最后更新: 2024-10-21 10:38 ● 参与者查看: 372 次纠错分享参与项目词条搜索

基变换与坐标变换2

设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是线性空间 $V_n$ 中的两个基，且

$$
\left\{\begin{array}{c}
\beta_1=p_{11} \alpha_1+p_{12} \alpha_2+\cdots+p_{1 n} \alpha_n, \\
\beta_2=p_{21} \alpha_1+p_{22} \alpha_2+\cdots+p_{2 n} \alpha_n, \\
\quad \vdots \\
\beta_n=p_{m 1} \alpha_1+p_{n 2} \alpha_2+\cdots+p_{m n} \alpha_n,
\end{array}\right.
$$

将式(2-1)写成矩阵形式为

$$
\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) P .
$$

式(2-1)和(2-2)称为从基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的基变换公式，矩阵 $P$ 称为由基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵，由于 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 线性无关，故过渡矩阵 $P$ 可逆.
设 $V_n$ 中的元素 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 下的坐标为 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$ ， 在基 $\beta_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 下的坐标为 $\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)^{\mathrm{T}}$.
若两个基满足关系式(2-2)，于是有

$$
\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\boldsymbol{\alpha}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n\right)\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{P}\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right),
$$

由于 $\alpha_1, \alpha_2 \cdots, \alpha_n$ 线性无关，而且过渡矩阵 $P$ 可逆，所以有坐标变换公式

$$
\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right) \text { 或 }\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right)=\boldsymbol{P}^{-1}\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010225e6614.png)
设任一不超过 4 次的多项式 $p=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4$ 在基 $q_0, q_1, q_2, q_3, q_4$ 下的坐标为

$$
\left(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5\right)^{\mathrm{T}} \text {, }
$$

由例 1 知，这个多项式在基 $p_0, p_1, p_2, p_3, p_4$ 下的坐标是 $\left(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5\right)^{\mathrm{T}}$ ，
从而有坐标变换公式

$$
\left(\begin{array}{l}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3 \\
a_4
\end{array}\right)=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{l}
y_1 \\
y_2 \\
y_3 \\
y_4 \\
y_5
\end{array}\right) \text { 或 }\left(\begin{array}{l}
y_1 \\
y_2 \\
y_3 \\
y_4 \\
y_5
\end{array}\right)=\boldsymbol{P}^{-1}\left(\begin{array}{l}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3 \\
a_4
\end{array}\right) \text {. }
$$

$$
\text { 用矩阵的初等行变换求 } P^{-1} \text { ，把矩阵 }(P, E) \text { 中的 } P \text { 变成 } E \text { ，则 } E \text { 即变成 } P^{-1} \text {. 计算如下 }
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_202301020398066.png)

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