最后更新: 2024-05-17 15:41 查看: 288 次下载编辑本文科数网

圆锥体

二、锥体
在前面我们初步地讨论了柱（包括棱柱和圆柱）的定义及其某些性质. 这一节将研究锥 (包括棱雉和圆锥) 的定义及其性质, 我们从锥面说起.
(一) 锥面
定义
给定平面曲线 $C$ 和 $C$ 所在平面外一点 $S$, 设直线 $\ell$ 经过 $S$ 点运动并且总和 $C$ 相交, 则运动的直线 $\ell$ 所产生的曲面叫做雉面. $S$ 点叫做锥面的顶点, 运动着的直线 $\ell$ 的每一位置叫作锥面的母线, 而在运动中始终和母线相交的曲线 $C$ 叫做锥面的准线.
通常, 我们只讨论通过顶点 $S$ 总和准线 $C$ 相交的射线运动时所产生的雉面.
下面我们来考虑几种简单情况:
1. 准线是一条线段, 这时锥面是一个平面区域, 其边界是一个角. (图 2.11)
2. 准线是一个多边形, 这时的锥面叫多面角. 它是由从顶点出发通过多边形的各个顶点作射线, 这些射线以及每两条相邻射线间平面部分所组成的图形. (图 2.12)
通过多边形顶点的母线叫作多面角的棱. 锥面的顶点叫做多面角的顶点.相邻两棱的平面部分叫做多面角的面, 在每个面内由两条棱组成的角叫作多面角的面角.
3.准线是个圆，如果圆面垂直于连接顶点和圆心的直线，那么锥面叫作直圆
锥面，简称圆锥面．（图 2.13）通过顶点和准线圆中心的直线是圆锥面的
轴．锥面的表示法可以用它的顶点字母 S 表示，记作锥面 S. 也可表示
成锥面 S −ABCDE 等其中 A, B, C, D, E 等分别是锥面上不同母线上的点．
 ![图片](/uploads/2024-05/fc4e16.jpg)
 
 定理
 不通过顶点 S 的两个平行平面与锥面相交，所得到的图形相似，其相似比等于顶点到两平行平面的距离之比．
 已知: 雉面 $S-A B C \cdots$, 平行平面 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 都不通过顶点 $S$ 与雉面相交,得到截面图形 $F_1$ (在 $\alpha_1$ 上) 与 $F_2$ (在 $\alpha_2$ 上), 又 $S O_1 \perp \alpha_1$ 于 $O_1, S O_2 \perp \alpha_2$于 $O_2($ 图 2.14)

求证: 截面图形 $F_1 \backsim F_2$, 其相似比 $K=\frac{S O_1}{S O_2}$证明: 任引锥面 $S-A B C \cdots$ 的一条母线 $S X$, 由于 $F_1$ 和 $F_2$ 都是雉面的截面, 所以 $S X$ 必与 $F_1$ 和 $F_2$ 分别交于 $X_1$ 和 $X_2$ 两点, 这时, $X_2$ 可以看成 $F_1$上 $X_1$ 的对应点, $X_1$ 也可看成是 $F_2$ 上 $X_2$ 的对应点.

如果另外再取一条不同于 $S X$ 的母线 $S Y$, 同样可以得到 $F_1$ 和 $F_2$ 上的另一对对应点 $Y_1$ 和 $Y_2$, 显然 $X_1 \neq Y_1, X_2 \neq Y_2$, 否则 $S X$ 与 $S Y$ 重合, 这将与它们是不同的母线相矛盾. 因此, $F_1$ 和 $F_2$ 的点与点之间建立了一一对应关系.

