最后更新: 2025-03-07 10:11 查看: 367 次反馈刷题

线性变换的定义

## 线性变换
设 $V_n, U_m$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间，如果映射 $T: V_n \rightarrow U_m$ 满足
(i) 任给 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in V_n$ ，有

$$
T\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)=T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right)+T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right) ；
$$

(ii)任给 $\boldsymbol{\alpha} \in V_n, \lambda \in R $ (从而 $\lambda \boldsymbol{\alpha} \in V_n$ )，有

$$
T(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\lambda T(\boldsymbol{\alpha}),
$$

那么， $T$ 就称为从 $V_n$ 到 $U_m$ 的线性映射，或称为线性变换.
简言之，线性映射就是保持线性组合的对应的映射.
例如，

$$
T: R^n \rightarrow  R^m,\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_m
\end{array}\right),
$$

其中

$$
\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_m
\end{array}\right)=T\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{12} \\
a_{2 n} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)
$$

就确定了一个从 $R^n$ 到 $R^m$ 的映射，并且是个线性映射.
特别地，如果在定义 1 中取 $V_n=U_n$ ，那么 $T$ 是一个从线性空间 $r_n$ 到其自身的线性映 射，称为线性空间 $V_n$ 中的线性变换.

例 1 设 $V$ 是实数域 $\mathbf{R}$ 上的一个线性空间，对任意的 $\alpha \in V$ ，分别定义如下三个 $V \rightarrow V$ 的映射:
(1) $I(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\alpha}$;
(2) $o(\boldsymbol{\alpha})=\mathbf{0}$ ，其中 0 是 $V$ 中的零向量；
(3) $T(\boldsymbol{\alpha})=k \boldsymbol{\alpha}$ ，其中 $k \in \mathbf{R}$ 是固定的数.
则这三个映射都是线性空间 $V$ 上的线性变换，分别称为 $V$ 的恒等变换、零变换和数乘变换.

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