最后更新: 2025-04-06 08:38 查看: 547 次反馈刷题

空间向量的加法与减法

## 空间向量的加法

空间向量的加法也可用平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量 $a , b$, 在空间中任取一点 $A$, 作 $\overrightarrow{A B}= a , \overrightarrow{A C}= b$, 以 $A B, A C$ 为邻边作一个平行四边形 $A B D C$, 作出向量 $\overrightarrow{A D}$, 则 $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$

如下图的长方体中,

$$
\overrightarrow{A A_1}+\overrightarrow{B_1 C_1}=\overrightarrow{A A_1}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A D_1}
$$

![图片](/uploads/2024-12/0fc538.jpg)

`例` 如图 所示是一个平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$, 化简

$$
\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D D_1} \text {. }
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_202311040226060.png)

解 因为底面 $A B C D$ 是一个平行四边形,所以 $\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D B}$, 又因为 $\overrightarrow{D D_1}=\overrightarrow{B B_1}$,所以

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D D_1} & =\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B B_1} \\
& =2
\end{aligned}
$$

不难看出, 空间向量的加法也满足交换律和结合律, 即对于任意的向量 $a, b, c$, 都有

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}, \\
& (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_2023110470fa0d2.png)

## 空间向量减法
在空间中任取一点 $O$, 作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$, 作出向量 $\overrightarrow{B A}$, 则向量 $\overrightarrow{B A}$就是向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差 (也称 $\overrightarrow{B A}$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差向量), 即

$$
\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A} \text {. }
$$

当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时, 向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 正好能构成一个三角形, 因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则.

例如下图所示的四棱椎 $O-A B C D$ 中, 有

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{C A}, \\
& \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{ DB}
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_202311045a61237.png)

## 空间向量的性质
同平面中的情形一样, 给定一个实数 $\lambda$ 与任意一个空间向量 $a$, 规定它们的乘积是一个空间向量, 记作 $\lambda \boldsymbol{a}$, 其中:
(1) 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}$ 的模为 $|\lambda||\boldsymbol{a}|$, 而且 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向:
(1)当 $\lambda>0$ 时, 与 $a$ 的方向相同;
(2)当 $\lambda<0$ 时, 与 $a$ 的方向相反.
（2）当 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$.
上述实数 $\lambda$ 与空间向量 $\boldsymbol{a}$ 相乘的运算简称为数乘向量.
数乘向量的定义说明, 如果存在实数 $\lambda$, 使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$, 则 $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{a}$. 而且,如果存在实数 $\lambda$, 使得 $\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{A C}$, 则 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 平行且有公共点 $A$, 从而 $A, B, C$ 三点一定共线.
特别地, 当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时, 即 $\overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$ 时, $B$ 为线段 $A C$ 的中点.
对于实数 $\lambda$ 与 $\mu$, 向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$, 有如下运算律:

$$
\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{a}=(\lambda+\mu) \boldsymbol{a}, \lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b} .
$$

同平面向量一样, 空间向量的加法、减法与数乘运算, 以及它们的混合运算, 统称为空间向量的**线性运算**.

> 从上面介绍的内容可以看到，平面向量的性质可以平移到空间向量上来。

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