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三角函数
三角函数的定义
正弦、余弦与正切的符号
日期:
2023-11-05 20:43
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正弦、余弦与正切的符号
如果 $P(x, y)$ 是 $\alpha$ 终边上异于原点的任意一点, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, 则 $\sin \alpha=\frac{y}{r}$, 由 $r>0$ 可知, $\sin \alpha$ 的正负与 $\alpha$ 终边上点的纵坐标的符号相同,所以, 当且仅当 $\alpha$ 的终边在第一、二象限, 或 $y$ 轴正半轴上时, $\sin \alpha>0$;当且仅当 $\alpha$ 的终边在第三、四象限, 或 $y$ 轴负半轴上时, $\sin \alpha<0$. 用类似方法可以得到: 当且仅当 $\alpha$ 的终边在第一、四象限, 或 $x$ 轴正半轴上时, $\cos \alpha>0$; 当且仅当 $\alpha$ 的终边在第二、三象限, 或 $x$ 轴负半轴上时, $\cos \alpha<0$. 当且仅当 $\alpha$ 的终边在第一、三象限时, $\tan \alpha>0$; 当且仅当 $\alpha$ 的终边在第二、四象限时, $\tan \alpha<0$. 以上结果可用图 7-2-4 直观表示.  **例1** 设 $\sin \theta<0$ 且 $\tan \theta>0$, 确定 $\theta$ 是第几象限角. 解 因为 $\sin \theta<0$, 所以 $\theta$ 的终边在第三、四象限, 或 $y$ 轴负半轴上;又因为 $\tan \theta>0$, 所以 $\theta$ 的终边在第一、三象限. 因此满足 $\sin \theta<0$ 且 $\tan \theta>0$ 的 $\theta$ 是第三象限角.
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