整式的加减

日期: 2022-12-28 18:46 查看: 276 次

**一、整式的有关概念**
1.单项式：都是数或字母的积，这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
4.多项式：几个单项式的和叫做多项式．
5.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
6.整式：单项式与多项式统称整式．

**二、同类项、合并同类项**
1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变．
[注意] (1)同类项不考虑字母的排列顺序，如$－7xy$与 $yx $是同类项；
(2)只有同类项才能合并，如$x^2＋x^3$不能合并

**三、整式的加减**
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项

例 1 在式子 $3 \mathrm{~m}+\mathrm{n},-2 \mathrm{mn}, \mathrm{p}, \frac{\mathrm{x}-\mathrm{b}}{2}, 0$ 中, 单项式的个数是( A )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【解析】 $-2 \mathrm{mn}, \mathrm{p}, 0$ 是单项式.故选 A.

例  代数式$-\frac{\pi x^2 y}{3} $ 的系数是$-\frac{\pi}{3}$ , 次数是  3

例 2 若 $3 \mathrm{x}^{\mathrm{m}+5} \mathrm{y}^2$ 与 $\mathrm{x}^3 \mathrm{y}^{\mathrm{n}}$ 的和是单项式, 求 $\mathrm{m}^{\mathrm{n}}$ 的值.
【解析】由题意可知 $3 \mathrm{x}^{\mathrm{m}+5} \mathrm{y}^2$ 与 $\mathrm{x}^3 \mathrm{y}^{\mathrm{n}}$ 是同类项, 所以 $x$ 的指数和 $y$ 的指数分别相等.
解: 由题意得 $m+5=3, n=2$, 所以 $m=-2$. 所以 $m^n=(-2)^2=4$.

2. 若 $5 x^2 y$ 与 $x^m y^n$ 是同类项, 则 $m=(2), n=(1 ~)$ 若单项式 $a^2 b$ 与 $3 a^{m+n} b^n$ 能合并, 则 $m=\left(\begin{array}{ll}1\end{array}\right), n=\left(\begin{array}{l}1\end{array}\right)$

例3 已知 $A=x^3+2 y^3-x y^2, B=-y^3+x^3+2 x y^2$,
求: (1) $A+B$; (2) $2 B-2 A$.
【解析】把A, B所指的式子分别代入计算.
解: (1) $\mathrm{A}+\mathrm{B}=\left(\mathrm{x}^3+2 \mathrm{y}^3-x y^2\right)+\left(-\mathrm{y}^3+\mathrm{x}^3+2 x y^2\right)$ $=x^3+2 y^3-x y^2-y^3+x^3+2 x y^2$ $=2 x^3+y^3+x y^2$.
(2) $2 \mathrm{~B}-2 \mathrm{~A}=2\left(-\mathrm{y}^3+\mathrm{x}^3+2 x y^2\right)-2\left(\mathrm{x}^3+2 \mathrm{y}^3-x y^2\right)$ $=-2 y^3+2 x^3+4 x y^2-2 x^3-4 y^3+2 x y^2$ $=6 x y^2-6 y^3$.

3. 下列各项中, 去括号正确的是 ( C )
   A. $x^2-(2 x-y+2)=x^2-2 x+y+2$
   B. $-(m+n)-m n=-m+n-m n$
   C. $x-(5 x-3 y)+(2 x-y)=-2 x+2 y$
   D. $a b-(-a b+3)=3$

例4 若 $\mathrm{A}$ 是一个三次多项式, $\mathrm{B}$ 是一个四次多 项式, 则 $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ 一定是( $\mathrm{B}$ )
A. 三次多项式
B. 四次多项式或单项式
C. 七次多项式
D. 四次七项式
【解析】 $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ 的最高次项一定是四次项, 至于是 否含有其它低次项不得而知, 所以 $A+B$ 只可能是四次 多项式或单项式. 故选B.

4. 若 $\mathrm{A}$ 是一个四次多项式, $\mathrm{B}$ 是一个二次 多项式，则 A-B （ C )
   A. 可能是六次多项式
   B. 可能是二次多项式
   C. 一定是四次多项式或单项式
   D. 可能是 0

例 5 已知 $\mathrm{A}=3 \mathrm{x}^2-\mathrm{x}+2, \mathrm{~B}=\mathrm{x}+1, \mathrm{C}=\frac{1}{4} \mathrm{x}^2$ $-\frac{4}{9}$, 求 $3 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}-36 \mathrm{C}$ 的值, 其中 $\mathrm{x}=-6$.
【解析】如果把x的值直接代入, 分别求出 $A$, $B, C$ 的值, 然后再求 $3 A+2 B-36 C$ 的值显然很麻 烦, 不如先把原式化简, 再把x值代入计算.
解: $3 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}-36 \mathrm{C}$

$$
\begin{aligned}
& =3\left(3 x^2-x+2\right)+2(x+1)-36\left(\frac{1}{4} x^2-\frac{4}{9}\right) \\
& =9 x^2-3 x+6+2 x+2-9 x^2+16 \\
& =-x+24 .
\end{aligned}
$$

当 $x=-6$ 时, 原式 $=-(-6)+24=6+24=30$.

5. 化简后再求值: $5 x^2-2 y-8\left(x^2-2 y\right)+3\left(2 x^2-3 y\right)$, 其中 $|\mathrm{x}+12|+(\mathrm{y}-13)^2=0$
   分析: 原式去括号合并得到最简结果, 利用非负 数的性质求出 $x$ 与 $y$ 的值, 代入计算即可求出值.
   解: 原式 $=5 x^2-2 y-8 x^2+16 y+6 x^2-9 y=3 x^2-5 y$.
   因为 $|x+2|+(y-3)^2=0$, 所以 $x+2=0, y-3=0$,
   即 $\mathrm{x}=-2, \mathrm{y}=3$, 则原式 $=12-15=-3$.
6. 观察下列图形: 它们是按一定规律排列的, 依照 此规律, 第2017个图形中共有 () 个五角星.  ![图片](/uploads/2022-12/image_202212282c95f76.png)
   【解析】可以发现每个图形的五角星个数都比前面一 个图形的五角星个数多 3 个. 由于第 1 个图形的五角星个数是 $3 \times 1+1$, 所以第 $\mathrm{n}$ 个图形的五角星个数是 $3 \mathrm{n}+1$, 故第 2017 个图 形五角星个数是 $3 \times 2017+1=6052$.

本系统使用启明星知识库Kbase搭建，最后更新于2022-12-28 18:46 ，如果您有意见或建议请点击反馈。