最后更新: 2025-04-14 19:56 查看: 551 次反馈刷题

圆柱、圆锥和圆台的表面积

## 圆柱的表面积
仿照棱柱侧面积展开，圆柱的侧面展开图是一个矩形，（图 2.44）这个矩形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱侧面的母线长（即高）．因此我们可以得到计算圆柱的表面积为
 ![图片](/uploads/2025-02/e06e3d.jpg){width=400px}
 
 圆柱的全面积等于它的侧面积与两底面积的和，即

$$
\boxed{
S_{\text {圆杜 }}=2\pi Rl+2 S_{\text {底 }}
}
$$

其中，$R$是圆柱地面半径，$l$是侧面母线的长， $S_{\text {底 表示圆柱底面的面积．}}$

## 圆椎的表面积
仿照棱锥侧面积展开，如果把圆锥侧面沿着它的一条母线展开在平面上，如图 2.48 所示，圆雉侧面的展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆雉的底面周长 $C$ ，如果底面半径为 $R$ ，则 $C=2 \pi R$ ，扇形的半径等于圆雉的母线 $\ell$ ， 由此可得下面定理．
 ![图片](/uploads/2025-02/b5f756.jpg){width=400px}
 
 $$
 \boxed{
 \begin{aligned}
S_{\text {圆锥全 }}=\pi R \ell+\pi R^2=\pi R(\ell+R)
\end{aligned}
}
$$

### 推论
如果设圆锥的展开面扇形的中心角为 $\theta$ ，圆锥的轴截面的顶角为 $\alpha$ ，那么

$$
\theta=\frac{2 \pi R}{\ell}=2 \pi \frac{R}{\ell}(\text { 弧度 })
$$

或

$$
\theta=360^{\circ} \frac{R}{\ell}=360^{\circ} \sin \frac{\alpha}{2}
$$

## 圆台
圆台的侧面展开图以看成是两个圆锥侧面展开图的差，通常把这种图形叫做扇环．如图 2.52 所示。
 ![图片](/uploads/2025-02/4c4d54.jpg){width=400px}
圆台的侧面展开图是一个大扇形去掉一个小扇形。大扇形的弧长是圆台下底的圆周长 $C_1$ ，小扇形弧长是圆台上底圆周长 $C$ ，设圆台的母线 $A A_1=\ell$ ，上，下底半径分别是 $R_1$ 和 $R$ ，于是
 
 如果圆台的上，下底半径分别是 $R_1$ 和 $R$ ，周长分别是 $C_1$ 和 $C$ ，那么圆台的侧面积计算公式是
 
 
 $$
 \boxed{
S_{\text {圆台 }}=\frac{1}{2}\left(C_1+C\right) \ell+ S_上+S_下=\pi\left(R_1+R\right) \ell + \pi R_1^2 +\pi R^2
}
$$

### 推论
 $\theta=2 \pi \frac{R-R_1}{\ell}($ 弧度 $)$ 或 $\theta=360^{\circ} \frac{R-R_1}{\ell}$
显然，在圆台的侧面积公式中，如果 $C_1=C$ ，就得到圆柱侧面积公式： $S_{\text {圆柱侧 }}=C \ell$ ；如果 $C_1=0$ ，就得到圆雉的侧面积公式：$S_{\text {圆锥侧 }}=\frac{1}{2} C \ell$ ．

`例`从底面直径和母线长都为 $a$ 的圆雉上截去底面直径为其一半的小圆雉后得到一个圆台，求被截去的小圆雉的表面积与的圆台的表面积之比。

解析：根据题意画出简图如下：
 ![图片](/uploads/2025-04/397fb4.jpg)
由圆台的定义可得：$\Delta PO _1 A_1 \sim \Delta POA$ ，
已知 $O _1 A_1=\frac{a}{4}, OA =\frac{a}{2}$ ，所以 $\frac{ PA _1}{ PA }=\frac{ O _1 A_1}{ OA }=\frac{1}{2}$ ，所以 $PA _1=\frac{1}{2} PA =\frac{a}{2}$ ，
小圆锥的表面积为：

$$
s=\pi\left(\frac{a}{4}\right)^2+\pi \frac{a}{4} \times \frac{a}{2}=\frac{3 \pi a^2}{16}
$$

圆台的上底面半径为 $\frac{a}{4}$ ，下底面半径为 $\frac{a}{2}$ ，母线长为 $a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}$ ，其表面积为：

$$
S=\pi\left(\frac{a}{4}\right)^2+\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2+\pi \frac{a}{4} \times \frac{a}{2}+\pi \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}=\frac{11 \pi a^2}{16}
$$

它们的表面积之比为：

$$
\frac{s}{S}=\frac{3 \pi a^2}{16}: \frac{11 \pi a^2}{16}=\frac{3}{11}
$$

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