半角公式05

日期: 2022-10-14 07:48 查看: 15 次

半角公式
\( \sin \dfrac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \theta}{2}} \) 
\( \cos \dfrac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \theta}{2}} \) 
\( \tan \dfrac{\theta}{2} =\csc \theta-\cot \theta =\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} =\dfrac{\sin \theta}{1+\cos \theta}=\dfrac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \) 
\( \cot \dfrac{\theta}{2} =\csc \theta+\cot \theta =\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} \) 
\( \sec \dfrac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{2 \sec \theta}{\sec \theta+1}} \) 
\( \csc \dfrac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{2 \sec \theta}{\sec \theta-1}} \) 
&nbsp;
典型例题
已知\( \sin \theta= -\dfrac{4}{5} \) ,求\( \sin \dfrac{\theta}{2} \) ,\( \theta \) &nbsp;为第四象限的角。
解：\( \sin \theta= -\dfrac{4}{5} \) ， 所以 \( \cos \theta= \dfrac{3}{5} \) ,&nbsp; &nbsp;且\( \dfrac{\theta}{2} \) 为第二或者第四象限的角
所以&nbsp;\( \sin \dfrac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \theta}{2}} \) =\( \pm \dfrac{\sqrt{5}}{5} \) 
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证明：\( \sin 2 \theta =2 \sin \theta \cos \theta \) 
证：根据&nbsp;<a href="../kbase/lists.aspx?kid=42" target="_blank" rel="noopener">两角和与两角差</a>恒等式，有
\( \sin (\alpha +\beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \) 
令\( \alpha=\beta \) ,&nbsp; 则有 \( \sin 2 \theta =2 \sin \theta \cos \theta \) 
&nbsp;
下图解释了正弦2背公式的几何意义。在左图中，三角形的面积为
\( S_1=\dfrac{1}{2} (sin \theta + sin \theta) * \cos \theta =\sin \theta cos \theta \) 
将此三角形旋转180度，则有三角形面积为
\( S_2=\dfrac{1}{2} *1 * \sin {2\theta} \) =\( \dfrac{1}{2} \sin {2\theta} \) 
因为 \( S_1=S_2 \) 
所以 \( \sin \theta cos \theta = \dfrac{1}{2} \sin {2\theta} \) &nbsp;即
\( \sin 2 \theta =2 \sin \theta \cos \theta \) 
<img src="../uploads/2022-10/fc0bdd.jpg" width="350px">
&nbsp;
典型例题
已知 \( \tan 2 x=-2 \sqrt{2} \quad \pi&lt;2 x&lt;2 \pi \) ，求 \( \dfrac{2 \cos ^2 \dfrac{x}{2}-\sin x-1}{\sqrt{2} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)} \) 
解：\( \tan 2x=\dfrac{2 \tan x}{1-\tan^2x} =-\sqrt{2} \) 
\( \therefore \sqrt{2} {\tan^2 x- 2\tan x}- \sqrt{2}=0 \) 
\( \therefore \tan x=\sqrt{2} \) 或 \( \tan x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) 
\( \because \dfrac{\pi}{2}&lt; x &lt; \pi \) &nbsp;
\( \therefore \tan x &lt;0 \) 
\( \therefore \quad \tan x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \) 
原式\( =\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} \) ，分子分母同除以\( \cos x \) 
\( =\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}=\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=3+2 \sqrt{2} \) 
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