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线性代数
第八篇 线性空间与线性变换
基变换与坐标变换
最后更新:
2023-10-01 11:28
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基变换与坐标变换
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是线性空间 $V_n$ 中的两个基，且 $$ \left\{\begin{array}{c} \beta_1=p_{11} \alpha_1+p_{12} \alpha_2+\cdots+p_{1 n} \alpha_n, \\ \beta_2=p_{21} \alpha_1+p_{22} \alpha_2+\cdots+p_{2 n} \alpha_n, \\ \quad \vdots \\ \beta_n=p_{m 1} \alpha_1+p_{n 2} \alpha_2+\cdots+p_{m n} \alpha_n, \end{array}\right. $$ 将式(2-1)写成矩阵形式为 $$ \left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) P . $$ 式(2-1)和(2-2)称为从基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的基变换公式，矩阵 $P$ 称为由基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵，由于 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 线性无关，故过渡矩阵 $P$ 可逆. 设 $V_n$ 中的元素 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 下的坐标为 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$ ， 在基 $\beta_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 下的坐标为 $\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)^{\mathrm{T}}$. 若两个基满足关系式(2-2)，于是有 $$ \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\boldsymbol{\alpha}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n\right)\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{P}\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right), $$ 由于 $\alpha_1, \alpha_2 \cdots, \alpha_n$ 线性无关，而且过渡矩阵 $P$ 可逆，所以有坐标变换公式 $$ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right) \text { 或 }\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)=\boldsymbol{P}^{-1}\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) $$  设任一不超过 4 次的多项式 $p=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4$ 在基 $q_0, q_1, q_2, q_3, q_4$ 下的坐标为 $$ \left(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5\right)^{\mathrm{T}} \text {, } $$ 由例 1 知，这个多项式在基 $p_0, p_1, p_2, p_3, p_4$ 下的坐标是 $\left(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5\right)^{\mathrm{T}}$ ， 从而有坐标变换公式 $$ \left(\begin{array}{l} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{array}\right)=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{array}\right) \text { 或 }\left(\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{array}\right)=\boldsymbol{P}^{-1}\left(\begin{array}{l} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{array}\right) \text {. } $$ $$ \text { 用矩阵的初等行变换求 } P^{-1} \text { ，把矩阵 }(P, E) \text { 中的 } P \text { 变成 } E \text { ，则 } E \text { 即变成 } P^{-1} \text {. 计算如下 } $$ 
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