最后更新: 2025-01-06 16:41 查看: 426 次反馈刷题

线性空间及其子空间

### 向量空间
在[集合论与向量空间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1861) 里说过，向量就像一个个箭头，这些箭头组成了一个集合，成为向量空间。本节先给出向量空间以及子空间的定义，后面再来进一步解释其是什么意思。

## 线性空间/向量空间
设 $V$ 是一个非空集合， $\mathbf{R}$ 为实数域. 对于任意两个元素 $\alpha, \beta \in V$ ，在 $V$ 中总有唯一确定 的一个元素 $\gamma$ 与之对应，称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和，记作 $\gamma=\alpha+\beta$. 对于 $\mathbf{R}$ 中任一数 $\lambda$ 与 $V$ 中任 一元素 $\alpha$ ，在 $V$ 中总有唯一确定的一个元素 $\delta$ 与之对应， 称为 $\lambda$ 与 $\alpha$ 的数量乘积，记作 $\delta=\lambda \alpha$. 如果这两种运算满足以下八条运算规律 (设 $\alpha, \beta, \gamma \in V ; \lambda, \mu \in \mathbf{R}$ ):

![图片](/uploads/2024-10/9cef00.jpg)
 
那么， $V$ 就称为实数域 $\mathbf{R}$ 上的线性空间.
线性空间有时也被称为向量空间， 线性空间中的元素不论其本来的性质如何，统称为向量. 线性空间中满足上述八条规律的加法及数乘运算，统称为**线性运算**.

>除了线性空间还有什么空间？数学上还有很多空间，包括希尔伯特空间、线性赋范空间、内积空间、内积空间和欧几里得空间等，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1454)

**定义1** 设 $V$ 是 $n$ 维向量的集合，如果对于任意 $\boldsymbol{\alpha} \in V ， \boldsymbol{\beta} \in V$ ，都有 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} \in V$ ， 则称 $V$ 对向量的加法封闭；
如果对任意 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ 及任意 $k \in \mathbf{R}$ ，都有 $k \boldsymbol{\alpha} \in V$ ，则称 $V$ 对向量的数乘封闭.

`例` 集合 $V_1=\left\{\left.\left(\begin{array}{c}0 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) \right\rvert\, a_2, \cdots, a_n \in R \right\}, \quad$ 对任意 $\alpha =\left(\begin{array}{c}0 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) \in V, \quad \beta =\left(\begin{array}{c}0 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right) \in V$ ，任意 $k \in R$ ，有

$$
\begin{aligned}
&\alpha + \beta =\left(\begin{array}{c}
0 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
0 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
a_2+b_2 \\
\vdots \\
a_n+b_n
\end{array}\right) \in V, \quad k \alpha =k\left(\begin{array}{c}
0 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
k a_2 \\
\vdots \\
k a_n
\end{array}\right) \in V,\\
\end{aligned}
$$
所以 $V_1$ 对向量的加法和数乘运算封闭.

`例` 集合 $ {V_2}=\left\{\left(\begin{array}{c}1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) a_2, \cdots, a_n \in R \right\}$ ，对任意 $\alpha =\left(\begin{array}{c}1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) \in V, \quad \beta =\left(\begin{array}{c}1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right) \in V$ ，任意 $k \in R$ ，有

$$
\begin{aligned}
&\alpha + \beta =\left(\begin{array}{c}
1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
2 \\
a_2+b_2 \\
\vdots \\
a_n+b_n
\end{array}\right) \notin V, \quad k \alpha =k\left(\begin{array}{c}
1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
k \\
k a_2 \\
\vdots \\
k a_n
\end{array}\right) \notin V(k \neq 0),\\
\end{aligned}
$$
 所以 $V_2$  对向量的加法和数乘运算均不封闭.  
 
 
## 向量空间
设 $V$ 是 $n$ 维向量的集合，且 $V$ 非空，如果 $V$ 对向量的加法和数乘两种运算都封闭， 则称集合 $v$ 为向量空间.
例如， 例 1、例 2 中的集合均为非空的， 因为 $0=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right) \in V_1, e_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right) \in V_2$.
但是 $V_1$ 对向量的加法和数乘运算封闭，所以 $V_1$ 是向量空间，
但是 $V_2$ 对向量的加法和数乘运算均不封闭，所以 $V_2$ 不是向量空间.

`例` $n$ 维向量的全体组成的集合 $\quad R ^n=\left\{\left.\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right) \right\rvert\, x_1, x_2, \cdots, x_n \in R \right\}$
对向量的加法和数乘运算均封闭，所以是一个向量空间.

