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余子式与代数余子式

## 余子式与代数余子式
一般来说，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简单，于是，我们自然的考虑用低阶行列式来表达高阶行列式。

### 定义
**余子式**：设 $|A|$ 是一个 $n$ 阶行列式，划去的第 $i$ 行及第 $j$ 列，剩下的 $(n-1)^2$ 个元素按照原来的顺序组成了一个 $n-1$ 行列式，这个行列式称为 $|A|$ 的第 $(i, j)$ 元素的余子式，记为 $M_{i j}$ 。

$$
M_{i j}=\left|\begin{array}{cccccc}
a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\
a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right| .
$$

你看到这个定义，你想到了什么？是**降阶**！！ 比如把5阶行列式转换成4阶行列式，循环用上面的定义，把4阶行列式转换为3阶行列式，把3阶行列式转换为2阶行列式，直到最后转换为1阶行列式。这是我们处理高阶行列式最原始的想法，因此提出了余子式的概念。

我们注意到三阶行列式的值是用二阶行列式来定义的，而二阶行列式又可以由一阶来定义，这是一个递归的想法，因此 $n$ 阶行列式的值可以用 $n-1$ 阶行列式来定义. 即我们可以用归纳法来定义上述行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的值.

根据上面定义， 当 $n=1$ 时, 上式的值定义为 $|\boldsymbol{A}|=a_{11}$. 现假定对 $n-1$阶行列式已经定义了它们的值, 则对任意的 $i, j, M_{i j}$ 的值已经定义, 定义 $n$ 阶行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的值为

$$
|\boldsymbol{A}|=a_{11} M_{11}-a_{21} M_{21}+\cdots+(-1)^{n+1} a_{n 1} M_{n 1} ... (1.7.2) 
$$

对于任一自然数 $n,(1.3 .2)$ 式给出了一个计算 $n$ 阶行列式的方法: 将 $n$ 阶行列式化为 $n-1$ 阶行列式，再化 $n-1$ 阶行列式为 $n-2$ 阶， $\cdots$ ，最后便可求出 $|\boldsymbol{A}|$的值. 上式又称为行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 按第一列展开的展开式.

为了使 $(1.7.2)$ 式的形状更好些, 我们引进代数余子式的概念.

**代数余子式**：设 $|A|$ 是一个 $n$ 阶行列式， $M_{i j}$ 是 $|A|$ 的第 $(i, j)$ 元素的余子式  ，定义 $|A|$ 的第 $(i, j)$ 元素的代数余子式为:
$A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{i j}$

从定义可以看出，代数余子式比余子式多了一个正负号（为什么多了一个正负号？因为在行列式案列展开时，每一项会多一个正负号）。

用代数余子式 $(1.7.2)$ 式可写为如下形状:

$$
|\boldsymbol{A}|=a_{11} A_{11}+a_{21} A_{21}+\cdots+a_{n 1} A_{n 1}
$$

这样便于记忆。

注 我们的定义与二阶、三阶行列式的定义是一致的. 以二阶行列式为例, 设有二阶行列式

$$
\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
$$

$a_{11}$ 的余子式 $M_{11}=a_{22}, a_{21}$ 的余子式 $M_{21}=a_{12}$, 故 $A_{11}=(-1)^{1+1} a_{22}=a_{22}$, $A_{21}=(-1)^{2+1} a_{12}=-a_{12}$. 而

$$
\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}
$$
 恰好和二阶行列式的定义一致. 
 
