矩估计

日期: 2023-01-03 14:15 查看: 76 次

设总体 $X \sim f(x ; \theta), \theta$ 为总体分布中的末知参数， $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 是取自总体的一个样本， 用样本来构造 $\theta$ 的估计，称 $\hat{\theta}\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为 $\theta$ 的一个点估计，记作 $\hat{\theta}=\hat{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$.
两个常用方法: 矩估计法和极大似然估计法. 所求出的估计量则分别称为矩估计量和极 大似然估计量.

用样本的 $k$ 阶原点矩替代总体的 $k$ 阶原点矩，这样得到的末知参数 $\theta$ 的估计量 称为 $\theta$ 的矩估计量.
1） 总体的 $k$ 阶原点矩 $\mu_k=E\left(X^k\right)$
2）样本的 $k$ 阶原点矩 $A_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$

例1设 $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ 是取自总体 $X$ 的一个样本. 在下列两种情形下，试求总体参数的矩 估计量.
01  总体 $X \sim B(1, p)$, 其中 $p$ 末知, $0<p<1$;
02 总体 $x \sim E(\lambda)$, 其中 $\lambda$ 末知, $\lambda>0$.
解：
（1）从随机变量数字特征的结论，易知 0-1 分布的随机变量期望 $E(X)=p$ ，即末知
参数 $p$ 可表示称为总体一阶矩的函数 $p=E(X)$ ，用样本一阶矩替换总体一阶矩，可 得 $p$ 的矩估计量为 $\hat{p}=\bar{X}$.
(2) $E(X)=\frac{1}{\lambda}$ ，即 $\lambda=\frac{1}{E(X)}$ ，所以 $\lambda$ 的矩估计量为 $\hat{\lambda}=\frac{1}{\bar{X}}$.

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例3
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right) ，\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ 是取自总体 $X$ 的一个样本，
(1) 求 $\mu$ 的矩估计量;
(2) $\mu$ 已知， $\sigma^2$ 末知，求 $\sigma^2$ 的矩估计量；
(3) $\mu$ 和 $\sigma^2$ 都末知，求 $\sigma^2$ 的矩估计量.
(1) $\mu=E(X)$ ，故 $\mu$ 的矩估计量 $\hat{\mu}=\bar{X}$ ；
(2) $\sigma^2=D(X)=E\left(X^2\right)-E^2(X)$, 又因为 $\mu=E(X)$ 已知， 故 $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-\mu^2$
(3) 因为 $\mu=E(X)$ 末知，故

$$
\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-(\bar{X})^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2=S_n^2 .
$$

关于矩估计量有下列结论:
定理 设总体 $X$ 的均值 $E(X)=\mu$ ，方差 $D(X)=\sigma^2 ，\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为取自该总体的一个样本，
则 $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的矩估计量, $S_n^2$ 是 $\sigma^2$ 的矩估计量， $S_n$ 是 $\sigma$ 的矩估计量.

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设 $X \sim U(-\theta, \theta),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为取自该总体的 一个样本，求 $\theta(\theta>0)$ 的矩估计量.
解 因 $E(X)=0$ ，而 $E\left(X^2\right)=D(X)=\frac{\theta^2}{3}$,
所以可由此解出 $\theta^2=3 E\left(X^2\right), \theta=\sqrt{3 E\left(X^2\right)}$,
故 $\theta$ 的矩估计量为 $\hat{\theta}=\sqrt{3 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}$.

$$
X \sim f(x, \theta)= \begin{cases}\frac{2 x}{\theta^2} & 0<x<\theta \\ 0 & \text { 其余 }\end{cases}
$$

其中 $\theta>0$ 末知, 求 $\theta$ 的矩估计量.
解 由已知条件可求得

$$
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=\int_0^\theta x \frac{2 x}{\theta^2} \mathrm{~d} x=\frac{2 \theta}{3}
$$

故， $\theta=\frac{3}{2} E(X)$. 所以 $\hat{\theta}=\frac{3}{2} \bar{X}$.

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