`例`$n$ 元齐次线性方程组的解集 $S=\{x \mid A x=0\}$ 对向量的加法和数乘运算封闭，
所以是一个向量空间. 这个向量空间我们称为齐次线性方程组的**解空间**.
 
 
`例` 设$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s \in \mathbf{R}^n$ ，我们将向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 所有可能的线性组合 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s$ 构成的集合记为 $\mathrm{L}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)=\left\{\boldsymbol{\alpha}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s \mid k_1, k_2, \cdots, k_s \in \mathbf{R}\right\}$,
容易验证，   $\left(\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)$ 是一个向量空间， 我们称之为由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 所**张成的向量空间**.

### 多项式是线性空间
`例`次数不超过 $n$ 的多项式的全体，记作 $P[x]_{n^{\prime}}$ 即

$$
P[x]_n=\left\{p(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_n, \cdots, a_1, a_0 \in R\right\},
$$

>可以发现，对于通常的多项式满足上面的加法与数乘运算，所以多项式的乘法构成线性空间.

这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律， 故只要验证 $P[x]_n$ 对运算封闭.

对 $P[x]_n$ 中任意两个多项式 $p(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0, q(x)=b_n x^n+\cdots+b_1 x+b_0$ ，及任意的实数 $\lambda$ ，有

$$
\begin{aligned}
& p(x)+q(x)=\left(a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\right)+\left(b_n x^n+\cdots+b_1 x+b_0\right)=\left(a_n+b_n\right) x^n+\cdots+\left(a_1+b_1\right) x+\left(a_0+b_0\right) \in P[x]_n, \\
& \lambda p(x)=\lambda\left(a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\right)=\left(\lambda a_n\right) x^n+\cdots+\left(\lambda a_1\right) x+\left(\lambda a_0\right) \in P[x]_n
\end{aligned}
$$

所以 $P[x]_n$ 是一个线性空间.

`例` 设集合$C[a, b]=\{f(x) \mid f(x) \text { 为 }[a, b] \}$上的连续函数
是定义在区间 $[a, b]$ 上的连续实函数全体所成的集合，关于通常的函数加法和数乘函 数的乘法构成线性空间.
这是因为: 通常的函数加法及乘数运算显然满足线性运算规律，并且根据连续函数的
运算性质可知， $C[a, b]$ 对通常的函数加法和数乘函数的乘法封闭.

>线性空间和线性函数还是有点区别的，比如 $f(x)=3x+2$, 令$x$分别取$x_1=1$与$x_2=2$，那么$f(1)=5$和$f(2)=8$,但是$f(3)=11$，即$f(1)+f(2) \ne f(3)$ , 这是因为函数$f(x)$未经过原点，如果$f(x)$去掉常说项$f(x)=3x$ 就会发现 $f(1)+f(2) = f(3)$

`例`设 $M_{m \times n}( R )=\left\{\left. A =\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right) \right\rvert\, a_{i j}(1 \leq i \leq m ; 1 \leq j \leq n) \in R \right\}$
是实数域上的矩阵全体所成的集合. 显然 $M_{m \times n}( R )$ 是非空的， $M_{m \times n}( R )$ 对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间. 这是因为：通常的矩阵加法和数乘运算显然满足线性运算规律，并且 $M_{m \times n}( R )$ 对通常的矩阵加法和数乘运算封闭.

**特别地，当 $ m=n$ 时，$n$ 阶方阵的全体所成的集合** 
$$
\begin{aligned}
&M_n( R )=\left\{\left. A =\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right) \right\rvert\, a_{i j}(1 \leq i, j \leq n) \in R \right\}  
\end{aligned}
$$
也是实数域上的线性空间.

`例`$n$ 次多项式的全体
$$
Q[x]_n=\left\{p=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_n, \cdots, a_1, a_0 \in \mathbf{R} \text {, 且 } a_n \neq 0\right\},
$$
对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间. 这是因为
$0 p=0 x^n+\cdots+0 x+0 \notin Q[x]_n$, 即 $Q[x]_n$ 对运算不封闭.

`例` $n$ 个有序实数组成的数组的全体

$$
S^n=\left\{\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_1, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}} \mid x_1, x_1, \cdots, x_n \in \mathbf{R}\right\}
$$

对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法

$$
\lambda \circ\left(x_1, \cdots, x_n\right)^T=(0, \cdots, 0)^T \text { 不构成线性空间. }
$$

可以验证 $S^n$ 对运算封闭，但是 $1 \circ x=0$ ，不满足第五条运算规律，即所定义的运算 不是线性运算，所以不是线性空间.

