在线学习
重点科目
初中数学
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
高中物理
数学公式
主要科目
复变函数
离散数学
数学分析
实变函数
群论
数论
未整理科目
近世代数
数值分析
常微分方程
偏微分方程
大学物理
射影几何
微分几何
泛函分析
拓扑学
数学物理
趣味数学
科数网
首页
教材
高考区
考研区
VIP
科数网
题库
在线学习
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
高中物理
复变函数
离散数学
你好
游客,
登录
注册
在线学习
线性代数
第三篇 向量空间
基变换与坐标变换2
最后
更新:
2025-03-07 10:08
查看:
409
次
反馈
刷题
基变换与坐标变换2
## 基变换与坐标变换2 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是线性空间 $V_n$ 中的两个基,且 $$ \left\{\begin{array}{c} \beta_1=p_{11} \alpha_1+p_{12} \alpha_2+\cdots+p_{1 n} \alpha_n, \\ \beta_2=p_{21} \alpha_1+p_{22} \alpha_2+\cdots+p_{2 n} \alpha_n, \\ \quad \vdots \\ \beta_n=p_{m 1} \alpha_1+p_{n 2} \alpha_2+\cdots+p_{m n} \alpha_n, \end{array}\right. $$ 将式(2-1)写成矩阵形式为 $$ \left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) P . ...(2-2) $$ 式(2-1)和(2-2)称为从基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的基变换公式,矩阵 $P$ 称为由基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵,由于 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 线性无关,故过渡矩阵 $P$ 可逆. 设 $V_n$ 中的元素 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 下的坐标为 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$ , 在基 $\beta_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 下的坐标为 $\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)^{\mathrm{T}}$. 若两个基满足关系式(2-2),于是有 $$ \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\boldsymbol{\alpha}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n\right)\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{P}\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right), $$ 由于 $\alpha_1, \alpha_2 \cdots, \alpha_n$ 线性无关,而且过渡矩阵 $P$ 可逆,所以有坐标变换公式 $$ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right) \text { 或 }\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)=\boldsymbol{P}^{-1}\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) $$  设任一不超过 4 次的多项式 $p=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4$ 在基 $q_0, q_1, q_2, q_3, q_4$ 下的坐标为 $$ \left(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5\right)^{\mathrm{T}} \text {, } $$ 由例 1 知,这个多项式在基 $p_0, p_1, p_2, p_3, p_4$ 下的坐标是 $\left(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5\right)^{\mathrm{T}}$ , 从而有坐标变换公式 $$ \left(\begin{array}{l} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{array}\right)=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{array}\right) \text { 或 }\left(\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{array}\right)=\boldsymbol{P}^{-1}\left(\begin{array}{l} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{array}\right) \text {. } $$ $$ \text { 用矩阵的初等行变换求 } P^{-1} \text { ,把矩阵 }(P, E) \text { 中的 } P \text { 变成 } E \text { ,则 } E \text { 即变成 } P^{-1} \text {. 计算如下 } $$ 
开VIP会员
非会员每天6篇,会员每天16篇,VIP会员无限制访问
题库训练
自我测评
投稿
上一篇:
基变换与坐标变换(过渡矩阵)
下一篇:
线性变换的性质
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
纠错
高考
考研
关于
赞助
公式
科数网是专业专业的数学网站。