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球体

## 球体定义
在空间与定点距离相的点的集合称做**球面**. 球面所包围的立体叫做**球**. 定点叫做**球心**, 定点和球面上任一点所连线段叫做球的**半径**. 连结球面上任意两点的线段叫做球的**弦**, 通过球心的弦叫做球的**直径**.

球面也可以看作半圆绕着它的直径旋转一周所成的图形. 球可以看作是一半圆面绕着它的直径旋转一周而形成的立体. 原半圆面的半径是球的半径, 原半圆面的圆心是球心.

一个球可以用表示它球心的字母来表示, 例如 “球 $O$ ”. 画半径是 $R$ 的直观图时,一般用第二种画法, 先分别在 $X O Y 、 X O Z 、 Y O Z$ 三个平面的画出表示半径是 $R$ 的圆的三个椭圆, 再在外面画一个圆和这三个椭圆相切（图 2.26),通常用简便的画法如图 2.27 .
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 球有下列一些性质:
 
1. 同球的半径（或直径）相等.
2. 球被平面所截得截面是一圆面.

证明：设平面 $M$ 通过球心 $O$, 并设 $A 、 B$ 为平面 $M$ 和球面交线上任意两点. (图 2.28(1)) 在平面 $M$ 内连接 $O A, O B$, 因 $O A 、 O B$ 都是球 $O$ 的半径,所以 $O A=O B$. 这就是说, 交线上任意两点, 因为交线上一切点与 $O$ 点等距离, 所以交线是平面 $M$ 内以 $O$ 点为圆心的一个圆, 它的半径就等于球的半径,因此球 $O$ 与平面 $M$ 的截面是以球心为圆心的圆面.

设平面 $M$ 不通过球心 (图 $2.28(2)$ ), 自球心 $O$ 作 $O O_1$ 垂直平面 $M$ 于 $O_1$,设 $A 、 B$ 为平面 $M$ 与球 $O$ 的交线上任意两点, 连结 $O A, O B$, 因为 $O A=O B$,
 ![图片](/uploads/2024-05/77d132.jpg)
 所以它们在平面 $M$ 内的射影相等, 即 $A O_1=B O_1$, 因此平面 $M$ 与球 $O$ 的交线是一个圆, 它的圆心就是球心 $O$ 到平面的垂线的垂足 $O_1$. 如果用 $R, r$ 分别表示球的半径和截面圆的半径, $d$ 表示由球心 $O$ 到平面 $M$ 的距离, 那么,
$$
r=\sqrt{R^2-d^2}
$$

因此, 平面 $M$ 和球 $O$ 的截面是以 $O_1$ 为圆心, 以 $\sqrt{R^2-d^2}$ 为半径的圆面.

### 推论
1. 连结球心与截面圆的圆心的直线和截面垂直.
2. 与球心距离相等的截面的圆大小相等.
3. 与球心距离不等的截面, 所截得的圆的大小不等, 距离球心较近的截面所截的圆较大.
4. 当 $d=0$ 时, 这时截面过球心, 所以 $r=R$, 也就是说, 这时截面的圆的半径最大, 称这个圆为球的大圆, 不过球心截面的圆称为球的小圆.
5. 当 $d=R$ 时, $r=0$, 这时截面的圆退化为一个点, 我们称和球面只有一个公共点的乎面叫做球的切面, 球的切面和球的公共点叫做切点. 和球只有一个公共点的直线叫做球的切线. 显然在球的切面上过切点的直线是球的切线.

## 球面距离
### 定义
连结球面上 $A 、 B$ 两点间大圆的劣孤叫做球面上 $A 、 B$ 两点间的球面距离.

### 定理
如果球的半径通过球面的切面的切点，这个半径必垂直于球的切面．
 ![图片](/uploads/2024-05/76e12c.jpg)

### 逆定理
垂直于球半径且过半径外瑞的平面必是球的切面.
 
### 定理
一个平面是一个球的切面的充要条件是这个平面经过这个球的一条半径的外端而且和这条半径垂直.
综上所述, 可知, 如果球的半径为 $R$, 球心 $O$ 到平面的距离为 $d$, 则平面 $\alpha$ 与球 $O$ 有下列位置关系:
1. 如果 $d<R$, 那么平面 $\alpha$ 与球 $O$ 相交, 截面是个圆, 它的半径 $r=$
$$
\sqrt{R^2-d^2}
$$
2. 如果 $d=R$, 那么平面 $\alpha$ 与球 $O$ 相切.
3. 如果 $d>R$, 那么平面 $\alpha$ 与球 $O$ 没有公共点, 这时称平面 $\alpha$ 与球 $O$ 相离.