`例`  正实数的全体，记作 $\mathbf{R}^{+}$，在其中定义加法及乘数运算为

$$
a \oplus b=a b\left(a, b \in \mathbf{R}^{+}\right), \lambda \circ a=a^\lambda\left(\lambda \in \mathbf{R}, a \in \mathbf{R}^{+}\right),
$$

验证对上述加法与乘数运算构成线性空间.

证明：
首先验证对定义的加法和数乘运算封闭.
对加法封闭: 对任意的 $a, b \in \mathbf{R}^{+}$，有 $a \oplus b=a b \in \mathbf{R}^{+}$;
对数乘封闭: 对任意的 $\lambda \in \mathbf{R}, a \in \mathbf{R}^{+}$，有 $\lambda \circ a=a^\lambda \in \mathbf{R}^{+}$.

### 性质3

设 $V$ 是实数域 $R$ 上线性空间， $W$ 是 $V$ 的一个非空子集. 如果 $W$ 关于 $V$ 的加法和数乘运算也构成线性空间，则称 $W$ 是 $V$ 的一个子空间.
例如， $n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间

$$
S=\left\{\boldsymbol{x} \in R^n \mid \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}\right\}
$$

就是线性空间 $R^n$ 的子空间.

## 向量空间的几何意义
向量空间来源于二维平面或三维立体的几何概念的**推广**。在高中我们学过集合的概念， 形形色色的向量方向不同、长短各异, 应该给它们分类, 划分成集合便于分析研究。由于向量的概念具有几何的特质, 因此向量的集合通常叫做**向量空间**。这个向量空间里的规矩很多, 有人给出八条铁律，还有的是十条。但核心其实只有两项基本原则：一是任意两个向量叠加（相加）不能超出空间；另一个是任意一个向量缩放（相乘）也不能超出空间。

我们常常发现，在向量空间这所大房子里又可以划分出好多居室，每个居室里的向量们也严格坚守着自己居室的同样的两项基本原则：相加和缩放不能超出自己的居室, 这些大大小小的居室就是子空间。
需要注意的是, 这些居室有个特点, 就是共有一个原点, 或者说都要包括零向量。空间和子空间的图形大致有如图 4-16所示的几种类型。

![图片](/uploads/2024-10/57e01b.jpg)
 
 
 向量子空间 $S_1$ 是一根直线 (见图 4-16 (a)), 包含向量 $a _1 、 a _2$, 因为两向量在直线上, $a _1 、 a _2$相加和数乘运算不会超出直线的范围。向量子空间 $S_2$ 是一个平面（见图4-16（b）），包含向量 $b _1 、 b _2$ ；显然向量 $b _1 、 b _2$ 相加和数乘运算也不会超出平面 $S_2$ 的范围。同样，向量子空间 $S_3$ 的 $c _1 、 c _2$ 也遵守相同的规则（见图4-16（c））； $S_1 、 S_2$ 和 $S_3$ 都是 $S_4$ 的子空间，它们包含的向量 $a_i 、 b_i 、 c_i 、 d _i$ 都属于 $S_4$ 空间，所有向量的相加和数乘都不会超出三维空间的范围。
 
 在数学教科书中, 向量空间的标准定义一般是这样的:
设 $V$ 是非空的 $n$ 维向量的集合 $(n=1,2,3, \cdots)$ ，如果 $V$ 中的向量对加法和数乘两种运算封闭，也即
- 若 $a , b \in V$, 则 $a + b \in V$;
- $a \in V$, 则 $k a \in V, k$ 为任意实数,

则称 $V$ 为向量空间。
空间和子空间的说法可以不加区别，一个空间也可以是自己的子空间。
向量空间主要有两种: 一种是由 $V$ 中的一个向量组张成的空间（比如由特征向量张成的特征子空间等）；另一种是由齐次线性方程组的解集组成的解空间。实际上，线性方程组的解空间也是由解向量所张成的。下面先看看由向量组所张成的空间的意义。

### 向量张成的空间
实际上，向量空间的概念就是对向量集合的一个划分。那么一个向量空间如何用数学式子表达呢？换句话说，一个空间里面的所有向量（无穷多）如何用有限而简洁的数学算式表达呢？

前面已说过，一个向量空间满足两个基本原则：对加法和数乘的运算封闭。把加法和数乘综合到一块，就是线性组合式 $x_1 \alpha _1+x_2 \alpha _2+\cdots+x_n \alpha _n$ 。所以，我们可以使用一个向量组的线性组合式来表达一个空间里的全部的无穷向量。这个向量组常常是极大无关向量组, 也可以是向量的相关组。

