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线性变换的矩阵表示式

线性变换是一个很抽象的概念，如何将它具体化呢? 我们发现，如果给定线性空间 $V_n$ 的 一个基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 则对 $V_n$ 中任意向量 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 有

$$
\alpha=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n,
$$

由线性变换的性质得:

$$
T(\boldsymbol{\alpha})=k_1 T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2 T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\cdots+k_n T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right) .
$$

于是 $\boldsymbol{\alpha}$ 在 $T$ 下的像就由基的像 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)$ 所唯一确定. 而 $T(\boldsymbol{\alpha}) \in V(i=1,2, \cdots, n)$, 所以 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_i\right) \in V(i=1,2, \cdots, n)$ 也可由基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 来线性表示，即有

$$
\left\{\begin{array}{l}
T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right)=a_{11} \boldsymbol{\alpha}_1+a_{21} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+a_{n 1} \boldsymbol{\alpha}_n, \\
T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right)=a_{12} \boldsymbol{\alpha}_1+a_{22} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+a_{n 2} \boldsymbol{\alpha}_n, \\
\cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\
T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)=a_{1 n} \boldsymbol{\alpha}_1+a_{2 n} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+a_{n n} \boldsymbol{\alpha}_n .
\end{array}\right.
$$

由上式得: $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)=\left(T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{A}$ 其中

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)
$$

矩阵 $A$ 称为线性变换 $T$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下的矩阵.
显然，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 由基的像 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)$ 唯一确定.
反之，如果给定一个矩阵 $\boldsymbol{A}$ 作为某个线性变换 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 下的矩阵，也就是给出了
这个基在变换下的像，根据变换 $T$ 保持线性关系的特性， 我们来推导变换 $T$ 必须满足的关系式.
$V_n$ 中的任意向量记为 $\alpha=\sum_{i=1}^n x_i \alpha_l$ 有

$$
T \boldsymbol{\alpha}=T\left(\sum_{i=1}^n x_i \boldsymbol{\alpha}_i\right)=\sum_{i=1}^n x_i T\left(\boldsymbol{\alpha}_i\right)=\left(T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right) \text {, }
$$

即 $T\left(\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102ac823b1.png)

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例 6
设 $R^3$ 上线性变换 $T$ 定义为 $T\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 x_1-x_2 \\ x_2+x_3 \\ 2 x_1\end{array}\right)$, 分别求 $T$ 在基

$$
\boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{e}_3=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right) \text { 与基 } \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right) \text { 下的矩阵. }
$$

$$
\begin{aligned}
& T\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
2
\end{array}\right)=2 \boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{c}
2 \\
-2 \\
2
\end{array}\right), \\
& T\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
2
\end{array}\right)=0 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
2
\end{array}\right), \\
& T\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
2
\end{array}\right)=-\boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
2
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$

$$
\text { 可得 } T\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -1 \\
-2 & -1 & 0 \\
2 & 2 & 2
\end{array}\right) \text {, }
$$

$T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 下的矩阵为

$$
\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -1 \\
-2 & -1 & 0 \\
2 & 2 & 2
\end{array}\right) .
$$

可见，同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵.

![图片](/uploads/2023-01/image_202301021f46a16.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102595cf39.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_202301027c3f181.png)
定义2
线性变换的像空间 $T\left(V_n\right)$ 的维数，称为线性变换 $T$ 的秩.
显然，若 $\boldsymbol{A}$ 是 $T$ 的矩阵，则 $T$ 的秩就是 $R(\boldsymbol{A})$. 若 $T$ 的秩为 $r$ ，则 $T$ 的核 $S_T$ 的维 数为 $n-r$.

