最后更新: 2025-02-09 07:36 查看: 505 次反馈刷题

柱、锥、台、球

## 空间几何体
观察下面呈现的物体，如果我们只考虑它们的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体。看不到的线一般用虚线表示。

![图片](/uploads/2025-02/3a2942.jpg)
 
 观察图（1）～（4），可以发现这四个几何体都是由多边形围成的。
我们把由若干个平面多边形（包括三角形）所围成的封闭体，叫作多面体．围成多面体的各个多边形叫作多面体的面，
两个面的公共边叫作多面体的棱，棱和棱的交点叫作多面体的顶点．

观察图（5）～（8），你会发现这些几何体都不是完全由平面图形围成，但它们都可看作是由一个平面图形绕某一直线旋转而成的，即它们可依次看作是由一个矩形，直角三角形，直角梯形，半圆绕一直线旋转而成的，如下图
 ![图片](/uploads/2025-02/348b79.jpg)
 
 我们把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条定直线旋转而成的几何体称为**旋转体**．这条定直线称为**旋转轴**．
 下图展示了圆柱体的动画演示。

![z.gif](/uploads/2025-02/96f168.gif)
 
 ## 棱柱
 参考下图
  ![图片](/uploads/2025-02/f696a0.jpg)
  
  直观上可以发现，图 4．1－4 中的每个多面体的上，下两面都是边数相同的全等多边形，且上，下两个面所在平面都不会相交，其余各面都是平行四边形。

我们把不会相交的两个平面称为互相平行的平面。
一般地，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫作**棱柱**。

在棱柱中，两个互相平行的面（它们是全等的多边形）叫作**棱柱的底面**，其余各面（都是平行四边形）叫作**棱柱的侧面**。

在棱柱中，相邻两个侧面的公共边叫作**棱柱的侧棱**。
在棱柱中，侧棱与底面的公共顶点叫作**棱柱的顶点**。

棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如图4．1－4（3）中的棱柱可表示为棱柱 $A B C D E-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime}$ 。

棱柱的底面可能是三角形，四边形，五边形等，这样的棱柱分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱等．

具有某些特殊性质的棱柱还有专门的名称，例如：
侧面都是矩形的棱柱称为**直棱柱**，如图 4．1－4（1）．
底面是正多边形的直棱柱称为**正棱柱**，如图 4．1－4（2）．
如果棱柱的底面和侧面都是矩形，这样的棱柱就是我们熟悉的**长方体**，而所有棱长都相等的长方体就是**正方体**．

实质上，棱柱也可以看作是由一个平面多边形沿某一方向平移所形成的空间几何体，如图 4．1－5．
 ![图片](/uploads/2025-02/0a7bfc.jpg)
 
两个底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体．

## 棱锥
观察下图
 ![图片](/uploads/2025-02/8c8a5b.jpg)
 
直观上可以发现它们有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，像这样的多面体叫作**棱锥**。

在棱锥中，具有同一个公共顶点的三角形面叫作**棱锥的侧面**，这个公共顶点称为**棱锥的顶点**。相邻两个侧面的公共边叫作**棱锥的侧棱**。除了侧面外，剩下的那一个多边形面叫作**棱锥的底面**。

棱锥可用表示它的顶点和底面各顶点的字母来表示，如图4．1－6（3）中的棱雉可表示为棱雉 $S-A B C D E$ 。

棱锥的底面可能是三角形，四边形，五边形等，这样的棱锥分别称为三棱锥，四棱锥，五棱锥等。

如果棱锥的底面是正多边形，将底面水平放置后，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这样的棱锥称为**正棱锥**，如图 4．1－7．顶点 $S$ 到底面中心 $O$ 的距离 $S O$ 叫作**正棱锥的高**．
 ![图片](/uploads/2025-02/9ba87c.jpg)
 
 ## 棱台
  
如图 4．1－8，过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与底面平行的平面去截棱锥，截面和原棱锥底面之间的这部分多面体叫作**棱台**。
 ![图片](/uploads/2025-02/f88592.jpg)
 
在棱台中，截面和原棱锥底面分别叫作棱台的**上底面**和**下底面**，其余各面叫作**棱台的侧面**．棱台的侧面都是梯形。相邻侧面的公共边叫作棱台的**侧棱**。