一个向量组可以线性表示出一个空间里的所有向量，反过来讲，空间里的所有向量都可以分解为这个向量组的线性表示。那么这个空间我们就叫向量组张成的空间。

下面我们看看它的数学定义式。
设一个向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right\}$ ，这个向量组的所有的线性组合生成一个向量集合：

$$
\left\{x_1 \alpha _1+x_2 \alpha _2+\cdots+x_n \alpha _n \mid x_1, x_2, \cdots, x_n \in R \right\}
$$

此集合常称为 $\operatorname{Span}\left\{ \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right\}$ ，即为由向量组 $\left\{ \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right\}$ 张成的向量空间。
请注意：这个向量空间的代数定义和前面的加法与数乘的定义是等价的。
图 4-17 中给出了由向量组 $\left\{ \alpha _1, \alpha _2\right\}$ 张成的向量空间平面 $S$ 的例子:

$$
S=\operatorname{Span}\left\{ \alpha _1, \alpha _2\right\}=\left\{x_1 \alpha _1+x_2 \alpha _2 \mid x_1, x_2 \in R \right\}
$$

图 4-17 中显示, 由两个不相关的向量使用平行四边形法则可以生成平面上所有的向量。
  ![图片](/uploads/2024-10/ea7809.jpg)
首先图 4-17（a）生成两个主轴： $\alpha _1$ 的任意数乘 $x_1 \alpha _1$ 生成横轴， $\alpha _2$ 的任意数乘 $x_2 \alpha _2$ 生成纵轴；然后图 4-17（b）显示了生成的整个平面：横轴和纵轴上的无穷多向量配对相加（几何上是平行四边形法则）生成覆盖整个平面的无穷多向量。

>我们在讲行列式的几何意义时说, 行列式的 $m$ 维超平行多面体像是一个枝繁叶茂的大树所构成的一个物理空间，主枝干就是行列式的 $m$ 个行向量或列向量。虽然向量数量可以是无穷多，但这个物理空间是有限的，空间的体积就是行列式的值。由向量所张成的线性空问是无穷大的, 空间里的向量也是无穷多的。因为在向量空间的数学定义式 $\left\{x_1 \alpha _1+x_2 \alpha _2+\cdots+x_n \alpha _n \mid x_1, x_2, \cdots, x_n \in R \right\}$ 中, 系数可以无穷大, 所以可以张成无穷大的空间。

### 子空间的意义
子空间的一般定义是这样的: 如果 $V$ 和 $H$ 都是向量空间，而且 $H \subset V$ ，则称 $H$ 是 $V$ 的子空间。
具体说来，由向量空间中的一些向量张成的子空间，其定义如下：
设 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\right\}$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个向量组, $m \leqslant n$, 这个向量组的所有的线性组合生成一个向量空间:

$$
\operatorname{Span}\left\{ \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m\right\}=\left\{x_1 \alpha _1+x_2 \alpha _2+\cdots+x_m \alpha _m \mid x_1, x_2, \cdots, x_m \in R \right\}
$$

向量空间 $\operatorname{Span}\left\{ \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m\right\}$ 称为由向量 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m$ 张成的子空间。

这里要提醒一下, $0$ 向量是唯一的, 既属于 $V$ 空间也属于 $H$ 空间。任意一个子空间 $H$ 都要包含 0 向量, 否则就不能满足加法和数乘的封闭运算。

下面来一个三维空间中由两个三维向量 $a =\left(a_1, a_2, a_3\right)$ 和 $b =\left(b_1, b_2, b_3\right)$ 张成的一个平面二维空间的图例（见图 4-18）。
 ![图片](/uploads/2024-10/d2b6e5.jpg)
 这里注意一个小细节: 两个**三维**的向量张成了一个**二维**的平面, 这个过原点的二维平面是三维空间的二维子空间。二维子空间里的向量和三维空间里的向量一样都是三维向量。
 
 
#### $n$ 维实线性空间 $R ^n$ 的子空间
$R ^n$ 表示所有 $n$ 维实向量所构成的集合。每个向量中的元素是实数, 元素个数是 $n$ 个。如 $R ^2$表示平面实向量集合， $R ^3$ 表示三维空间实向量集合。

三维向量空间 $R ^3$ 的所有子空间包括:
三维子空间：本身 $R ^3=\operatorname{Span}\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\} \quad\left(\alpha_1 、 \alpha_2 、 \alpha_3\right.$ 线性无关），作为自身的子空间表现为一个立体空间, 同自身一样, 也包含原点;