又设 $S X$ 和 $S Y$ 所确定的平面为 $\pi$, 则 $\pi \cap \alpha_1=X_1 Y_1, \pi \cap \alpha_2=X_2 Y_2$, 因为 $\alpha_1 / / \alpha_2$, 所以 $X_1 Y_1 / / X_2 Y_2$. 因此:
$$
\frac{X_1 Y_1}{X_2 Y_2}=\frac{S X_1}{S X_2}
$$
 ![图片](/uploads/2024-05/1401fc.jpg)
 连结 $X_1 O_1, X_2 O_2$, 并令 $S X$ 与 $S O_2$ 所确定的平面为 $\pi^{\prime}$, 则 $\pi^{\prime} \cap \alpha_1=X_1 O_1$,
$$
\begin{array}{ll}
\pi^{\prime} \cap \alpha_2=X_2 O_2 \\
\because & \alpha_1 / / \alpha_2 \\
\therefore & X_1 O_1 / / X_2 O_2
\end{array}
$$
$$
\frac{S X_1}{S X_2}=\frac{S O_1}{S O_2}
$$

由 $(2.1),(2.2)$ 有:
$$
\frac{X_1 Y_1}{X_2 Y_2}=\frac{S O_1}{S O_2}=K \quad \text { (常数) }
$$

由相似图形的定义可知:
$$
F_1 \backsim F_2, \quad \text { 并且相似比 } K=\frac{S O_1}{S O_2}
$$

## 棱锥与圆锥
定义
如果一个锥面的准线是一条封闭曲线则称这个锥面为封闭锥面．如圆锥
面、多面角都是封闭锥面．
如果一个封闭锥面的所有线被一个平面所截，那么由这个截面和锥面所
围成的几何体叫做锥体．锥体平面部分叫作锥体的底面，顶点和底面的
距离叫做锥体的高．

下面我们讨论几个特殊的锥体．
定义
如果一个多面角的所有的棱被一个平面所截，那么截面和多面角各面所
围成的几何体叫作棱锥．原多面角的顶点叫做棱锥的顶点，截面和多面
角相交的部分显然是多边形，它所围的平面部分叫做棱锥的底面，有公
共顶点的各个三角形的面叫做棱锥的侧面，两个相邻侧面的公共边叫做
棱锥的棱侧．
如果棱锥的底面是三角形、四边形……n 边形，那么棱锥就分别叫做三
棱锥，四棱锥，五棱锥……n 棱锥（见图 2.15）、棱锥的表示法可以用表
示顶点和底面顶点的几个字母来表示，例如棱锥 S − ACD.
如果棱锥的底面是正多边形，并且由棱锥顶点到它的底面的垂线经过这个
多边形的中心，那么这个棱锥就叫作正棱锥．
 ![图片](/uploads/2024-05/c707b1.jpg)
 图 2.16 是用第一种画法画出的正六棱锥的直观图．
正棱锥显然有如下的性质：
1. 正棱锥所有的侧棱都相等．
2. 正棱锥过顶点的所有面角都相等．
3. 正棱锥各个侧面是全等的等腰三角形．
因为全等的等腰三角形底边上的高都相等，所以正棱锥侧面的等腰三角形
底边上的高都叫作正棱锥的斜高．例如图 2.16(3) 中 4SBC 底边 BC 上
的高 SG 就是正棱锥 S − AD 的斜高
 ![图片](/uploads/2024-05/dd0f3d.jpg)
 4. 正棱雉所有的斜高都相等.
5. 正棱雉的棱、高、及棱在底上的射影以及斜高、高和斜高在底面上的射影分别组成一个直角三角形.
我们已经看到正棱雉的许多元素, 如侧棱、底边（底面正多边形的边）、高、斜高、侧棱和底面的夹角、侧面和底面所成的角、斜高和高所成的角等等. 在这些元素中只要给出其中两个元素 (至少有一线段), 就可以通过解直角三角形和底面正多边形来求出其它元素.

例 2.3 已知棱雉底面是边长为 12 的三角形, 它的各个侧面和底面成 $45^{\circ}$ 角,
1. 求证这个棱雉是正三棱雉;
2. 求这个三棱雉的高.
已知: 在棱雉 $S-A B C$ 中, $A B=B C=C A=12 \mathrm{~cm}$, 面 $S A B 、 S B C$ 、 $S C A$ 都和底面 $A B C$ 成 $45^{\circ}$ 角.
1. 求证: $S-A B C$ 是正三棱雉;
2. 求三棱雉的高 $S O$.