`例` 设 $A$ 地位于北纬 $45^{\circ}$, 由于地球自转, 在一小时内 $A$ 点转了多少路程? (地球的半径大约为 6370 公里)

解: 如图 2.30, 设点 $O$ 是地球的球心, $O A$ 是地球的半径, $M$ 是北纬 $45^{\circ}$ 圈的中心, $A M$ 是北纬 $45^{\circ}$ 圈的半径, $O M$ 是地球球心到北纬 $45^{\circ}$ 圈所在平面的距离, 那么在直角 $\triangle A M O$ 中, $\angle O A M=\angle A O B=45^{\circ}$
$$
\therefore A M=A O \cos 45^{\circ} \approx 6370 \times 0.7071 \approx 4504
$$

因为地球自转一周的时间为 24 小时, 所以地球自转一小时转过的角度为 $\frac{2 \pi}{24}=\frac{\pi}{12}$ (弧度), 于是, $A$ 地在一小时内转过的路程即为北纬 $45^{\circ}$ 圈的 $\frac{\pi}{12}$ 弧度的弧长, 即
$$
\frac{\pi}{12} \times 4504 \approx \frac{3.1416}{12} \times 4504 \approx 1179
$$

答: $A$ 地在一小时内转过的路程约为 1179 公里.
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`例`已知球面上 $A 、 B$ 两点的球面距离为 $5 \pi \mathrm{cm}$, 过这两点的半径的夹角 $\angle A O B$ 是 50 度, 求这个球的半径.

解: 如图 2.31, $O$ 为球心, 过半径 $O A$ 和 $O B$ 作平面, 则这个平面所截的圆为大圆, 在这个圆上已知圆心角 $\angle A O B=50^{\circ}, A B=5 \pi \mathrm{cm}$. 设球的半径为 $R$,则
$$
5 \pi=\left(\frac{50 \pi}{180}\right) \cdot R \quad \Rightarrow \quad R=18
$$

答: 这个球的半径为 $18 \mathrm{~cm}$.

> 在这个例子里是把地球当做正圆处理，但是其实地球是一个椭圆，因此会差生误差，可以使用[Haversine公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1548) 计算距离。

## 球带
圆弧$AE$ 绕着和它不相交的直径旋转所得部分球面，如图 2.59
所示．这部分平面可以用两个平行平面截球面得到．我们把夹在平行平面之间的球面部分叫做球带，两个平行截面间的距离叫做球带的高，记作 $h$.

![图片](/uploads/2024-11/4dfe66.jpg)
 
 
### 球带面积
球带的面积等于截成它的球面上大圆周长与球带的高的积. 即

$$
S_{\text {球带 }}=2 \pi R \cdot h
$$

## 球的面积
如果截球的两个平行平面都成为球的切面, 那么 $a e=$ 直径 $=2 R$. 那么球带就变成了整个球面，所以球面积

S_{\text {球 }}=2 \pi R \cdot 2 R=4 \pi R^2
 
$$

由此，我们得到下面定理。
定理:球面面积等于它的大圆面积的四倍, 即

$$
\boxed{
S_{\text {球面 }}=4 \pi R^2
}
$$

## 球冠面积
如果截球的两个平行平面的一个成为切面，那么这时的球带所变成的球面部分叫做**球冠**. 截平面得到的圆叫做球冠的**底面**, 垂直于截面的直径被截得的一段叫做**球冠的高**, 记作 $h$. 如图 2.60 所示.
 ![图片](/uploads/2024-11/de84d0.jpg)
 
球冠也可以看作是一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转得到的球面部分, 这时, $a e=h$, 于是得到下面定理.

### 球冠面积
球冠的面积等于截它的球面上大圆周长与球冠的高的积, 即

$$
S_{\text {球冠 }}=2 \pi R \cdot h
$$

我们注意到球冠的面积公式与球带的面积公式相同.

球和球缺的体积
根据祖暅原理得到

## 求的体积
如果球的半径是 $R$, 那么它的体积计算公式是

$$
\boxed{
V_{\text {球 }}=\frac{4}{3} \pi R^3
}
$$

### 球缺的体积
定义
球冠和截得它的截面所围成的几何体叫做球缺, 球冠的高叫做球缺的高,截面叫做球缺的底面. 球带和截得它的两个截面所围成的几何体叫做球台, 球带的高叫做球台的高, 两个截面叫做球台的底面.

### 球缺体积
如果球的半径是 $R$, 球缺的高是 $h$, 那么球缺体积计算公式是:

$$
V_{\text {球缺 }}=\frac{1}{3} \pi h^2(3 R-h)
$$

#### 推论
若球缺底面半径是 $r$, 高是 $h$, 则球缺的体积是

$$
V_{\text {球缺 }}=\frac{1}{6} \pi h\left(3 r^2+h^2\right)
$$
 ![图片](/uploads/2024-11/e66e6f.jpg)

`例`一扇形的半径为 $R$, 中心角是 $60^{\circ}$, 绕着它的一条边即扇形的半径旋转, 求旋转体的体积.
 ![图片](/uploads/2024-11/c0b6a3.jpg)
解: 这个旋转体的图形如图 2.80 所示, 它是由球冠和圆雉侧面所围成的几何体. 我们把它叫做球扇形, 并把它看成是无数个顶点在球心, 底面在球冠面上的小锥体的组合，设每个小锥体的底面面积是 $S_1, S_2, S_3, \ldots$.