二维子空间：如 $\operatorname{Span}\left\{\alpha_1, \alpha_2\right\}$ （ $\alpha_1 、 \alpha_2$ 线性无关），表现为通过原点的任意一个平面（**注意：二维空间 $R ^2$ 不是 $R ^3$ 的子空间** ，$R^2$ 表示的是$(1,0)$和$(0,1)$张成的平面，这里二维子空间是$(1,0,0)$和$(0,1,0)$张成的平面);
一维子空间：如 $\operatorname{Span}\left\{\alpha_1\right\}\left( \alpha _1 \neq 0 \right)$ ，表现为通过原点的任意一条直线；
零维子空间：只包含原点 0 向量，只有零空间。

图 4-19 给出了 $R ^3$ 的所有子空间的图形。
图 4-19 中, $V$ 为三维向量空间即 $R ^3$, 它可以由 $\operatorname{Span}\left\{ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right\}$ （ $\alpha _1 、 \alpha _2 、 \alpha _3$ 线性无关）表示; $H=\operatorname{Span}\left\{ \alpha _1, \alpha _2\right\} \quad\left( \alpha _1 、 \alpha _2\right.$ 线性无关），表示一个二维子空间； $K=\operatorname{Span}\left\{ \alpha _1, \alpha _3\right\} （ \alpha _1 、 \alpha _3$ 线性无关），表示另一个二维子空间； $H$ 和 $K$ 的公共集合交集 $H \cap K=\operatorname{Span}\left\{ \alpha _1\right\}\left( \alpha _1 \neq 0 \right)$ ，是一维向量子空间；上述所有的子空间皆包含零向量 $0 =(0,0,0)$ ；当然零向量自身可以组成一个零空间。
 ![图片](/uploads/2024-10/384eab.jpg)
 
 
 ####  子空间要过原点的几何意义

前面在介绍子空间的概念时, 总是在强调过原点, 或者所有的子空间一定要包含零空间在内。为什么？这是硬性规定吗？

实际上, 在坐标系下讨论的向量, 不能称之为自由向量, 因为所有的向量的尾部都被拉到了原点上, 或者说, 空间里的所有向量都是从原点出发的 (见图 4-20), 大家都有一个共同的零空间, 这就是为什么所有的子空间一定要包含零空间的原因了。
 ![图片](/uploads/2024-10/f1ecd2.jpg)
 
 为什么要把向量的尾部都拉到原点呢? 在前面向量的基础几何意义一章讲过, 那就是为了用解析方法研究向量的方便, 因为这样就可以把向量和空间中的点一一对应起来。空间中一旦建立起了坐标系, 点有坐标值, 那么我们就用点的坐标表示与点对应的向量, 这样向量就有了解析式，就有了向量的坐标表达式，我们就可以方面地使用代数中的矩阵技术进行分析计算了。

假设一个子空间没有通过原点，那么从原点出发的向量必然 "头尾不顾"，造成了向量头部在子空间上而尾部在空间外 (因为原点在空间外)。当然, 向量的加法和数乘也都跑出这个子空间外面去了，如图 4-21 所示。这说明对线性变换运算不封闭，因此这个 "子空间" 不是真正的向量空间。
 ![图片](/uploads/2024-10/c4ca70.jpg)
 
 图 4-21 中, 严格来讲向量 $\alpha$ 和 $\beta$ 并不在平面空间 $S$ 中, 因为只有向量的身体的全部在上面才算数，而向量 $\alpha$ 和 $\beta$ 只有头部在平面上。但如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 向量是采用点坐标解析式表达的话，
 
我们常会误认为这两个向量（实际是点）在平面上。即便这样，向量 $\alpha$ 的数乘 $x a$ 的头部还是超出了平面 $S$ 之上， $\alpha$ 和 $\beta$ 相加的和向量 $\alpha + \beta$ 的头部也超出了平面之上。因此，它们对向量的加法和数乘运算不封闭。所以，不过原点的平面 $S$ 绝对不是二维向量子空间。

实际上，在三维几何向量空间中，凡是过原点的平面或直线上的全体向量组成的集合都是 $R ^3$ 的子空间，而不过原点的平面或直线上的全体向量组成的集合都不是 $R ^3$ 的子空间。

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