 将 $1,2, \cdots, n$ 这 $n$ 个不同的数排成一列,称为 $n$ 阶全排列,也简称为全排列. 例如,设有 $1,2,3,4,5$ 五个元素,则 31 是五个元素的一个排列, 312 是五个元素的一个排列,也可以看成是 $1,2,3$ 三个元素的一个全排列; 4215是五个元素的一个排列, 而 42153 是五个元素的一个全排列. $n$ 阶全排列的总数为 $n !=n \cdot(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$. 全排列 $12 \cdots n$ 称为 $n$ 个数的标准排列. **定义3** 在一个排列中,如果一对数的排列顺序与自然顺序相反,即排在左边的数比排在它右边的数大,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列 $i_1 i_2 \cdots i_n$ 的逆序数记为 $\tau\left(i_1 i_2 \cdots i_n\right)$. 例如全排列 ![图片](/uploads/2023-01/image_202301027b0d7d7.png) $$ \tau(42153)=0+1+2+0+2=5 . $$ 从而 42153 的逆序数为 $\tau(42153)=5$. #### 奇排列与偶排列 **定义4** 逆序数为偶数的排列,称为偶排列;逆序数为奇数的排列,称为奇排列. 例如, $\tau(213)=1$ ,所以 213 是一个奇排列;而 $\tau(312)=2$ ,所以 312 是一个偶排列。 **定义5** 只交换排列中某两个数的位置,其它的数保持不动而得到一个新排列的变换,称为一个对换. 若交换的是相邻位置的两个元素,则称该对换为相邻对换. 例如,经过2、1对换,排列 42153就变成了排列 41253,这个对换是相邻对换; 经过 $2 、 5$ 对换,排列 42153 就变成了排列 45123 ,这个对换不是相邻对换. **定理1** 对换改变排列的奇偶性. 显然, $a, b$ 与其它数构成的逆序在排列(1-1)和排列(1-2)中是一样的,不同的只是 $a, b$ 的次序. 当 $a<b$ 时, $a b$ 原来是标准序,对换后 $b a$ 构成一个逆序, 于是排列(1-2)的逆序数是排列(1-1)的逆序数增加1; 当 $a>b$ 时, $a b$ 原来是逆序,对换后 $b a$ 是标准序, 于是排列(1-2)的逆序数是排列(1-1)的逆序数减少 1 . 所以无论增加还是减少1,相邻对换都改变了排列的奇偶性. 对于不相邻的对换,不妨假设原排列为 $\cdots a i_1 \cdots i_s b \cdots$ , 经过 $a, b$ 对换后变为排列 $\cdots b i_1 \cdots i_s a \cdots$, 这个改变过程实际上就是通过先将 $a$ 依次与其后面相邻的元素作 $s+1$ 次相邻对换变为 $\cdots i_1 \cdots i_s b a \cdots$, 再通过将 $b$ 依次与前面相邻的元素作 $s$ 次相邻对换变而得到. 一共进行了 $2 s+1$ 次相邻对换,所以改变了排列的奇偶性. **定理2** 在 $n$ 阶排列中,偶排列和奇排列各占一半,即各有 $\frac{n !}{2}$ 个. *证明 记 $P_n\left(S_n 、 T_n\right)$ 为所有 $n$ 阶 (奇、偶) 排列构成的集合,则 $P_n=S_n \cup T_n$ 并且 $S_n \cap T_n=\varnothing$ , 于是有 $\left|S_n\right| \leq\left|T_n\right| 、\left|T_n\right| \leq\left|S_n\right|$ , 所以 $\left|S_n\right|=\left|T_n\right|=\frac{1}{2}\left|P_n\right|=\frac{1}{2} n !$ 。 **例1** 证明 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}$ 是 6 阶行列式 $D_6=\left|a_{i j}\right|_{666}$ 的一项,并求这项应带的符号. 证明 调换 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}$ 中元素的位置,使得调换后的乘积中元素的行标是标准序, 即 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}=a_{16} a_{23} a_{35} a_{41} a_{52} a_{64}$, 这时,乘积中元素的列标排列为 635124 ,是一个 6 阶全排列, 因而 $a_{52} a_{16} a_{41} a_{64} a_{23} a_{35}$ 是位于 $D_6=\left|a_{i j}\right|_{6 \times 6}$ 的不同行、不同列的 6 个元素的乘积, 因此是这个 6 阶行列式的一项. 由于 $\tau(635124)=10$ , 所以这项前面带正号.
上一篇:
三阶行列式的几何意义
下一篇:
n 阶行列式
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
科数网知识库旨在打造一个可以顺序阅读的在线电子学习教程,点击顶部的
编辑本文
来完善本文,如果本文对您有用,也欢迎
赞助我们
0
篇笔记
写笔记
更多笔记
提交笔记