## 4.1.3 向量组等价的几何解释

两个向量组 $A$ 和 $B$ 的等价就是这两个向量组能够互相被线性表示。详细地说, 向量组 $A$中的每一个向量都可以被向量组 $\boldsymbol{B}$ 线性表示; 同样, 向量组 $\boldsymbol{B}$ 中的每一个向量也可以被向量组 $A$ 线性表示。或者说, 如果把一个向量组中的任意一个向量拿出来放到另外一个向量组中, 那么另外这个扩大的向量组就会线性相关，而且不论原向量组是否线性相关。
根据前面分析的向量组线性表示的几何意义，我们很容易理解向量组等价的几何意义:两个向量组等价就是两个向量组所扩张成的直线、平面或空间相互重合。下面讨论的是三维空间中向量组的等价关系。

1. 直线上的等价向量组
   如图 4-11 所示的三维空间中, 共有三条分离的不共面直线, 每条直线上分别有两个、三个和四个向量。两向量 $\alpha_1 、 \alpha_2$ 在一条直线上; 三向量 $\beta_1 、 \beta_2 、 \beta_3$ 在另外一条直线上; 四向量 $\gamma_1 、 \gamma_2 、 \gamma_3 、 \gamma_4$ 在第三条直线上。
   ![图片](/uploads/2024-01/image_20240112731d003.png)
   
   由此, 我们可以验证以下命题:

- $\left\{\alpha_1\right\},\left\{\alpha_2\right\},\left\{\alpha_1, \alpha_2\right\}$ 是等价向量组;
- $\left\{\boldsymbol{\beta}_1\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right\}$ 是等价向量组;
- $\left\{\gamma_1\right\},\left\{\gamma_2\right\},\left\{\gamma_3\right\},\left\{\gamma_4\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_2\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_3\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_4\right\},\left\{\gamma_2, \gamma_3\right\},\left\{\gamma_2, \gamma_4\right\},\left\{\gamma_3, \gamma_4\right\}$, $\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_4\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_3, \gamma_4\right\},\left\{\gamma_2, \gamma_3, \gamma_4\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4\right\}$ 是等价向量组。

其实上述命题不用验证也可以知道, 因为我们罗列的等价向量组里的向量都包含在一条直线上, 每个向量组都扩张成同一根直线。从代数意义上来说, 在一条直线上的向量也是可以互相线性表示的。因此, 可以有这样一个结论:
对于同一条直线上的向量，含有一个向量的向量组和含有多个向量的向量组等价。
2. 平面及三维空间上的等价向量组:

类似地, 三维空间中, 我们看看平面上的向量组之间的等价关系。如图 4-12 所示, 向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 分别所在的三条直线共一平面 (阴影平行四边形), 因此向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 中的任何一类可以被其他两类线性表示, 例如有关系 $\boldsymbol{\alpha}_i=x_1 \boldsymbol{\beta}_i+x_2 \boldsymbol{\eta}_i$ 。
![图片](/uploads/2024-01/image_2024011287e39d0.png)
换句话说, 向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 的任意 $\mathrm{C}_3^2$ 和 $\mathrm{C}_3^3$ 组合的向量组所张成的向量空间都是同一个平面。因此, 所有组合都是等价向量组。具体的等价关系如下:

- $\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\eta}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i\right\}$ 是等价向量组, 比如 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\eta}_1\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_2\right\}$, .90 .
  第 4 章 向量组及向量空间的几何意义 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2\right\}$ 是等价向量组。

如果一个平面再加一个平面外的一条直线 $\gamma$ 就是向量组所张成的三维空间, 则不难理解以下等价关系:

- $\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i, \gamma_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\eta}_i, \gamma_i\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i, \boldsymbol{\gamma}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i, \gamma_i\right\}$ 是等价向量组, 比如 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \gamma_1\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\eta}_1, \gamma_2\right\}$, $\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_2, \gamma_1, \gamma_3\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \gamma_3, \gamma_4\right\}$ 是等价向量组。

其实采用向量子空间 (4.2 节会探讨向量空间) 基的概念, 就会清晰地明了向量组等价的几何意义: 向量组 $\boldsymbol{A}$ 中的每一个向量都在向量组 $\boldsymbol{B}$ 张成的向量子空间中; 同样, 向量组 $\boldsymbol{B}$ 中的每一个向量也在向量组 $\boldsymbol{A}$ 张成的向量子空间中。反之也成立, 两个向量组如果张成的向量子空间相同或重合, 就说这两个向量组等价。

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