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立体几何
空间向量的加法
日期:
2023-11-04 07:48
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空间向量的加法
空间向量的加法也可用平行四边形法则: 任意给定两个不共线的向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$, 在空间中任取一点 $A$, 作 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$, 以 $A B, A C$ 为邻边作一个平行四边形 $A B D C$, 作出向量 $\overrightarrow{A D}$, 则 $$ \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} \text {. } $$ **例** 如图 所示是一个平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$, 化简 $$ \overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D D_1} \text {. } $$ ![图片](/uploads/2023-11/image_202311040226060.png) 解 因为底面 $A B C D$ 是一个平行四边形,所以 $\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D B}$, 又因为 $\overrightarrow{D D_1}=\overrightarrow{B B_1}$,所以 $$ \begin{aligned} \overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D D_1} & =\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B B_1} \\ & =2 \end{aligned} $$ 不难看出, 空间向量的加法也满足交换律和结合律, 即对于任意的向量 $a, b, c$, 都有 $$ \begin{aligned} & \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}, \\ & (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) . \end{aligned} $$ ![图片](/uploads/2023-11/image_2023110470fa0d2.png) **向量减法‸** 在空间中任取一点 $O$, 作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$, 作出向量 $\overrightarrow{B A}$, 则向量 $\overrightarrow{B A}$就是向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差 (也称 $\overrightarrow{B A}$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差向量), 即 $$ \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A} \text {. } $$ 当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时, 向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 正好能构成一个三角形, 因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则. 例如下图所示的四棱椎 $O-A B C D$ 中, 有 $$ \begin{aligned} & \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{C A}, \\ & \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{ DB} \end{aligned} $$ ![图片](/uploads/2023-11/image_202311045a61237.png) 同平面中的情形一样, 给定一个实数 $\lambda$ 与任意一个空间向量 $a$, 规定它们的乘积是一个空间向量, 记作 $\lambda \boldsymbol{a}$, 其中: (1) 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}$ 的模为 $|\lambda||\boldsymbol{a}|$, 而且 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向: (1)当 $\lambda>0$ 时, 与 $a$ 的方向相同; (2)当 $\lambda<0$ 时, 与 $a$ 的方向相反. (2)当 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$. 上述实数 $\lambda$ 与空间向量 $\boldsymbol{a}$ 相乘的运算简称为数乘向量. 数乘向量的定义说明, 如果存在实数 $\lambda$, 使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$, 则 $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{a}$. 而且,如果存在实数 $\lambda$, 使得 $\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{A C}$, 则 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 平行且有公共点 $A$, 从而 $A, B, C$ 三点一定共线. 特别地, 当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时, 即 $\overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$ 时, $B$ 为线段 $A C$ 的中点. 对于实数 $\lambda$ 与 $\mu$, 向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$, 有如下运算律: $$ \lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{a}=(\lambda+\mu) \boldsymbol{a}, \lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b} . $$ 同平面向量一样, 空间向量的加法、减法与数乘运算, 以及它们的混合运算, 统称为空间向量的线性运算.
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