最后更新: 2025-04-11 09:11 查看: 429 次反馈刷题

空间直角坐标系

## 空间直角坐标系
如图 3－3－1，在正方体中，总可以找到从一个顶点出发的三条两两互相垂直的棱，如 $A B, ~ A D$ 与 $A A_1$ 。受此启示，从空间一点 $O$ 出发，可以作三条两两互相垂直的坐标轴，建立空间直角坐标系 $O-x y z$（图 3－3－2）．
 ![图片](/uploads/2025-04/d177ff.jpg)
 
 点 $O$ 叫做坐标原点，三条坐标轴分别是横轴（即 $x$ 轴），纵轴（即 $y$ 轴）与坚轴（即 $z$ 轴）。我们约定坐标系采用**右手制**，即右手翘起拇指，其他四指握拳做＂点赞＂状，当四指所指的方向是 $x$ 轴正方向到 $y$ 轴正方向的旋转方向时，拇指所指为 $z$ 轴正方向 （图3－3－3）．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 $x O y$ 平面，$y O z$ 平面与 $z O x$ 平面．三个坐标平面把空间划分成八个部分，每个部分称为一个**卦限** （图 3－3－4）．
  ![图片](/uploads/2025-04/6feba0.jpg)
  
  给定空间一点 $P$ ，如图 3－3－5，过点 $P$ 分别作与坐标平面 $y O z, ~ z O x$ 与 $x O y$ 平行的平面，与坐标平面一起围出一个长方体，所作的三个平面与 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的交点 $A, ~ B, ~ C$（它们都是上述长方体的顶点）在轴上的坐标，给出了点 $P$ 的坐标 $(x, y$ ， $z)$ ，其中 $x, ~ y$ 与 $z$ 分别称为点 $P$ 的横坐标，纵坐标与坚坐标．

**有了空间直角坐标系，空间中的点与实数的有序三元组就建立了一一对应．**
如图$P$可以用$(x,y,z)$ 表示

![图片](/uploads/2025-04/896d02.jpg)
 
## 空间向量的坐标运算
既然空间向量可以用坐标表示，那么向量的运算就可以使用坐标进行运算。

设

$$
a =\left(a_1, a_2, a_3\right), b =\left(b_1, b_2, b_3\right),
$$

与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：

$$
\begin{aligned}
& a + b =\left(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3\right), \\
& a - b =\left(a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3\right), \\
& \lambda a =\left(\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3\right), \lambda \in R , \\
& a \cdot b =a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 .
\end{aligned}
$$

> 上面运算表明，对向量的运算可以转换为对坐标的运算。

## 向量的内积
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示．

设 $\{ i , j , k \}$ 为空间的一个单位正交基底，则

$$
a =a_1 i +a_2 j +a_3 k , b =b_1 i +b_2 j +b_3 k ,
$$

所以

$$
\boxed{
a \cdot b =\left(a_1 i +a_2 j +a_3 k \right) \cdot\left(b_1 i +b_2 j +b_3 k \right) .
}
$$

利用向量数量积的分配律以及

$$
i \cdot i=j \cdot j=k \cdot k=1, i \cdot j=j \cdot k=k \cdot i=0
$$

得

$$
a \cdot b =a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 .
$$

**这表明两个向量的内积，直接取其坐标乘积相加即可。**

类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：
当 $b \neq 0$ 时， $a / / b \Leftrightarrow a =\lambda b \Leftrightarrow a_1=\lambda b_1, a_2=\lambda b_2, a_3=\lambda b_3(\lambda \in R )$ ；
$a \perp b \Leftrightarrow a \cdot b =0 \Leftrightarrow a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3=0 ;$
$| a |=\sqrt{ a \cdot a }=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} ;$

$$
\cos \langle a , b \rangle=\frac{ a \cdot b }{| a || b |}=\frac{a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}} .
$$

建立空间直角坐标系 $O x y z$ ，设 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ ， $P_2\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 是空间中任意两点，则

$$
\overrightarrow{P_1 P_2}=\overrightarrow{O P_2}-\overrightarrow{O P_1}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right)
$$

于是

$$
\begin{aligned}
\left|\overrightarrow{P_1 P_2}\right| & =\sqrt{P_1 P_2} \cdot \overrightarrow{P_1 P_2} \\
& =\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}
\end{aligned}
$$

所以

$$
P_1 P_2=\left|\overrightarrow{P_1 P_2}\right|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}
$$

这就是空间**两点间的距离公式**．

其他版本
【高中数学】空间的直线方程与球面方程

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