## 举例

设矩阵$A$为4阶行列式，如下图，

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102319049c.png)

①按照第三行第二列展开（蓝色虚线），则 $|\boldsymbol{A}|  $   的 $(3,2) $ 元素的余子式和代数余子式分别为

$$
M_{32}=\left|\begin{array}{ccc}
4 & 1 & 3 \\
2 & 3 & 0 \\
1 & 0 & -3
\end{array}\right|, \quad A_{32}=(-1)^{3+2} M_{32}=-M_{32}
$$

②按照第一行和第三列展开（橙色虚线），则 $|\boldsymbol{A}|$ 的 $(1,3)$ 元素的余子式和代数余子式分别为

$$
M_{13}=\left|\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
-2 & 3 & 1 \\
1 & -1 & -3
\end{array}\right| \quad, \quad A_{13}=(-1)^{1+3} M_{13}=M_{13}
$$

> 要注意余子式和代数余子式的区别，再求余子式的时候，只需要注意划去某行或者某列，在求行列式即可；但是再求代数余子式的时候，要注意正负号的区别，这个是一个易错点，请大家注意.

## 代数余子式的性质
行列式 $D=\left|a_{i j}\right|_n$ 等于它的任意一行的元素与其代数余子式的乘积之和

$$
\sum_{k=1}^n a_{k i} A_{k j}= \begin{cases}D, & \text { 当 } i=j, \\ 0, & \text { 当 } i \neq j\end{cases}
$$

我们不打算证明这个定理，有兴趣的同学可以参考专业课本查看证明，这里给出一个最简单的记忆法：

我们已经知道三阶行列式的计算：
$$
\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{ll}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{ll}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{ll}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}\right| .
$$

仔细看，他其实就是按照第一行展开的。

### 推论1
一行元素与另外一行元素的代数余子式乘积之和为0 即
$a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{j k}=0(i \neq j),$

#### 例题
计算
$$
D=\left|\begin{array}{rrrrr}
5 & 3 & -1 & 2 & 0 \\
1 & 7 & 2 & 5 & 2 \\
0 & -2 & 3 & 1 & 0 \\
0 & -4 & -1 & 4 & 0 \\
0 & 2 & 3 & 5 & 0
\end{array}\right|
$$

解：仔细观察这个行列式最后一列包含的0最多，因此，我们使用最后一列进行展开。

$$
\begin{aligned}
D=\left|\begin{array}{rrrrr}
5 & 3 & -1 & 2 & 0 \\
1 & 7 & 2 & 5 & 2 \\
0 & -2 & 3 & 1 & 0 \\
0 & -4 & -1 & 4 & 0 \\
0 & 2 & 3 & 5 & 0
\end{array}\right| & =(-1)^{2+5} 2\left|\begin{array}{rrrr}
5 & 3 & -1 & 2 \\
0 & -2 & 3 & 1 \\
0 & -4 & -1 & 4 \\
0 & 2 & 3 & 5
\end{array}\right|=-2 \times 5\left|\begin{array}{rrr}
-2 & 3 & 1 \\
-4 & -1 & 4 \\
2 & 3 & 5
\end{array}\right| \\
& =-10\left|\begin{array}{rrr}
-2 & 3 & 1 \\
0 & -7 & 2 \\
0 & 6 & 6
\end{array}\right|=(-10) \times(-2)\left|\begin{array}{rr}
-7 & 2 \\
6 & 6
\end{array}\right| \\
& =20(-42-12)=-1080 .
\end{aligned}
$$

## 例题
**例1：**
已知行列式
$$
D_5=\left|\begin{array}{lllll}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 4 & 5 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 2 \\
4 & 3 & 1 & 5 & 0
\end{array}\right|=27
$$
计算 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}+A_{45}$ 以及 $A_{41}$.

解:（1） $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}+A_{45}$
$=\left|\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 5 & 0\end{array}\right|=9$.

$$
A_{41}=(-1)^{4+1}\left|\begin{array}{cccc}
2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 4 & 5 \\
3 & 1 & 5 & 0
\end{array}\right|=-3
$$

仔细观察本题，我们在计算 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}+A_{45}$ 时，我们把原有行列式的第4行全部换为 1 ，那么这个 1 到底是为什么?
因为再确定代数余子式时，是由除去 $a_{i j}$ 所在的行与列的其他元素决定的，跟 $a_{i j}$ 所在位置的具体数值无关，比如要求让你求 $a A_{41}+b A_{42}+c A_{43}+d A_{44}+e A_{45}$ ， (其中 $a, b, c, d, e$为任意数字)那么该怎么办呢，只需要我们把第四行依次换为 $a, b, c, d, e$ 在求行列式即可。