解：设 $S O$ 为三棱雉的高, 过 $O$ 点在底面内作 $O D 、 O E 、 O F$ 分别垂直于 $\triangle A B C$ 的各边 $A B 、 B C 、 C A$, 连接 $S D 、 S E 、 S F$, 则 $S D \perp B A, S E \perp B C$, $S F \perp A C$ (三垂线定理) (见图 2.17), 即 $\angle S D O, \angle S E O, \angle S F O$ 分别是棱雉各个侧面和底面所成二面角的平面角.
$$
\therefore \quad \angle S D O=\angle S E O=\angle S F O=45^{\circ}
$$

从而 $\triangle S O D \cong \triangle S O E \cong \triangle S O F$, 于是 $O D=O E=O F$.
即: $O$ 点是 $\triangle A B C$ 的内心, 又因为正三角形的内心、外心、重心、垂心重合, 所以三棱雉 $S-A B C$ 是正三棱雉.
$$
\begin{aligned}
& \text { 又 } O D=\frac{1}{3} C D=\frac{1}{3} \sqrt{C B^2-B D^2}=\frac{1}{3} \sqcup 12^2-6^2=\frac{1}{3} \times 6 \sqrt{3}=2 \sqrt{3} \\
& \because \quad \triangle S O D \text { 是等腰直角三角形 } \\
& \therefore \quad S O=O D=2 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})
\end{aligned}
$$

答: 棱雉的高为 $2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$.
 ![图片](/uploads/2024-05/ece3cf.jpg)
 
 如果用不经过圆雉面顶点而垂直于圆雉面的轴的一个平面去截圆雉面,那么截面和圆锥面所围成的几何体叫做直圆雉, 简称圆锥 (图 2.18). 原来圆锥面的顶点和轴分别叫做圆雉的顶点和轴, 圆锥面母线夹在顶点和截面之间的部分叫做圆雉的母线. 圆雉面夹在顶点和截面之间的部分叫作圆锥的侧面. 圆雉可以用它的顶点以及它的底面上三个点的字母来表示, 如图 2.18 的圆锥可以记作圆雉 $S-A B C$, 也可以简记作圆雉 $S$.

圆锥也可以看成是以直角三角形的一条直角边所在直线为轴, 直角三角形旋转一周而成的几何体. 例如以直角三角形 $S O B$ 的一条直角边所在的直线为轴, 使 $\triangle S O B$ 旋转一周, $O B 、 S B$ 旋转所成的面就围成了一个圆锥 (图 2.18),直角边 $S O$ 叫做圆锥的高, 直角边 $O B$ 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面, 斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面, 在侧面各个位置的斜边叫做圆雉的母线. 显然圆锥的任一条母线 $\ell$ 和高 $h$, 以及这条母线 $\ell$ 在底面上的射影即底面半径 $r$ 组成一个直角三角形, 根据勾股定理有:
$$
\ell^2=h^2+r^2
$$

圆锥有下面的一些性质:
1. 圆锥的母线都经过顶点并且都相等.
2. 各母线和轴的夹角相等.
3. 垂直于圆锥的轴而且不经过圆雉顶点的平面去截圆雉面, 所得的截面是圆面. 因此截面圆与底面圆相似.
4. 过轴的平面是圆雉的对称平面.
5. 过轴的所有截面是全等的等腰三角形.

例 2.4 求证: 与圆锥底面圆相切的直线, 和过切点所作的母线互相垂直.已知: 圆锥 $V-A B C$, 底面圆的切线 $A T$, 母线 $V A$ (图 2.19)
 ![图片](/uploads/2024-05/7e58a0.jpg)
 求证: $A T \perp V A$
证明: 设 $O$ 为圆雉底面的圆心, 连接 $V O 、 O A$, 则 $V O \perp$ 平面 $A B C$.
$\therefore V A$ 在平面 $A B C$ 上的射影是 $O A$.
$\because A T$ 是 $\odot O$ 的切线,
$\therefore \quad O A \perp A T$
由三垂线定理, 有 $A T \perp V A$.

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