最后更新: 2025-03-07 10:12 查看: 378 次反馈刷题

线性变换的矩阵表示式

## 线性变换的矩阵表示式
线性变换是一个很抽象的概念，如何将它具体化呢? 我们发现，如果给定线性空间 $V_n$ 的 一个基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 则对 $V_n$ 中任意向量 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 有

$$
\alpha=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n,
$$

由线性变换的性质得:

$$
T(\boldsymbol{\alpha})=k_1 T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2 T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\cdots+k_n T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right) .
$$

于是 $\boldsymbol{\alpha}$ 在 $T$ 下的像就由基的像 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)$ 所唯一确定. 而 $T(\boldsymbol{\alpha}) \in V(i=1,2, \cdots, n)$, 所以 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_i\right) \in V(i=1,2, \cdots, n)$ 也可由基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 来线性表示，即有

$$
\left\{\begin{array}{l}
T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right)=a_{11} \boldsymbol{\alpha}_1+a_{21} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+a_{n 1} \boldsymbol{\alpha}_n, \\
T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right)=a_{12} \boldsymbol{\alpha}_1+a_{22} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+a_{n 2} \boldsymbol{\alpha}_n, \\
\cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\
T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)=a_{1 n} \boldsymbol{\alpha}_1+a_{2 n} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+a_{n n} \boldsymbol{\alpha}_n .
\end{array}\right.
$$

由上式得: $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)=\left(T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{A}$ 其中

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)
$$

矩阵 $A$ 称为线性变换 $T$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下的矩阵.
显然，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 由基的像 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)$ 唯一确定.
反之，如果给定一个矩阵 $\boldsymbol{A}$ 作为某个线性变换 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 下的矩阵，也就是给出了
这个基在变换下的像，根据变换 $T$ 保持线性关系的特性， 我们来推导变换 $T$ 必须满足的关系式.
$V_n$ 中的任意向量记为 $\alpha=\sum_{i=1}^n x_i \alpha_l$ 有

$$
T \boldsymbol{\alpha}=T\left(\sum_{i=1}^n x_i \boldsymbol{\alpha}_i\right)=\sum_{i=1}^n x_i T\left(\boldsymbol{\alpha}_i\right)=\left(T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right) \text {, }
$$

即 $T\left(\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$.

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例 6
设 $R^3$ 上线性变换 $T$ 定义为 $T\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 x_1-x_2 \\ x_2+x_3 \\ 2 x_1\end{array}\right)$, 分别求 $T$ 在基

$$
\boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{e}_3=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right) \text { 与基 } \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right) \text { 下的矩阵. }
$$

$$
\begin{aligned}
& T\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
2
\end{array}\right)=2 \boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{c}
2 \\
-2 \\
2
\end{array}\right), \\
& T\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
2
\end{array}\right)=0 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
2
\end{array}\right), \\
& T\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
2
\end{array}\right)=-\boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
2
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$

$$
\text { 可得 } T\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -1 \\
-2 & -1 & 0 \\
2 & 2 & 2
\end{array}\right) \text {, }
$$

$T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 下的矩阵为

$$
\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -1 \\
-2 & -1 & 0 \\
2 & 2 & 2
\end{array}\right) .
$$

可见，同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵.

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定义2
线性变换的像空间 $T\left(V_n\right)$ 的维数，称为线性变换 $T$ 的秩.
显然，若 $\boldsymbol{A}$ 是 $T$ 的矩阵，则 $T$ 的秩就是 $R(\boldsymbol{A})$. 若 $T$ 的秩为 $r$ ，则 $T$ 的核 $S_T$ 的维 数为 $n-r$.

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