最后更新: 2025-02-09 08:47 查看: 562 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

圆柱、圆锥和圆台的体积

## 圆柱的体积
有了[祖暅原理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1350) 和长方体体积公式．我们就可以求出柱体的体积，如图 2.65 ．我们将棱柱，圆柱，长方体夹在两个平行平面之间，并假设它们的底面积都等于 $S$ ，因为它们的高就是两平行平面之间的距离 $h$ ，如果用一个平行于原来的两个平行平面的平面任意去截这三个柱体，所得的截面分别与各个柱体的底面全等，因而这些截面面积都等于 $S$ ，根据祖咟原理，棱柱，圆柱，长方体的体积都相等．由于长方体的体积等于它的底面积乘高，因此，棱柱，圆柱的体积也都等于其底面积与高的积，这就得到下面的定理．

根据

![图片](/uploads/2025-02/05718c.jpg){width=400px}

$$
\boxed{
V_\text{圆柱体积}=\pi R^2 h
}
$$

## 圆锥的体积

![图片](/uploads/2025-02/ec7380.jpg){width=400px}

$$
\boxed{
V_\text{圆锥体积}= \dfrac{1}{3}\pi R^2 h
}
$$

推论：等底等高的两个锥体的体积相等．

## 圆台体积

如果台体的上、下底面面积分别为 $S_1, S_2$, 高为 $h$, 则台体的体积计算公式为

![图片](/uploads/2025-02/286643.jpg){width=400px}
 
 
那么台体的计算公式是

$$
\boxed{
V_{\text {台体 }}=\frac{1}{3} h\left(S_1+\sqrt{S_1 S_2}+S_2\right)
}
$$

### 推论
如果圆台的上、下底面半径分别是 $r_1$ 和 $r_2$, 那么它的体积

$$
V_{\text {圆台 }}=\frac{1}{3} \pi h\left(r_1^2+r_1 r_2+r_2^2\right)
$$

## 附：圆台体积的证明

我们已知，棱台，圆台分别是棱雉和圆雉用平行于底面的平面截去一个雉体得到的，因此，台体的体积可以用两个锥体的体积之差来计算。

设任意台体（棱台或圆台）的上，下底面的面积分别是 $S_1$ 和 $S_2$ ，高是 $h$ （图2．72）．

设截得台体时去掉雉体的高是 $x$ ，去掉的锥体和原来的雉体的体积分别是 $V_1$ 和 $V_2$ ，这时，

$$
V_1=\frac{1}{3} S_1 x, \quad V_2=\frac{1}{3} S_2(x+h)
$$

所以台体的体积

$$
V_{\text {台体 }}=V_2-V_1=\frac{1}{3} S_2(x+h)-\frac{1}{3} S_1 x ...(2.11)
$$

现在的问题是要求出 $x$ ．因为台体的上，下底面相似，并且易知，它们的面积之比等于顶点到平行底面的距离平方之比，所以

$$
\frac{x^2}{(x+h)^2}=\frac{S_1}{S_2}, \quad \frac{x}{x+h}=\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}}, \quad x \sqrt{S_2}=(x+h) \sqrt{S_1}
$$

由此解得

$$
x=\frac{h \sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}}, \quad x+h=\frac{h \sqrt{S_2}}{\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}}
$$

代入（2．11）式得

$$
 \begin{aligned}
V_{\text {台体 }} & =\frac{1}{3}\left[\frac{h S_2 \sqrt{S_2}}{\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}}-\frac{h S_1 \sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}}\right] \\
& =\frac{h}{3}\left[\frac{S_2^{\frac{3}{2}}-S_1^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}}\right] \\
& =\frac{1}{3} h\left(S_2+\sqrt{S_2 S_1}+S_1\right)
\end{aligned} 
$$

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