棱台用上，下底面多边形各顶点的字母来表示，如图 4．1－8中的棱台可表示为棱台 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}-A B C D$ ．

由三棱雉，四棱雉，五棱雉等所截得的棱台，分别称为三棱台，四棱台，五棱台等。

由正棱锥截得的棱台称为**正棱台**．

## 圆柱
如图 4．1－9，将矩形 $A B C D$（及其内部）绕其一条边 $A B$ 所在直线旋转一周，所形成的旋转体叫作**圆柱**，边 $A B$ 所在直线叫作圆柱的轴，由边 $A D$ 和 $B C$ 绕轴旋转而成的圆面叫作圆柱的**底面**，由边 $C D$ 绕轴旋转而成的曲面叫作圆柱的**侧面**，边 $C D$叫作圆柱的一条**母线**。
 ![图片](/uploads/2025-02/956715.jpg)

根据圆柱的形成过程可知，圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；圆柱有两个相互平行的底面。

圆柱可以用表示它的轴的字母来表示，如图 4．1－9 中的圆柱记作圆柱 $A B$ ．圆柱与棱柱统称为**柱体**．

##  圆锥

如图 4．1－10，将直角三角形 $A B C$（及其内部）绕其一条直角边 $A B$ 所在直线旋转一周，所形成的旋转体叫作**圆锥**。
 ![图片](/uploads/2025-02/d1666c.jpg)

其中，直角边 $A B$ 所在直线叫作圆锥的轴，点 $A$ 叫作圆锥的顶点，由直角边 $B C$ 绕轴旋转而成的圆面叫作圆锥的底面，由斜边 $A C$绕轴旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面，斜边 $A C$ 叫作**圆锥的一条母线**。

圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点。
圆雉也用表示它的轴的字母来表示，如图 4．1－10 中的圆锥记作圆锥 $A B$ 。圆锥与棱锥统称为锥体。

## 圆台
类似地，将直角梯形 $A B C D$（及其内部）绕其垂直于底边的腰 $B C$ 所在直线旋转一周，所形成的旋转体叫作圆台，如图 4．1－11．
 ![图片](/uploads/2025-02/3d5188.jpg)

其中，腰 $B C$ 所在直线叫作圆台的**轴**，由底边 $A B$ 和 $C D$ 绕轴旋转而成的圆面叫作圆台的底面，由腰 $A D$ 绕轴旋转而成的曲面叫作圆台的**侧面**，腰 $A D$ 叫作圆台的一条**母线**。

图 4．1－11 中的圆台记作圆台 BC．圆台与棱台统称为**台体**．
圆台也可看作是用平行于圆雉底面的平面去截圆雉而得到的圆锥底面与截面之间的几何体。

综上可知，圆柱，圆雉，圆台有以下性质：
（1）平行于圆柱，圆雉，圆台的底面的截面都是圆；
（2）圆柱，圆雉，圆台的轴截面分别是全等的矩形，等腰三角形，等腰梯形．

## 球
如图 4．1－12，将圆心为 $O$ 的半圆（及其内部）绕其直径 $A B$所在直线旋转一周，所形成的旋转体叫作**球**，记作球 $O$ ．半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面叫作**球面**（即球的表面），把点 $O$ 称为**球心**，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．
 ![图片](/uploads/2025-02/7fa727.jpg)
 
球具有以下性质：
（1）球面上所有的点到球心的距离都相等，等于球的半径；
（2）用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径．

## 组合体
现实世界中，还有许多物体表示的几何体是由柱体，锥体，台体，球等简单几何体组合而成，这些几何体称为简单组合体，如图 4．1－13．
  ![图片](/uploads/2025-02/001469.jpg)
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，如图 4．1－13 （1）（2）；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图 4．1－13（3）（4）．

其他版本
【高等数学】旋转曲面【高等数学】椭球面

开VIP会员

非会员每天6篇，会员每天16篇，VIP会员无限制访问

题库训练自我测评投稿

上一篇：两个平面垂直的判定定理和性质定理

下一篇：棱柱、棱锥和棱台的表面积

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)