最后更新: 2024-11-05 19:29 查看: 473 次反馈刷题

空间向量

## 共面向量
已知向量 $\vec{a}$, 在空间任选一点 $O$, 作 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}$, 如果直线 $O A$ 平行于一个已知平面 $\pi$, 我们就说这个向量 $\vec{a}$ 平行于 $\pi$, 记作 $\vec{a} / / \pi$

![图片](/uploads/2024-11/272eaa.jpg)
 
所有平行于同一平面的向量都可以用这个平面上的有向线段来表示. 通常,我们把所有平行于同一平面的向量叫做 **共面向量**. 同样平行于同一直线的向量我们叫做**共线向量**。
 
 
对空间的任意两个向量, 我们总可以用具有公共始点的有向线段来分别表示, 因此空间中任意两个向量都是共面的. 这样, 平面上两个向量的和、倍积与内积运算的定义，对空间向量也完全适用. 其运算律也完全适用. 但对空间向量, 由于要涉及到三个不共面向量, 因此, 需要重新加以证明.

从下图不难验证, 加法结合律, 对空间任意三个向量同样适用。
 ![图片](/uploads/2024-11/7db5ed.jpg)
 
 
`例` 已知 $\triangle A B C$ 的三个顶点相对于空间任一点 $O$, 向量 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=$ $\vec{b}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}$, 设 $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心, 求证: $\overrightarrow{O G}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$
 ![图片](/uploads/2024-11/ed1b66.jpg)
 
 证明:

$$
\overrightarrow{O G}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A G}=\vec{a}+\overrightarrow{A G}
$$

设 $M$ 为 $\overline{B C}$ 的中点, 则

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A G}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A M}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B M}) & =\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right) \\
& =\frac{2}{3}\left[\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B})\right] \\
& =\frac{1}{3}(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}-2 \overrightarrow{O A}) \\
& =\frac{1}{3} \vec{b}+\frac{1}{3} \vec{c}-\frac{2}{3} \vec{a}
\end{aligned}
$$

所以

$$
\overrightarrow{O G}=\vec{a}+\frac{1}{3} \vec{b}+\frac{1}{3} \vec{c}-\frac{2}{3} \vec{a}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})
$$

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