球扇形的底面面积是球冠面积 $S_{\text {球冠，那么 }}$

$$
S_{\text {球冠 }}=S_1+S_2+S_3+\cdots
$$

球扇形的体积

$$
\begin{aligned}
& \qquad V=\frac{1}{3} S_1 R+\frac{1}{3} S_2 R+\frac{1}{3} S_3 R+\cdots \\
& \quad=\frac{1}{3} R\left(S_1+S_2+S_3+\cdots\right)=\frac{1}{3} R S_{\text {球冠 }} \\
& \because \quad S_{\text {球冠 }}=2 \pi R h \\
& \therefore \quad V=\frac{1}{3} R(2 \pi R h)=\frac{2}{3} \pi R^2 h \\
& \because \quad h=R-O D, \quad O D=\frac{1}{2} R \\
& \therefore \quad h=\frac{1}{2} R
\end{aligned}
$$

$$
\therefore \quad V=\frac{2}{3} \pi R^2 \cdot \frac{1}{2} R=\frac{1}{3} \pi R^3
$$

答：这个球扇形的体积是 $\frac{1}{3} \pi R^3$.

`例`如图 2.40, 球 $O$ 和二面角 $\alpha-A B-\beta$ 的两个面 $\alpha 、 \beta$ 分别相切于 $C$ 、 $D$ 两点, 如 $C, D$ 两点的距离为 $\sqrt{3} a$, 并且 $\angle D C O=30^{\circ}$, 求球 $O$ 的半径及二面角的大小.

解: 因球 $O$ 在平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 上的切点分别是 $C 、 D$, 过 $O C 、 O D$ 作平面交 $A B$于 $E$,
$$
\begin{array}{ll}
\because & O C \perp \alpha, \quad O D \perp \beta \\
\therefore & O C \perp A B, \quad O D \perp A B \\
\therefore & A B \perp \text { 平面 } C E D . \\
\therefore & A B \perp E C \text { 于 } E, A B \perp E D \text { 于 } E,
\end{array}
$$
$\therefore \angle C E D$ 是二面角 $\alpha-A B-\beta$ 的平面角又在 $\triangle O C D$ 中,
$$
\because \quad C D=\sqrt{3} a, \quad \angle D C O=30^{\circ}, \quad O C=O D
$$

因此
$$
\begin{aligned}
& \angle C O D=120^{\circ} \\
& \therefore \quad \frac{C D}{\sin 120^{\circ}}=\frac{O D}{\sin 30^{\circ}} \Rightarrow \frac{\sqrt{3} a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{O D}{\frac{1}{2}} \\
& \therefore \quad O D=a \\
&
\end{aligned}
$$

又: $O, C, D, E$ 四点共面, 由 (2.5), 有 $\angle C E D=60^{\circ}$, $\therefore$ 二面角 $\alpha-A B-\beta$ 为 $60^{\circ}$.
答: 球 $O$ 的半径为 $a$, 二面角 $\alpha-A B-\beta$ 为 $60^{\circ}$.
 ![图片](/uploads/2024-05/40b7b0.jpg)
 
 `例`球面通过多面体所有顶点的球叫做多面体的外接球. 求棱长为 $a$ 的正四面体外接球的半径. (图 2.41)

解: 设球 $O$ 为正四面体 $A B C D$ 的外接球, 所以, $O A=O B=O C=O D$, 这样, $A-B C D$ 和 $O-B C D$ 都是正三棱雉.

设这两个正三棱雉的高分别为 $A O_1$ 和 $O O_2$, 因为这两个正三棱雉的底面是同一个正三角形 $B C D$, 所以 $O_1$ 和 $O_2$ 都是 $\triangle B C D$ 的中心, 所以 $O_1$ 和 $O_2$
必重合, 所以 $A 、 O 、 O_1$ 三点共线, 连 $B O_1$, 因为 $B O_1=\frac{\sqrt{3}}{3} a$, 所以
$$
\begin{aligned}
& \qquad A O_1=\sqrt{A B^2-B O_1^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{3} a\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3} a \\
& \therefore \quad O O_1=\frac{\sqrt{6}}{3} a-O A
\end{aligned}
$$

设球 $O$ 的半径为 $R$, 那么在直角三角形 $B O O_1$ 中, 有
$$
B O^2-B O_1^2=\left(A O_1-O A\right)^2
$$

即
$$
R^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{3} a\right)^2=\left(\frac{\sqrt{6}}{3} a-R\right)^2
$$

解得 $R=\frac{\sqrt{6}}{4} a$
答: 棱长为 $a$ 的正四面体的外接球的半径为 $\frac{\sqrt{6}}{4} a$

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