科数网
首页
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
实变函数
复变函数
离散数学
数论
群论
搜索
公式
高中数学公式
高等数学公式
线性代数公式
概率论公式
初中数学公式
关于
高中
高数
线性
概率
复变
搜索
游客,
登录
注册
在线学习
线性代数
第三篇 向量空间
基变换与坐标变换2
最后
更新:
2024-10-21 10:38
●
参与者
查看:
372
次
纠错
分享
参与项目
词条搜索
基变换与坐标变换2
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是线性空间 $V_n$ 中的两个基,且 $$ \left\{\begin{array}{c} \beta_1=p_{11} \alpha_1+p_{12} \alpha_2+\cdots+p_{1 n} \alpha_n, \\ \beta_2=p_{21} \alpha_1+p_{22} \alpha_2+\cdots+p_{2 n} \alpha_n, \\ \quad \vdots \\ \beta_n=p_{m 1} \alpha_1+p_{n 2} \alpha_2+\cdots+p_{m n} \alpha_n, \end{array}\right. $$ 将式(2-1)写成矩阵形式为 $$ \left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) P . $$ 式(2-1)和(2-2)称为从基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的基变换公式,矩阵 $P$ 称为由基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵,由于 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 线性无关,故过渡矩阵 $P$ 可逆. 设 $V_n$ 中的元素 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 下的坐标为 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$ , 在基 $\beta_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 下的坐标为 $\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)^{\mathrm{T}}$. 若两个基满足关系式(2-2),于是有 $$ \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\boldsymbol{\alpha}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n\right)\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{P}\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right), $$ 由于 $\alpha_1, \alpha_2 \cdots, \alpha_n$ 线性无关,而且过渡矩阵 $P$ 可逆,所以有坐标变换公式 $$ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right) \text { 或 }\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)=\boldsymbol{P}^{-1}\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) $$ ![图片](/uploads/2023-01/image_2023010225e6614.png) 设任一不超过 4 次的多项式 $p=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4$ 在基 $q_0, q_1, q_2, q_3, q_4$ 下的坐标为 $$ \left(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5\right)^{\mathrm{T}} \text {, } $$ 由例 1 知,这个多项式在基 $p_0, p_1, p_2, p_3, p_4$ 下的坐标是 $\left(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5\right)^{\mathrm{T}}$ , 从而有坐标变换公式 $$ \left(\begin{array}{l} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{array}\right)=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{array}\right) \text { 或 }\left(\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{array}\right)=\boldsymbol{P}^{-1}\left(\begin{array}{l} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{array}\right) \text {. } $$ $$ \text { 用矩阵的初等行变换求 } P^{-1} \text { ,把矩阵 }(P, E) \text { 中的 } P \text { 变成 } E \text { ,则 } E \text { 即变成 } P^{-1} \text {. 计算如下 } $$ ![图片](/uploads/2023-01/image_202301020398066.png)
上一篇:
基变换与坐标变换(过渡矩阵)
下一篇:
线性变换的性质
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
学习导航:
初中数学
高中数学
高中物理
高等数学
线性代数
概率论与数理统计
复变函数
离散数学
实变函数
数论
群论
搜索
纠错
题库
高考
考研
关于本站
广告赞助
App下载
科数网是专业专业的数学网站。