**例2：**
设
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right|
$$

求 $D$ 的所有元素的代数余子式之和.
解:  显然有行列式 $D$ 的最后一列都是1，利用行列式展开公式可得:

$$
A_{1 k}+A_{2 k}+\cdots+A_{n k}=\left\{\begin{array}{c}
0, k \neq n \\
|D|=1, k=n
\end{array}\right.
$$

所以可得:

$$
\sum_{i=1}^n \sum_{y=1}^n A_{i j}=0+0+\cdots+0+1=1
$$

**例3** 设

$$
D=\left|\begin{array}{rrrr}
3 & -5 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 0 & -5 \\
-1 & 3 & 1 & 3 \\
2 & -4 & -1 & -3
\end{array}\right|
$$

$D$ 的 $(i, j)$ 元的余子式和代数余子式依次记作 $M_{i j}$ 和 $A_{i j}$, 求

$$
A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14} \text { 及 } M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41} \text {. }
$$

解 按代数余子式可知 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$ 等于用 $1,1,1,1$ 代替 $D$ 的第 1 行所得的行列式, 即

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14} \\
= & \left|\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & -5 \\
-1 & 3 & 1 & 3 \\
2 & -4 & -1 & -3
\end{array}\right| \xlongequal[r_3-r_1]{r_4+r_3}\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & -5 \\
-2 & 2 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 0 & 0
\end{array}\right| \\
= & \left|\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -5 \\
-2 & 2 & 2 \\
1 & -1 & 0
\end{array}\right| \xlongequal{c_2+c_1}\left|\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -5 \\
-2 & 0 & 2 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rr}
2 & -5 \\
0 & 2
\end{array}\right|=4
\end{aligned}\\
&\text { 按（10）式可知 }\\
&M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}=A_{11}-A_{21}+A_{31}-A_{41}
\end{aligned}
$$

按第一列，
$$
\begin{aligned}
& =\left|\begin{array}{rrrr}
1 & -5 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & 0 & -5 \\
1 & 3 & 1 & 3 \\
-1 & -4 & -1 & -3
\end{array}\right| \xlongequal{r_4+r_3}\left|\begin{array}{rrrr}
1 & -5 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & 0 & -5 \\
1 & 3 & 1 & 3 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{array}\right| \\
& =(-1)\left|\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 1 \\
-1 & 0 & -5 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right| \xlongequal{r_1-2 r_3}-\left|\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & -5 \\
-1 & 0 & -5 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right|=0
\end{aligned}
$$

注意：上面是一个基本技巧，考研时，常用

## 行列式展开的几何意义
在介绍三阶行列式时，我们说他的值为(a,b,c)向量张成向量空间的提交。例如有下面一个行列式

$$
D=\left|\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 &1 \\
\end{array}\right|
$$

他的3行向量分别是 
$\vec{a}=(1,0,0)=\vec{x}$
$\vec{b}=(0,1,0)=\vec{y}$
$\vec{c}=(0,0,1)=\vec{z}$

![图片](/uploads/2024-08/d6da9a.jpg)
 
 很容易看出利用小学知识，很容易知道他的体积为$x*y*z=1$，因此上述行列式的值$D=1$
 
但是，利用余子式计算，就相当于以计算3次，即
- 以xoz为底，以oy为高计算一次
- 以xoy为底，以oz为高计算一次
- 以yoz为底，以ox为高计算一次

这样可以看到体积计算了3次，通过引入代数余子式，增加正负号，可以抵消一个提交，进而得出正确的提交。

那么，又如何理解 一行元素与另外一行元素的代数余子式乘积之和为0 呢？ 
仍以上图为例，一行元素和另外一行代数余子式的成绩，相当于
以xoz为底，以$ox$为高，求其体积，而ox本身在xoz平面式，自然体积为0.

>注意上面仅是为了方便理解和记忆，不做真实推理依据

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